排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。


: G4 h  D1 v( w9 r' c

. n5 Q( l" ]3 P- f) H  b
. |1 M1 M3 h$ k( L2 损失制排队模型计算实例
; m3 ]: x- Z, l+ o! J0 g) \! s2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
* o+ h" h3 |1 B8 t7 n0 c  X例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。


5 \, u4 G/ U% N/ o, J
model:
3 _% Y0 M9 k3 ^" Gs=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
, k: j% }- T0 k2 N. jPlost=@pel(rho,s);
* P1 C( B& B4 H5 q; X6 O" y" \* k; Z5 KQ=1-Plost;
; k' P: B. a( F4 j5 llamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
, t8 x% a! `0 ]- S3 JL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
7 L5 K. D8 @% @1 R6 Mend
. c! ]& M. b+ F4 e求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
$ `! A; M, E' @3 v' ^# p  C+ }
9 K  ~: j) C8 w0 w/ F; Z3 }. w2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
+ b$ y- E/ M3 [" A例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
' {  ]. k& {  v2 Y
. Y" y. T9 c1 s( `4 O: {4 i6 Y解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为


1 R/ r9 D( R; V3 ~
) U+ x0 |7 X" J* R8 A
' G8 o# {1 [) |& Z/ v
/ J* U; E# m( T. [8 {" h2 r由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

' G, P2 T4 [, h, omodel:
) g' r0 C  L* ~  {! d  Llamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
; W& a( G! q# Y0 V5 qPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
- g+ c* [/ F; B" ^7 e  U) EQ=1-Plost;
. }) r& s1 Z5 R$ Hlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
$ N' u8 z: ^+ A1 e, f0 neta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
! m1 K* _8 H5 P( c* ~7 H6 Oend
6 f: P8 B7 l9 o. L4 J- A' b求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

0 L, |" j( T0 S求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
2 }0 y& Q3 c/ Y! n0 f
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
' b% o5 l# y0 S+ o! k0 I7 x
9 w0 C0 {& _; {/ Bmodel:
7 l+ B/ U- P: ^( @7 Nlamda=200;
+ ~4 j1 \% o: u# J. L$ T# bmu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
' J9 [- G- }0 L! ~3 g; n& N5 [/ @9 Xend
求得 s =14.33555。

: ?; d* t' U4 B* m第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

3 [" y. y4 ^  F1 J8 ~model:
( F% R6 k* I" p  x( `& X$ Tlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
+ v- R: s: w! Q3 C( tQ=1-Plost;
/ `+ s8 n+ N/ J$ N$ [lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
% {6 [. c  |. J% P$ Q% ^; {& _L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
9 f8 W, a8 L" M- \) \. h# ?; wend
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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