动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
. D4 l  _% U, h# S- |1.1 泛函
0 `( R* @, Q/ Y& K& M: {


; i& `  G7 U# U! {. P
1.2 泛函的极值


' i' R2 n9 v* d2 H  b1 T3 c
2 P4 c* {2 M) o' J1.3 泛函的变分
( ?# j& o8 u3 R& h/ ]# M. E
2 x3 {4 V5 u. ^# t; }


' G2 V; [; c, R  R8 g
% \7 R6 j6 ?  M) G7 Q" ~1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



1.5. 变分法的基本引理


- c/ |' A9 G, J7 k" k* M/ p
2 无约束条件的泛函极值
$ \6 u+ B( |. T. F" U' O) ^  I

4 }6 n. Q: A, b& V
) V/ z* f  u0 x; q6 K* c3 p2.1 端点固定的情况
+ S: Z: i& {- V1 Z4 |. _  r" P7 ^

4 Q1 t6 |2 D# Z) f

2.2 最简泛函的几种特殊情形
8 p' b( X* V& e7 v' d" v6 Q
' u' }3 I) i7 }* x9 h

7 ]- x; i9 n9 d0 s
例 1 (最速降线问题)  
' j/ Z. Y( r8 _最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
, B  v* [) C) _- q0 k



3 ~5 B* t8 |3 S, _! p
4 |: [* r) m( i, I. x* n例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

# `; k" e8 a( k  `& i' |
" g! C& q+ n7 c) y
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

3 l5 S( t# ?8 ]（ⅰ）含多个函数的泛函



. k2 d; ^9 y! M9 K) ?（ii）含高阶导数的泛函
" }6 t* H: n7 C


. m$ f' v) m  M（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


; B0 v: f; J7 U' @( p8 f
" V. m; G1 z( L1 p2 P2.4 端点变动的情况（横截条件）

* Z, _7 _# t. M2 j3 Z, v


横截条件有两种常见的特殊情况：


" l6 d4 e, u* e" }9 D
: a( r" i/ X$ t/ p注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
  G0 r7 O1 K& l% }. M9 ]
( }" N1 X3 n: X! p* l 3 有约束条件的泛函极值
9 @9 ~$ J; [8 @8 m8 m0 h在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
$ v" h2 s. }$ a


5 A+ g  S0 s9 O" ~  ^3 M# J" l5 W
; S) N& e1 y7 A* u7 z4 |) f

2 l) R0 i- X0 p) \2 Z


( j' @2 ^1 }+ E0 b" T3 e7 g. N4 最大（小）值原理


' Z8 P0 c7 g( h6 P
- X$ J' a- u9 X* I) a: b$ \————————————————
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