动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

7 B& k+ ]8 E$ G变分法简介
! V4 \% N! E  b, o& f' n* C
, D  [( N( b' M  j3 g2 b' z, @变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
1.1 泛函


0 {  W$ k+ E$ \8 O3 U' T
- H: ^4 l) i' R' O/ X 1.2 泛函的极值
' Z% ~" Z0 Y! i9 o+ A, g

1 o( x: ?4 t1 C
1.3 泛函的变分
+ S: r! R  D5 g" `' h: s
8 X( L0 r* I$ s6 ~
" Y& E; W& q% D7 N0 D' H2 ^
! _5 i( y5 l9 U, R% b6 g3 u) r
3 [+ X9 u% w  g+ P- L1 V9 B8 i1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
$ R% Q: u- l4 H7 O+ i; ^4 M, M: n
! t0 ^+ w4 _  x6 y8 ~5 |
7 K" i4 q7 F7 X  \( k: F* Z
1.5. 变分法的基本引理
4 i/ |" f) |2 H4 F2 J/ P
1 g, X$ w: J% \0 r8 W; Z% H! Y

5 }  u5 e7 O: K8 l- z6 f2 无约束条件的泛函极值

2 J5 H: X' P, m/ w3 M

2.1 端点固定的情况
  O& r: O0 L+ d5 `4 h' ?



2.2 最简泛函的几种特殊情形


% H9 L1 Q+ i; M( A; [; {4 c. I9 [
- f, K' G- v8 c' d% M1 D
5 U2 Z" b+ C% a2 E" g
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

7 A. r. j! L. g6 ?& [% v& v2 r% P
' G8 \/ i6 C, z9 E4 |) ?

  k7 N5 {4 H. L9 N$ C6 H- s/ o" x
) N; Y/ O' K+ [例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
( ]2 a6 I- a. ~1 Z  J+ ~: r
3 _1 @! s+ T( T' j2 |/ ~3 z2 k5 C
. @/ C0 F. \" e; ^# D& k
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
/ Z& b7 j9 n4 D! H, P7 U/ [/ c7 h
: v  E7 v0 A: r2 M) }# R（ⅰ）含多个函数的泛函
- Z, I6 ~, Y$ ~4 m; Z6 M% K( w
+ s& {9 y; [: a7 G/ G" Z! G: u

% J. [' Q( ]1 ^2 h- W（ii）含高阶导数的泛函


& W2 [9 R2 K* j/ V
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程



2.4 端点变动的情况（横截条件）

7 L' @- R+ n8 j

. M* b* G' s$ w8 @7 `  l, ?/ m
横截条件有两种常见的特殊情况：
% ~1 c# k! L$ f

. n7 e+ R& c8 M8 y& d& Y# w0 z$ C
. A3 ], _% m: P; h+ L3 W注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
& U) s8 }( d7 g. f: i( e0 h8 J: ?
3 有约束条件的泛函极值
' y  G) \: b$ W, p5 ~+ O& W在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
5 u/ G: X, Z, y! ^& d6 N6 _
9 E5 m6 d5 Q7 a! y+ |
" ]1 j! X5 B- t. u

" K" A4 L* j( K: X% Z3 I

0 a5 _( l& \  h+ P# h- X
8 p( x8 `* X) D( c  [3 w, @1 N* p

+ j3 l6 Z+ A9 F$ z4 最大（小）值原理

/ l" e6 y+ e$ R% g4 \+ |# I7 a
/ l4 E$ F6 X9 d2 v" _
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5 L+ _# ~5 D% P3 W+ }