排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
7 ?7 Y3 n1 ]  o0 ^: m8 u
+ r+ t6 q& m" }$ h, C& a0 C) o

* b1 L4 j. f2 `关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为



下面给出系统的有关运行指标
7 E+ x2 \  P7 i1 Y+ w0 N
$ w' \- A8 g" j

例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。

解 用有限源排队模型处理本问题。已知
5 \  u- s! n6 F8 W: T5 K/ O
7 N, e( w2 F9 ?4 c  t
! N3 n! B4 h0 j" v
; l" f) S: D4 t  `
& v9 z$ p% l+ p# N: x$ Z
/ z/ v0 i) z5 `/ ~/ x即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下

# N) T  `: j" r+ S2 ~model:
$ f0 y1 ^- O9 Q1 Blamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
3 Z5 s; z& K6 m* {( wload=m*rho;
0 @  }; S2 D" M. J9 t  NL_s=@pfs(load,s,m);
p_0=1-(m-L_s)*rho;
; x0 e) C' G- ]! X8 x. U8 ylamda_e=lamda*(m-L_s);
* j# X0 E* a! ?p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
L_q=L_s-(1-p_0);
% n9 h& U  f! m' e4 N1 `0 P, bw_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
end
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
) i, O4 J0 u7 Z. l6 i9 a
( n! }0 k; z0 L

$ o2 H( _8 C7 B( G& w. E# {* e
* q0 ]: v; a( d. Z& J
0 m6 j. F, d% l; o$ ^6 ]7 }0 I& R* l
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