动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
' @$ F/ y; f8 L( {* ?
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
9 F# D4 R1 g" F4 G  L
1 变分法的基本概念
+ N/ U9 N; `% E1.1 泛函
2 @4 J$ e. F" [: @' P


1.2 泛函的极值
1 d; J( Y7 J( S0 G; G+ h


' {" g2 b) @% b. I0 s+ B9 b+ f# m1.3 泛函的变分

) n- c# e7 A2 ]. d! j
+ L- a9 @( ~; y/ l

1.4 极值与变分
# h% q+ a) M, K) n+ `利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
# _1 a1 D/ T* u5 r* M
  M; Y9 X; a% _6 [) m( y

6 L# k9 N, E. J% c  \1.5. 变分法的基本引理
& u* R! p& V: a7 B0 `! K% ]


1 F3 G9 R# _9 N0 ?2 w& y2 ^2 无约束条件的泛函极值
9 f$ ^9 v) `! N+ Q7 H- r
3 A' \' O# ?5 O

2.1 端点固定的情况


' n5 s- x& u  s$ @: g$ A; |7 J

9 `6 `8 ]: F. b6 L. K  O$ v2.2 最简泛函的几种特殊情形
. V- p: E! K6 y% I& L
9 ]- F, A- C) j% V% s
4 B. M& ^) x. D( I0 B9 i


例 1 (最速降线问题)  
7 l4 {- c* q8 o/ k' A* p& D最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
  N1 }/ p! s. b# T
) s) C* U7 L1 y5 b8 e
; w$ c; l8 Z4 w6 m3 J. y


例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
$ {5 Q) E2 r) A2 a+ _1 ^+ V* c% |
2 l( G" M. C+ b6 A" C8 j; G
, e1 a; X, R6 q0 `* `
6 I) g5 }8 h' d9 A" D- ^2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
  f7 ]6 F4 `" q. r. |- S  t7 ~
（ⅰ）含多个函数的泛函
$ N1 u5 v  g* S$ O
: c1 z  p3 O* Q3 R. s6 U

（ii）含高阶导数的泛函
$ y) I( k' {6 ]6 g$ W9 T" w


  Q" v+ f! R1 M2 E（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
1 L' A5 f6 \* g3 G) H4 l$ D) n8 ^

8 ?# e% W- o3 `! U$ }3 A+ S# _+ y% e' G' l
2.4 端点变动的情况（横截条件）



( R# p% I2 s4 d) C% |
横截条件有两种常见的特殊情况：


1 {" ^! \% g9 a0 c$ [8 g7 u! q
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

. {* V+ {, A" F1 L# a6 D 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
7 T+ e, |5 }! L2 G4 i
* B2 _0 O# ?# m6 v, _' F
. V3 i! G$ M; I3 t6 N3 O




; J9 \1 @+ n6 ~1 L$ a3 O
. K; x% _* [8 l1 `8 K6 j
) A  u1 l7 p3 g( V/ G( M1 e4 最大（小）值原理
  V9 e0 n; l6 N( H


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