排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。

2 _7 T+ }8 }2 W- c* A6 Q! v5 M

- q9 I1 [+ t6 x1 P7 Z
1 \3 E) P' D' Z# `/ g3 \
由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：

$ Y& L8 k" K( [: e: s
) S2 f* Z" `7 e- H; D* K8 b
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
8 S/ {$ Z, I5 N) @- \
& R1 [2 c. b' m) @: C: h8 q解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
4 T$ L. W% X7 b) s+ A; y; C

5 N- A! m7 {* n% t
* R) [  T9 v3 O! j5 p& l* E
% b$ X  m' b6 V& n
8 S2 l* g* W5 H8 w/ |编写 LINGO 程序如下：

. P* U1 O+ J- z" M" Q& Mmodel:
( G3 y" k8 v# Y. t! Asets:
state/1..4/:p;
5 ^$ h7 x+ S* Q6 Q; l' c8 P+ Rendsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
/ ^/ {/ [% E7 o& f- K' r7 Q9 P4 ilamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
) L' L3 K+ A. d: C@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
! E) r/ m+ M2 y. P- Q+ V# ZL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
1 Y/ h0 P; l1 t& eW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
4 y7 B3 d  @  P+ O! v' z6 s, oend
2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
4 n3 Y2 N& D2 M+ W; L" O
; L5 a, Q( ]( j  R6 \由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
. j2 o. V+ n( m. c# \  O

! {9 b% k$ _9 a
于是
. j4 A- `8 a4 @. a
4 k8 q8 R9 i& i$ n
2 _, v( P5 D- R. c. w
$ s+ r+ h* B/ T
6 t8 Q) f/ R) ^% g- I' ]


* p0 b6 ~. Y6 L2 m% E例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

2 ~2 [9 m1 _8 ?  z* `解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中


5 Z4 Q. Z. w. L& r
% t8 w, Y  d6 N编写 LINGO 程序如下：
1 [6 r9 C( J: s8 v5 M  l. ]7 m
model:
sets:
state/1..5/:p;
9 G+ }5 w) O0 X3 `# p8 ?; gendsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
, p/ ]! [: [9 }$ Q(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
  C3 |! [5 `2 k3 Z8 m( s(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
2 Z, x, i0 r  `  C- @3 Flamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
5 i/ l' s, q& B! A) d7 v% Wp0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
* K, }% V  {7 |L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
) W( B! i) c* pW_s=L_s/lamda_e;
; ~* }4 t2 p5 L- X$ ]4 K, m( gW_q=W_s-1/mu;
end
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有
0 A( K7 _, _# {6 U; t
% v" F, a* E% q0 E

式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

4 Y2 X% |* N+ _0 f, b) e对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为


: l: [$ `& @  W" K% _" A3 `
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0 L, N. p; M4 }: k. q原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735728

$ I+ P3 W7 v0 U
, ~6 X, O2 i. V