排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
7 p$ F7 e% J- l* _$ }9 N一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
5 c& W5 ]/ q# L6 _0 M6 ?. [; ~' f; _5 A
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
2 d1 Q" o% J# Q; n


为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
1 F  C7 h  c, S( C! h/ \) H5 g


4 v8 V+ e6 R4 ^% W' C- l: A

述公式得到平稳状态的概率分布。
; D, \1 A5 i7 I9 v! ^& j& p
( `) J6 C# Y3 d/ S, p; F; @1 p2   M / M /s 等待制排队模型
+ u* T8 g" ~4 v3 Q3 ?2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布


9 v# `3 W- `& W8 C! ^+ i8 R1 n
, [. [  j: y2 S- _2 ~! c; T# k2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

4 Y- k5 g3 N4 ~$ D9 [2 V

5 V( q  ~+ \/ R, e
$ f" B, i  {3 B* K% ?
& i2 e5 f! ~! ^) x式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

+ F0 |9 K5 ~; Z, m8 ^2.3 忙期和闲期
2 G5 g! @) p2 T' o

0 Y5 Y" E! i& Q& y, a
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
/ }% O5 }6 K7 N" \' g& j) p7 V（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
# ^+ k; M4 W! a: L* H( }
) h# m. K* k* V. V( c/ b（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
) Y, ^# i6 i1 _4 _  A, H# Q
$ ?1 \# {0 w( u2 p1 |（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
* O; Z, G* M  q$ J4 P# H
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

+ `4 U$ {9 u, Y" g4 g6 j! g
1 I) D. U$ x- \" X7 x" T
编写 LINGO 程序如下：
2 t' \$ n4 t% ?. X" w( k
2 @: f. [! E% O6 m1 m8 ?model:
7 i3 w# E, E0 ~3 K: Gs=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
, ^8 V' d4 |. I. m" d  ]9 Z设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


6 T& B! s: \2 k( ~5 `
! K; _3 l( y- y. ~+ [. Y公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
8 E+ g) h+ }/ J. m+ G7 T. y9 P/ g  g


4 V1 B' [* i9 ~: A: W" H式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
1 A7 t! P' O$ l3 x

4 s9 a: i" O. y' q, i

0 q: a9 R8 k: X! E7 f4 z
4 N) m' L4 c# ?( l: U5 Q- y" A对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

$ `: D5 Y# e, C3 K6 B* v  C

例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

( Q5 e9 m) Z! M3 EM / M / s/ ∞ 系统，其中


6 T+ w5 L  Y5 C9 B+ z5 ^! E


求解的 LINGO 程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
1 O2 u* f  L! EP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
5 M4 n5 ^- t; J' R2 u1 tL_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
0 T4 z* \: ~/ J" E0 AW_s=L_s/lamda;
end
' b( ?( s" X: {4 L8 @# t% b
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+ ]  a# Q. R; P+ S

SHINee0525

感觉很好 很实用
9 l4 U5 ?( C$ \