排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

* s- Q& _/ g: d, I0 }5 d2 o1 损失制排队模型的基本参数
: e9 ~6 \3 O% J/ ?- u对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。


! ?  C* L; f: K) o
* c' B# \! c7 O7 q0 _

& ?  K% }: c0 d) F( o, j2 m2 损失制排队模型计算实例
* N: \# c8 E! N/ a6 F; R2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
8 {. @1 y! H3 p5 e1 z3 ]例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。

! |( I1 g- T/ h9 Q; Z( }4 y

- _9 T1 w8 Q0 T6 Q) W, e! Tmodel:
5 `3 |9 n2 n# O. U3 ~' }s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
3 h3 k( e( K8 V  n" u" S0 leta=L_s/s;
end
# X  G; B* a) U/ B8 Q% r. ^. m求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

8 N% a% Y& |, S( z2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
" c: c" ^  k3 w) H" O& L! S例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
6 H8 h6 J. `, h' U


; |4 T% z7 Q$ l+ e5 E; G1 T

由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
- v; I) `% g0 S9 E  j. Z9 R) x' E. U
model:
  z! u" P5 y. S$ s- \& e" blamda=200;
! S# I+ {7 u) x) I. \8 ~mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
6 Z" E# ]7 C# J  c/ {Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
0 \0 N, I4 V0 Bend
0 z- Y" \# m# u/ q5 p求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
5 M6 |; `1 C5 ^8 |
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

9 S9 _: y! X% r第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
" Y2 g4 F5 I9 Y( `  T. O. ]
model:
( a6 C- v- P# ?) R7 A1 d" rlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
# R: l2 a- g; V" x! d, D( r7 v@pel(rho,s)=0.05;
end
2 r1 c. y* N- q6 ?' Z3 @8 k求得 s =14.33555。

第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
" h5 ^$ k, E5 p* K8 n& K: W6 Y& @mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
6 a& |# u0 c( w) U- YQ=1-Plost;
# R( E/ d7 ]1 d  S1 |; Slamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
1 M& r! y4 w7 o6 ]- ?* @" pL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
' X2 ]# L+ R0 G) j8 I* V比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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