动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
  k$ d! y, C! X  C& C, G
变分法简介
% q3 R1 K- Y0 n2 d; R( o
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

9 T/ l) g. [. U9 h/ W* q3 `2 Q1 变分法的基本概念
1.1 泛函



8 R) R; f5 A! c 1.2 泛函的极值
* s4 y+ z6 }5 ]
4 S" ^( \" a; G6 M3 d7 F

6 M6 e3 m' r& y  ^+ D1.3 泛函的变分


! T% P( R8 p4 u7 f4 Y
( l+ q- I. ?! `8 q% d
" c7 e7 z+ ^4 r4 n  G1 G1.4 极值与变分
. [; @" t* c8 K$ x7 p) m9 o: C利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



1.5. 变分法的基本引理
! }) x% |; Z8 H8 j  r8 |  y, E* q
2 ^& t: M3 y# w; S

2 无约束条件的泛函极值

/ N. e) S9 Q9 N7 `) S3 N  Y
" C2 o- z' O2 U3 k3 d7 r+ d
( L+ c* g/ D4 `( Y( l" w; ]7 R/ h2.1 端点固定的情况
5 j0 l6 p- ]( U" k/ {

' |( ]0 n3 @) Z) _% I8 o8 y- x

2.2 最简泛函的几种特殊情形
2 X7 t1 B  c, W3 q2 R# G8 ?* H

, z4 V7 }: Q, I* A. _- \
5 J8 w7 @: Y/ _0 S" r

  o, M) B/ q& M9 H. k9 s例 1 (最速降线问题)  
2 C* h( [) v* h, M; [4 Q+ f最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。


% l$ ?) X( h* o% c' B: @


. i; }8 S5 D6 N' c5 N8 a9 e例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

3 J& S+ v# {8 i8 Z6 p
: F& H5 m; w0 x; Y; ?; |* P; a# t
: I" W( f3 V- s6 j  I2.3 最简泛函的推广
) i- O7 ^" ]% A/ f3 Z4 Y: _; ~" ]最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
6 ?1 ]: k3 a, ?+ c7 q% Z% A
（ⅰ）含多个函数的泛函
: n4 j) ?. `3 F: q  C
! {1 A4 |- n) x1 U) d* j+ G

（ii）含高阶导数的泛函
3 z1 @5 l, s4 ~1 a


& a( V) H$ L$ H9 F& W7 q2 J（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


9 p* d/ _) O. B, K. g  m
9 @1 k" I. b8 c' [, @* y2 P2.4 端点变动的情况（横截条件）



- I# C% n6 s% f# O# {
横截条件有两种常见的特殊情况：



注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
9 X& y7 L+ ]9 I0 @1 R1 `; Z. J1 I在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
- a3 D: ]' g) q% Z6 `% n
: Q0 _+ |# g% u" ]+ m
3 g2 B9 p3 E9 k0 r% \
6 j' e6 L" b; {

% o) x8 `- Y+ P+ _8 n  f! H
# G6 F# |3 y2 u0 i; y2 O
7 a! E$ j$ C- O7 @4 ]

* j, j6 t3 u$ v7 p+ c3 v8 n: a4 最大（小）值原理
- }) D1 e1 S9 a' Q. Z; Q1 [: A

1 t6 V; ~: r0 M: D( \: J: `
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0 o$ I4 q3 X  e7 |* s" N0 Q8 i2 z

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