排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
, I& E* ~* g0 [- @

, a1 i4 v4 i7 U5 u4 c3 ]  P  V
  f/ Z6 A! H. A  Y

6 W4 t: U( P/ @由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：

' M9 [8 k# y5 G# J# u7 }

8 x+ s! A# g' ^1 K$ o# w0 s例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
, Y* i# V+ X2 c- Q* r' d4 @
; }. L" O& a6 `3 F0 |6 Z' Y解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
9 |$ ]+ E4 x8 G  X

/ A8 f9 f; ]( l
2 |- o' H: M& b, C& R5 b, }
% [! c# u/ Q8 E; n6 m9 Z; b$ }! r
编写 LINGO 程序如下：
7 b# [  e3 a' }9 S! ?
3 d' p+ i: s% u0 fmodel:
1 n, d0 ^7 d, K8 }- i2 D3 s. |) \sets:
state/1..4/:p;
( @5 o: F8 R% {! j; C& ~. _endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
2 a6 v( u# k* s$ T) X(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
1 i( _/ }0 O; T' {9 ?@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
8 c4 {* L) ?1 a) v' Plamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
; R8 c# Q" t' N; mP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
" _1 j% F5 W& E- d# M( T- EW_s=L_s/lamda_e;
8 j, P+ w& K0 c4 r$ Z. E' {- \5 ?$ HW_q=W_s-1/mu;
) k: C+ S  U+ s$ u2 v8 Dend
2 多服务台混合制模型
# M# P5 L; h9 ]2 n多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中

  r0 q  d, B3 D0 _- [7 V+ L

于是

/ A) ^3 t3 Z8 S! k; Z, t


. ?& z! [( d+ L; l/ A: z& ?
' e" B. a4 _$ V  [  d! I
" Y% U( |5 p$ X3 n) n1 C
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

8 w1 _( Q$ y& A- `- x解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中


4 A9 |- _' t5 ^
; X" r( n6 H7 j% y. O编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..5/:p;
) c7 \: v6 X. K$ Zendsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
5 N, o7 N' _1 D2 F(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
( F; m1 x/ Z5 ?! o@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
6 n6 _7 F  F( K+ l(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
  Z" x7 \7 L, ]* o( q% u! XP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
+ A) A; m) ]) I; E& d; S( |L_q=L_s-lamda_e/mu;
) b0 g! j5 r; q" W7 i# f7 eW_s=L_s/lamda_e;
' L' ~+ H- k2 s3 u9 YW_q=W_s-1/mu;
0 p2 j5 I+ u: h* M6 P) ~4 Zend
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有


) x# ?; N7 C. ~1 U! M9 n/ J
# |8 u0 l- Y( N* X7 o( l式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

3 O! M# ?: B& B- ]+ Q对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
, P5 d0 {  h+ }
+ ]' y' X. v( ?: K

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