排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
- S0 \1 [% ]3 E+ D; m/ A单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
. o7 v. ^. {3 S# A, Z5 `4 E
! h2 y% m1 x+ S# A' s
+ u( [7 T4 \5 R4 T* G. I
, h" l* F: p: j% k
: [! x* g4 S- ?, s* |" F  q' x
" O2 S, d5 ~# S3 A0 ~, [9 H0 k由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：


( d/ {/ [# K8 r: U/ o7 Y# q" ~
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

5 N$ `  H  g, x% h) F解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
0 O$ P+ A% w* B$ Q  }+ O% u6 M


, T4 V( G+ J& _4 P1 y% C" u+ r. r

编写 LINGO 程序如下：

/ ^/ o2 N6 o( f2 c/ Nmodel:
% C) y7 |/ W7 O0 ]9 R; zsets:
state/1..4/:p;
( ]( J+ B; y% _9 B1 y$ |/ g) ^$ Lendsets
: `% @' ]8 X, L0 o3 r2 Rlamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
+ a! b/ \8 n$ c4 Z0 i  @(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
% \; U1 [0 B8 r' rklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
- x: T5 e: H8 x- ^7 U4 j8 rlamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
  W+ w% D0 H3 O) M( U% e$ iP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
+ }  x& Y7 }* u+ XL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
1 U+ Z5 K3 Q1 H5 r1 j0 ~L_q=L_s-(1-p0);
* S' u9 ^- Y: |: W! kW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end
2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中

# N2 V% `  g6 B' a2 A
; Z0 I. N4 \5 k$ S" G: t; w
于是
, J% B* A6 r8 j2 A+ x



6 ^, Y$ b, c2 h  c0 F
) X- d) ?% q' P$ f

0 r! V' ~. h: y( w- p4 N例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

: o# k) m  k' z# @& J7 y解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
$ [, O4 a/ T; f( r


4 x: f! o" K# K编写 LINGO 程序如下：

model:
" F, I0 H8 c$ h* a+ \" C) Ssets:
' m; l. R: I: q1 cstate/1..5/:p;
% o% z/ i( w/ j& ~$ Hendsets
( |0 I. `( O! h1 b! j* P5 P' ^. Olamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
  }6 {$ y- C% t! B0 R(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
* |) e8 R; e& A8 S7 H(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
7 F9 n, I; h8 ]. b% E& M5 E& Nlamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
7 V8 p& [( j+ gp0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
W_s=L_s/lamda_e;
/ J( W3 U  I- y$ o/ f8 z0 e. mW_q=W_s-1/mu;
end
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有
: U' w! \1 W4 P$ T, ]" y: W
/ ?: H8 T" }4 q, y$ F, V9 @9 K+ r

! _. h$ o9 r  J$ R. b; i式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
& h, Z) c; @: `
. Y9 D6 D! y( U! d8 T; X对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
/ [* X" g. y6 b& C+ o8 l8 r' U


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6 e8 ^7 G" |5 Z$ T: j& i8 Q& r- Y

0 v- Q: X% R) m3 M