排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
% F  t( V1 d( y
! m1 u2 b' v* I, g下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。



- v2 y& N/ o/ t! c$ [. `为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
3 Z0 `) u$ @) Y, x4 l7 O' ]# Z

% o- ]+ |0 M9 v3 L) s  n

+ L0 w9 r7 h) h  V0 i) g" J
述公式得到平稳状态的概率分布。
* Z3 _7 k  }4 Q: w9 I
5 n% d0 W+ q& C2 {+ E5 |2 H2   M / M /s 等待制排队模型
( y0 X' \1 E  v' }2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布


6 H; U) r) a( ?6 a
* g9 U) J0 K& f7 N- c6 a2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长



' Z: {8 F8 J" [
$ O6 [6 z2 [8 C) E2 d4 J* Y/ \
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
1 K, i. Q# I. J/ x; N; e$ X
2.3 忙期和闲期
( i5 C. _% u& a) [


个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
" G/ T- {# D! w5 P  H0 i( ]. z( S. _
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
( K$ v% _5 [' c- I% W' J4 e/ Q（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
% }! a( ?$ U7 M: L" P* B" h/ j
7 G0 z0 \+ }! Y6 p2 i3 s（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
" X# M* n" K" m  t
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

& m; o: q; T- m例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。


+ v: U3 n1 w) {3 b
编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
, M. z  D3 h, @. Y  h) S% hp0=1-Pwait;
/ ~& B2 ?0 H$ Q! c/ UPt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
/ k! E, L5 i% l设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

% e  j" ~8 M3 Q0 x; ?2 \- m& t

& N6 |) a2 _  w% g: \公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
) e/ I2 b/ ^* t) E
7 N9 X: {1 [- z1 R" e

* K. A/ d. I" _' U- m7 C) S: q' v式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

( Z  {( H3 U) c( J% O

0 T6 j9 p9 \! _3 A6 p$ j' K# Y2 Q

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

: v/ i; @# U& C" P* W

( B* S2 v6 h0 _6 d7 ?2 q例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

  Z  K4 B* ?. ]. p+ A8 ZM / M / s/ ∞ 系统，其中
! l7 X. \: M5 f2 K" z
- W- r3 D7 f) R( W! n3 W
5 Q1 A2 \* r( n2 v$ D

8 B4 }% |2 W/ B2 {5 w7 L
求解的 LINGO 程序如下：
2 g/ M' |' H, j" O% }  G4 V) G
9 o: l* d$ s" l. m' Kmodel:
- M* s8 s' I' p8 `  j6 n! q/ ?s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
! ]9 w8 R2 K' _3 Q( f6 Z# ?L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
& Y: H3 B: C* q; AW_s=L_s/lamda;
; o! b% h# w) c- _$ j- M5 Bend
  ^! p8 K+ b$ p& c0 g+ ~3 J/ E
& @& f6 w3 E. Q* m, V* g————————————————
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% ?5 [, M5 v. A! ~原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
/ C, e/ c" c8 k1 K6 Z

SHINee0525

感觉很好 很实用