稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
7 O+ |% a! h$ Y9 w, e7 ]; H, d
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
' W; X, t( y. K1 e
( a8 y# P! A% Q) c自治系统、动力系统



' f2 O* {6 q7 ?) g# }) q. z5 Q
$ z' t6 D; n+ u/ P/ v
( t0 T% ~3 |- p& s 相平面、相图、轨线



1 B% }  P7 h3 f. g. S" l2 ]( b( T7 P奇点、孤立奇点



' x/ r4 S( y2 T$ A' P1 _

1 {5 z, U' y# Z7 z% {0 p 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

8 U' [% D9 t. H# h: Z, X对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
1 L; g3 ?& A) ?' T
( g. E" s8 c9 j) N定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

. j$ H1 O- X# h（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

5 x, \- T9 ?9 ^/ v. p（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
5 \5 B' |" q/ e( h; B" L9 m+ W* [
' D' y* d9 G( j' D2 I6 u定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
, U0 m( N& o7 C0 P( N2 ]5 J
, c: w! I# d6 N8 @+ A9 s+ l对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

* r5 T5 l$ J2 s  B+ M5 c

; p7 r! \5 a$ z. I称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

2 t  Q3 V. J( Q2 m定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。


- k- M6 M2 I# I0 O7 G1 c, q3 p


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