排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
; b% V. \: \1 |$ C! B4 A# o0 q  O
1 损失制排队模型的基本参数
3 f8 E2 K/ `8 R) T0 w对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

& Y1 V( c9 C& ~' U4 r, N

2 X, g4 Q7 r  E

& s. L4 a  o2 D! S( ~7 h2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
( R! Z% \4 l. h. R! P& l/ ]


model:
/ }; H* D  g( v' Gs=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
1 R/ v' Z# I$ y+ V! V$ E; D# \lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
3 ^. U; ~$ ]6 t; j! D7 x0 m& ^/ h
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为

1 v0 T. D( y+ z- }4 x
' x7 Q. `9 {/ T; ^; \/ j
) H% L1 O) `+ M+ V6 j3 ~
# |" z- i  |1 _) M& w# h; s" k4 z" e  b
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
" ^/ T3 L. C# D
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
3 Y+ Y, g7 P0 H7 ^4 }+ TL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
5 |2 \9 ^- M" W* r- X; Amin=s;@gin(s);
" w! G' L: k* Kend
# j7 n9 l2 I5 f" W! K8 R8 \, K" G求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

$ {- L3 ^8 O0 `! W3 J+ x求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
/ m( Y1 w4 [! a! M4 O) o. c
9 ^& G$ k1 o1 }9 d第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：

/ z$ ~' b! v" o( o+ qmodel:
lamda=200;
4 K$ E" `9 p1 h  d6 \- M2 Qmu=60/3;rho=lamda/mu;
  T( X! w6 P. e7 K3 X; `2 N@pel(rho,s)=0.05;
. J1 C7 U) B/ C& Iend
: W9 W$ B* B4 J7 e( w& [. h. [# ]求得 s =14.33555。
& W# a/ l/ D+ s2 b( y$ [
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

0 I! n% I# c. B5 rmodel:
( L. ]4 }) S6 U& x) ylamda=200;
( A; ^) ^5 K% X5 xmu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
9 y8 e: O5 e: s# u: x( Q0 JQ=1-Plost;
& g: |+ {' C6 W6 ]- w9 Plamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
* d+ s' e' R# I2 j8 `5 A# @L_s=lamda_e/mu;
6 s/ f5 y/ i/ U, t7 neta=L_s/s;
end
4 F$ h1 d3 t$ x7 H  W5 Z- N比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
$ d9 r! K" R7 o. m$ ]9 _————————————————
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