动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

3 X7 h3 F& n: ]/ V4 p1 |" Q变分法简介
/ J0 |6 E* u- P$ @6 k' M, v4 r
! I+ n" w4 ~) s变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
3 g/ k6 b9 o. ^) ?/ c! `1.1 泛函




* l& x# _0 D( h+ H 1.2 泛函的极值


: d8 U0 Y. z0 y% B
1 X; k+ @5 d2 N1 a5 O; Y( ]# v1.3 泛函的变分
: s6 r0 N0 h9 ~4 m2 \$ D
2 T2 H% }/ g5 D- C% `% p

/ U# B# p' p+ j0 ~% @

1.4 极值与变分
7 x* m- s/ W/ q% s! v! c利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



5 U- H" b$ L1 |+ r& ~4 {1.5. 变分法的基本引理
! |4 q& S/ W7 N6 x* A4 U; |* }
! s: d2 e+ A8 F, H7 K" s" d( W

1 a7 T' R: r; C: Q- z7 B2 无约束条件的泛函极值
8 M- m0 E2 D' Z7 i. A2 A


3 Q; L( V' H% z$ H$ @+ D( j% A* j# @" I2.1 端点固定的情况

  _! k0 L2 g( g2 c


2.2 最简泛函的几种特殊情形



/ a5 O% T+ l  s- `  ?$ ]
例 1 (最速降线问题)  
" _# ^2 F5 T; ~  ]: {, m最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
# E0 B" S; M; r) O: b" q
3 F+ M: r7 I8 H" {7 h4 Z3 ]4 e
$ \2 d% g# J. W! m
" `/ P" Z; E: z; K+ H: [
6 P' M$ A5 J8 a+ \+ T7 T
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
0 r3 ~# B0 I9 }# g: ^$ L1 X* H


2.3 最简泛函的推广
+ g* d8 l0 G) n最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

9 ^. e- t  _# j（ⅰ）含多个函数的泛函
0 B+ m9 t( U! I. V' X


（ii）含高阶导数的泛函


; o- O5 J/ R, n5 o: u
6 T* `. o1 d% c9 @. d+ v3 V8 j* N（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

. t& f( S, D3 o

7 _1 ^0 S8 H+ K: G3 O9 c0 ?& c9 n2.4 端点变动的情况（横截条件）

6 |( ~% Q- T) K0 {* o; I& P- a
1 [* G: R  `1 C8 v5 r- i
3 ?+ n2 A% \* i7 I* E
横截条件有两种常见的特殊情况：

1 |: {3 {# o4 a4 E% R; V2 ~

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
& H1 x( d4 B( E3 X% C9 F. r
3 有约束条件的泛函极值
7 x: Z' L' c" u在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
' R5 |  U) Z' R0 [4 [6 p. e1 {0 B0 r
/ E8 ^. b: J% K6 F% g
2 s# d4 w+ ~- R
# C$ {. _: N* ^# G2 p

* n- M( p, |8 D' o( i


) D- J2 n) P/ `9 g: R) A4 T
! z3 S* t, u0 c7 Q' }4 最大（小）值原理
4 F! k" Q# ?0 R& S9 Y

( z4 P* X" h' L6 @6 ]
; Z& i/ b7 t& V* d8 J! M: F————————————————
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" e) B, P2 ~6 Y) i9 q, z- e