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[建模教程] 动态优化模型/ 变分法:泛函、极值、变分

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    发表于 2020-6-13 09:50 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。% J9 u' l; A5 }; |/ `9 D

    9 L/ B* Z9 t' t# I9 T/ ^% e9 {+ b变分法简介
    + w/ `# }1 _9 S& c# m  C# Z/ {/ f7 ~7 f( I9 L
    变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
    ' @3 L( b4 a+ \# h# i6 T# w8 ~* t/ R( P' i
    1 变分法的基本概念
    + ~5 j) J$ V4 u( u- Y9 Q1.1 泛函
    $ [. d, u0 K% f6 b
    3 {% Y1 {3 h! J- A  l2 W/ o2 L0 x0 Y, {. u! u1 u, E* Q/ V
    ) m5 H7 Z/ r* Z2 l% z
      p* n6 Q% b+ K2 D: c
    1.2 泛函的极值, R2 H$ i6 e  q+ N$ d  B/ y; m7 p
    ( o0 A8 X, x; U8 m" ]

      w8 p& E2 t( M; p+ e% S+ |7 d7 k
    , e: k4 F) {5 T& [1.3 泛函的变分: [" a( J! j$ }

    1 A5 ]3 h- m& b$ i/ L7 p* z$ y

    5 z# W; a' D7 x, F0 {& [- ^
    3 |4 |( W2 i4 v( T
    8 @1 X- V, T& U2 Y  d1.4 极值与变分; C7 Z$ p' m: w
    利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:, r: H$ W7 l5 h- O; P6 G

    2 V! P2 n, U* Q! N% ?& @2 c- ^) R
    ( E# b/ p7 H0 P. {3 y
    8 y: C% i4 _( x( A8 c1.5. 变分法的基本引理
    # ?) k7 Z# }/ P+ J  |# s/ _; D
    6 D  l9 B# W/ e: x
    3 T0 i2 A7 v% I$ s4 e! i# z" s9 ^6 k+ x* ~' h/ q3 j4 ~! e
    2 无约束条件的泛函极值
    ' _6 X  v6 q# Q, {9 C
    * D3 G- t& W4 H% a$ J" o
    ' j. ~2 h+ T3 g, ]
    1 I) ?# N4 {0 K5 p8 @) e2.1 端点固定的情况# v7 b+ c# ?2 n8 p- s
    : @5 Z# ?5 B3 \  ~0 M& d. z% G

    ; l; I; O' z# n- _- v/ l; `! ]7 y9 w

    1 V6 `' E9 @, B" X. v2.2 最简泛函的几种特殊情形5 r6 i8 [4 y# W) `- e1 Y0 N

    , d( V  b- a- k9 h- ]  [7 U0 C4 R" s% e: ]( P0 L- c

    & g$ G" b! A5 q- A2 [! B0 F- Q& h3 h
    例 1 (最速降线问题)  
    , `# g) o- e6 z: v7 G# q4 I最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
    6 P1 S) U% `3 E5 H# [9 X' F
    $ {& ~+ M- P% e8 E/ v: D- h  ]0 ?' S& {$ d6 Y1 K( c
    : d8 a; n0 Q* ?) u+ i

    & y$ Y$ v% z( S" k2 I* l% w5 J* X4 @! ?6 N) r, F* a$ I
    例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
    5 [& z/ U  L* V$ r9 G& w9 N! @' l4 e" Z5 o% \0 n7 ]' x

      Y2 t, |6 n2 E( S8 W! v/ {' ^5 ~- D; R1 Z$ g3 B
    2.3 最简泛函的推广; ~$ q1 ?/ M8 h3 c
    最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。  i" }0 I0 D5 f

    & F6 Q6 g+ {4 `! p(ⅰ)含多个函数的泛函9 h2 c/ ?7 l$ L) K# Y! A; \
    6 c- \# H6 t. t# B4 V+ A3 F

    6 [/ S1 a; _  k0 O9 T3 L0 t8 p( g- G$ Q1 |# k4 p
    (ii)含高阶导数的泛函
    ( ~# ]# S5 C/ R7 S/ S' s  R! }. x; M$ V* L+ w5 z2 r( ?0 J

    % B$ Y! v( y* d; |7 C0 H$ p6 {. ^6 D
    (iii) 含多元函数的泛函、奥式方程' H; W$ V. B# G, t5 p# B1 L

    * }( n  ]& N% S- F
    3 d8 `4 ^% \4 H5 u' t" m6 e# p5 n4 }  B/ V1 I
    2.4 端点变动的情况(横截条件)
    3 f, R) h* v. k( ]4 E" [$ i0 b: _, m
    ! W# p# q* l' Z
    + C( G) ~+ P6 s* D! l& p# \/ V' w1 Q( H( h6 H5 {5 m; ]# C

    - c1 t; w9 I, h, D3 ^) O) m$ i  V横截条件有两种常见的特殊情况:9 W' ^8 d  G' S5 R; z

    & |" a. w, f$ I; y0 X2 \/ b
    3 z' i4 T) V) _7 l0 O0 [
    0 L4 J! c- q% b8 p4 H2 Z- {注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
    ! e6 i- J) z9 g! [  |" _$ y$ x4 i
    3 有约束条件的泛函极值
    : r: V& f4 y9 b$ S9 l7 y在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
    ' t' ~, |% i' d6 a6 K" H! j
    5 z$ e2 ~5 p- j1 e% N
    6 ~8 @: p( x! v  D" @( S/ k8 w( P, N1 j3 `

    + c% z0 N! `" ^* N4 b
    7 u& g" P/ j0 M( A- U5 A8 V5 D; L% c3 H7 m1 _* ?; `5 F
      x# H7 k8 ^3 Y8 g; Z% E2 A

    ' z# {: h1 v% ^0 A% g$ P8 h; p$ X4 w. _" a. ^# Z  w8 @
    4 最大(小)值原理- H9 |. j7 o- E

    $ y5 O3 C2 L7 N* u6 Q, D, h9 s+ x. t0 T2 ?

    2 E# G' k( y* Y7 |: d# U————————————————
    " F- z6 y, y3 X! s2 r5 Z版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    # a  @. p; a  D! S5 j# o原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497* e( w1 z6 ~6 _& n% A5 x. G

    - K9 U) o. j  u8 a% t& g3 c# `
    5 _  d. _7 m7 h
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