排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
) T7 S$ z4 |# V


4 D' Q5 v1 ]6 k) H0 @为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：





6 I6 V( }  N4 z( q, j# i述公式得到平稳状态的概率分布。
* s# {, w% D) P  J. p& ^- v
2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
/ X7 r& k. U/ O: g; ~
2.1 队长的分布

4 }1 T/ M1 y5 d" o* r! j7 w

2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
4 @" y# D( R1 s( K  j4 j4 ?4 _

9 e0 e* w: n6 p% x  W


式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

  k3 j. d: O. W; g0 o: |2.3 忙期和闲期
! J  ]- ]* B0 Q( w# z1 ^( y


6 d8 O! j: n% y' i1 Y个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
) P& S/ ], U0 C! p* Y
$ _3 h3 h, N3 K1 _3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
/ G9 e1 o5 T% d" ]
( P9 c2 \3 X7 x) N6 h2 j/ P% T（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
& g( R# j9 |/ A/ r. D; F4 ~* A
! e  y' s3 j0 {例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。



% l- j0 J/ \) p5 K0 k) h编写 LINGO 程序如下：
/ R# [0 c8 a9 |" u! _) X) \
model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
1 P9 d+ J, }) H; dPwait=@peb(rho,s);
# T; L( y  E. ^p0=1-Pwait;
- g' C+ z& v& M& `) W" {3 ~Pt_gt_10=@exp(-1);
2 a8 ^+ a2 A3 o; F+ xend
4 ]( K, e6 I" a1 x4 w/ u$ a4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
- Z9 t6 X6 ]  y* j设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


3 y& U# M8 `( K/ G+ _& y" j* _, d+ ~
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记

3 [# g) i7 s8 [  [7 [
* v7 S, f* k- u6 R2 t0 }
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

) C0 N4 `9 V$ I6 ]6 y
9 @1 Q; G/ e; a$ A5 i
: `; U5 P! x3 }( R& I; L

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

' D* Z( r$ R, i$ P0 a

/ t2 R& a# t: [$ ?/ D例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中
$ _( p5 X" d) }2 s# R3 n! y# C$ [

" e9 [4 \( g1 J6 J

/ t7 t9 u  |& m3 M
求解的 LINGO 程序如下：

model:
: Z7 I2 }! H/ j# R1 f- f) R8 H! gs=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
. x9 Q  T5 b: z) b- qp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
) J8 G* z7 a0 m! _W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end
* p! n- x# h0 g- R) k0 Q- t0 J0 r- Y
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# X$ K6 F6 j* J  t原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349


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SHINee0525

感觉很好 很实用