排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
0 x! }  \% H" C6 L# I一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
& f' W' J% [/ S! _
% p" _: ]/ l4 |下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
9 g% p# k+ \! D  W- j5 q
" G* h( a: |" W# _4 ^6 Q* b
+ }3 T8 r7 y* e( U# J  K. m2 Y
8 X/ P2 ^2 c3 v0 O: s0 C/ s为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：


3 n2 v5 {8 U6 X  W8 A, V2 n


- }1 {+ T( M. w3 H# V( {' W述公式得到平稳状态的概率分布。
% L# t) t" b+ b3 [/ s' Y
3 |% W0 ]8 }, |8 w% e. j2   M / M /s 等待制排队模型
9 ]: q% Y& p- l) C8 v2.1 单服务台模型
6 c4 L$ D( h* u0 s9 L7 L单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
7 `& k  c1 w) J3 W, o/ o  M
: E4 z' L2 J5 j3 t+ ^2.1 队长的分布

, _* f( N. X+ v8 N
- O5 i$ i/ p  t$ |& _
2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
3 |/ j& r2 G/ s. @  ^$ X  h



, ?7 D# ^9 C! s; X5 f- t5 ^
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
, N5 @" \, r; k' \, n3 y) P7 |
2.3 忙期和闲期


! K/ T# @# U0 j/ v( r7 d! ?1 T
: I6 A; w; V3 K7 s/ S6 N- R2 S2 e个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
9 U% I8 A1 o! o- X* s
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
- m$ }/ x+ C: D' G0 a$ Q- x（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
/ k) A& K, U" l& U) d
3 [2 `6 c5 Q& F( g. X（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
' @7 K3 L3 R5 i% k  m% ]$ G/ o, ?
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。



编写 LINGO 程序如下：
1 a* j( @' s! b0 _, o
+ l( E6 \4 S8 |  b' dmodel:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
% g+ g7 L3 p' U; |0 O5 x5 h5 Vp0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
1 @6 Y' H" Z: K5 [' }3 Z设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


9 t) X8 I. D: `( ?  @
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
8 I1 u0 K% s% ^% f# A8 t


式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
' R2 h( e7 i) z0 o4 C, |0 _
: u" L- m* i' \


$ a& {8 `. G" F: L9 x' b' ^
对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
7 A, O* v( D0 [

1 E6 e& v+ j' I' _' e) ?8 I
例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

+ p1 f  v* V$ `( x2 j/ A, vM / M / s/ ∞ 系统，其中




3 w4 Y  l4 o+ v# O5 ?. G( l( {
求解的 LINGO 程序如下：
. o2 p" j' H; K4 w& @+ _8 K
+ b% ?( y  [6 Y( N2 @3 u, U4 N  {model:
* y2 a3 `$ B9 u$ b6 }s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
* h- A4 h; }; ]4 H# T/ Op0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
$ }- N& b5 h1 GW_s=L_s/lamda;
end
# a: x7 m8 W; Z* N/ X3 K
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" R6 p7 W: C1 W# m+ i: z

SHINee0525

感觉很好 很实用