排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
. D1 I0 s% _7 {3 \, s8 R
% |4 L2 P3 V8 X8 B

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：



- a: N& P4 N: U3 o; V7 P

述公式得到平稳状态的概率分布。
- E5 Y! [8 |7 y8 s  E2 A
2   M / M /s 等待制排队模型
9 q$ q7 r, }" b5 b/ r3 n0 b2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布


0 E& |" c* G5 @( v3 k, D8 p# h
2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长


8 m8 l/ r" c$ w2 G$ d# V


8 W2 K: u4 L7 _( C+ t. U- c, V. _% W式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期



个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

  y$ [6 H' B. N/ W1 I4 f; f7 q2 o3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
: H) k# [. g5 z7 A7 g（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

' b* l* C* Y$ q. s9 B5 v3 D2 }+ K（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
$ b& G/ Q0 o0 n! O! F/ C+ ~# z
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

0 M7 j$ v0 d, m( U例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。


; K# ^5 }+ Q; Q1 [& |5 |5 J
编写 LINGO 程序如下：
- l2 \* g* l9 n, L3 v% Y
model:
# u, U9 [0 Z3 w3 D  {: ts=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
$ b, W1 T# Q: |( M3 {/ r9 Z4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
3 J7 m& \) w9 N: c& Q

, |8 q( C4 B, B4 G$ s1 Y$ w( }) I
  _$ s# ^2 P/ r& l! }公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
' I/ d: E7 s5 i, i. K* c$ l2 b+ b

' S; }7 Q5 R7 ]
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

5 f, ^" r* q4 |5 X6 y# o
- }/ o! j# u" T/ ?


& Y6 H4 z1 [, F  y* s$ H) b对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有


& C* S2 J0 C7 m1 W
例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
* {9 G$ B$ t  j* ~6 l8 l( z) i- \
. W/ d' V9 C& ^5 c6 fM / M / s/ ∞ 系统，其中
) k5 D& b, h& D8 z4 J( c2 i

8 O- W" D2 A0 y
: O2 J4 W  y$ d, L

) K( v; m8 a: i, G求解的 LINGO 程序如下：

4 @! g& u- }9 A: G; x3 f3 rmodel:
/ t' T* J% m0 H, a' q; L* as=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
2 Q6 _$ G' J0 G& a7 `; mp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
* Q4 D* @* H4 a# X' `0 oL_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end
7 Z+ N  ?4 f/ Y1 `
+ x  x" r+ _9 V7 U" Y————————————————
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SHINee0525

感觉很好 很实用