排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
6 L/ M9 r6 l! u; s: q* t" A  i. B& e
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

& J9 i) G/ q# |5 j1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
) P+ E' v  Y& g( d' Y3 H先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
% S; V# S0 }; s  ~
7 }( |6 b2 o" B: |7 f$ Q7 e/ R
6 ^! |: R0 W; E' Q5 E

& y. Z6 T. \- ?3 r0 ]0 ^
) b9 z* G, f9 \# [# e7 F6 P# Q
2 w: y3 \+ T+ G1 L: @. p
3 y$ p9 V: W0 @* x6 k! `0 y5 D编写 LINGO 程序如下：
- m- K: u3 h, R7 K9 F8 J
model:
, t; m+ b& U: i* l* r0 ns=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
8 N& {2 G) W3 X1 Xmax=100*(k-L_s)-75*mu;
1 Y) A! x1 {! L, t" u/ @end
: S5 A$ h5 a7 [0 K6 ^0 C$ ]! |
6 I& S$ N4 S& O* S; I
' z  \; ^" k% m% B

编写 LINGO 程序如下：

& g$ l  E( H- V8 \# G' M' xmodel:
2 b8 t" l: \: v, K$ ~4 R+ Osets:
0 h7 {" i* C* \+ rstate/1..3/:p;
endsets
  Y! R' f$ c2 z) ^lamda=3.6;k=3;
& T2 v- \* R: y6 xlamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
. Z: K- S  t" @3 j@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
1 @+ d: S) E: q  U8 j8 V& L  ^2 L(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
( @; Z) I8 I$ J5 w* K2 V) n2 w3 Klamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
" W$ z' z0 P7 `$ }- T5 y. F7 }+ V1 zmax=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
' w& N1 w+ ^/ i& X8 F1 ]求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

( ?/ d1 F. e1 w* a6 o, I


# X1 [" P; ^8 x1 I例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
# o7 v9 a2 x1 W4 [5 a" q1 Z


2 J- U5 W1 o, q  p0 r5 j! w- V求解的 LINGO 程序如下：
% r- y; W$ `3 N1 }
model:
# I0 F4 v: y6 v0 Flamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
, v5 v& u6 }, ^5 N  ^6 kL_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
, `# Q/ |* I, }& L; c' Hmin=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
end
- j' }: F! }8 l$ V/ f- X
* X: f- I' u# f/ j————————————————
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