- 在线时间
- 791 小时
- 最后登录
- 2022-11-28
- 注册时间
- 2017-6-12
- 听众数
- 15
- 收听数
- 0
- 能力
- 120 分
- 体力
- 36352 点
- 威望
- 11 点
- 阅读权限
- 255
- 积分
- 13866
- 相册
- 0
- 日志
- 0
- 记录
- 1
- 帖子
- 616
- 主题
- 542
- 精华
- 12
- 分享
- 0
- 好友
- 225
TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
|---|
签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。 ]! @- W* p5 c$ t& M1 a# z* W
w# d9 k& P! F, }" j1 N
变分法简介5 V( v+ M" _& ?6 H3 [7 T' E" v
8 J n/ k# u- j- ~7 R$ v) k
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。* V* d4 C' |& B m+ O
G. D6 W9 |- Y% e- g; x F
1 变分法的基本概念
. D4 l _% U, h# S- |1.1 泛函
0 `( R* @, Q/ Y& K& M: {& t5 o2 A: U2 j n7 K8 Z
: n0 e$ L3 [6 J! V7 K
; i& ` G7 U# U! {. P2 t1 i( J/ h! G
1.2 泛函的极值+ B/ s2 w$ y! Y; d& E& E* `" ^" }
8 c* u" q+ b g8 m* R
![]()
' i' R2 n9 v* d2 H b1 T3 c
2 P4 c* {2 M) o' J1.3 泛函的变分
( ?# j& o8 u3 R& h/ ]# M. E
2 x3 {4 V5 u. ^# t; } |/ b3 R! q; L6 Z
, f j6 O" W5 g# K
![]()
' G2 V; [; c, R R8 g
% \7 R6 j6 ? M) G7 Q" ~1.4 极值与变分1 n# l3 u1 _( y. {# p
利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:- Z7 [+ o0 `( ^5 _- G
9 \& E+ ]7 x8 E* O* H
" r* U; C) f% Z2 d
9 @& U, \6 c/ L* q9 [' f9 S
1.5. 变分法的基本引理/ g2 U7 X" y- g( ~- L4 t# q
- N) T0 M1 O( N4 D# D2 P+ F
![]()
- c/ |' A9 G, J7 k" k* M/ p" M" U! f8 J; s3 J
2 无约束条件的泛函极值
$ \6 u+ B( |. T. F" U' O) ^ I7 v+ X" j# L: p5 H
![]()
4 }6 n. Q: A, b& V
) V/ z* f u0 x; q6 K* c3 p2.1 端点固定的情况
+ S: Z: i& {- V1 Z4 |. _ r" P7 ^7 k4 ~* E8 I' ~# ^7 ^
![]()
4 Q1 t6 |2 D# Z) f" |0 `5 ~( g$ E+ ~- r
V8 {' r6 ]# I5 t
2.2 最简泛函的几种特殊情形
8 p' b( X* V& e7 v' d" v6 Q
' u' }3 I) i7 }* x9 h " m9 h6 P$ q. E- n% q
7 ]- x; i9 n9 d0 s , \8 A2 {& b" k/ K5 O- k
例 1 (最速降线问题)
' j/ Z. Y( r8 _最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
, B v* [) C) _- q0 k! R/ Z0 w7 M' E9 {8 Z4 F
! a! z3 h w" x) Q( E& H
![]() & s3 }& |/ }6 ? d
3 ~5 B* t8 |3 S, _! p
4 |: [* r) m( i, I. x* n例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程0 j1 r% o$ k1 W0 [
# `; k" e8 a( k `& i' |![]()
" g! C& q+ n7 c) y [$ t; `% [1 k: D4 V/ m0 y0 }9 i
2.3 最简泛函的推广7 R; y- J* }6 u; G/ ?
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。: M% `- g* A2 b- N! }5 J( d/ k
3 l5 S( t# ?8 ](ⅰ)含多个函数的泛函, h0 y1 q3 P/ M# A ]
( I9 c" N% a! j r, \
/ K5 C( T5 Y7 z2 j/ A( f- ^3 L
. k2 d; ^9 y! M9 K) ?(ii)含高阶导数的泛函
" }6 t* H: n7 C% M6 S2 q; A" ^! [) o+ ^6 E
/ n- b$ M" P) R6 G& o
. m$ f' v) m M(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程* n" v- ~9 R% V8 l
7 u# |2 H$ E3 o6 m* W6 \
![]()
; B0 v: f; J7 U' @( p8 f
" V. m; G1 z( L1 p2 P2.4 端点变动的情况(横截条件)4 S3 {, K |) A
* Z, _7 _# t. M2 j3 Z, v : B) O" G1 K# d/ J
/ l3 r I3 I+ O$ D7 o% E
! |+ |, x* s' _9 T" \
横截条件有两种常见的特殊情况:! Q1 f1 P) x o9 l5 [; u
( e% |/ [" H0 Q- j
![]()
" l6 d4 e, u* e" }9 D
: a( r" i/ X$ t/ p注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
G0 r7 O1 K& l% }. M9 ]
( }" N1 X3 n: X! p* l 3 有约束条件的泛函极值
9 @9 ~$ J; [8 @8 m8 m0 h在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
$ v" h2 s. }$ a5 o! x2 K: }$ ?" U" Y
5 [ ]0 ^8 b T& R$ X R* V
5 A+ g S0 s9 O" ~ ^3 M# J" l5 W![]()
; S) N& e1 y7 A* u7 z4 |) f! Q* W2 G9 g3 g
2 l) R0 i- X0 p) \2 Z + c( t$ J' Y& t$ ]" H4 ~$ E- r
( v$ R+ l" D; H% W3 S0 @
( j' @2 ^1 }+ E0 b" T3 e7 g. N4 最大(小)值原理3 Y$ E- n+ w2 x p
" d- ~, f, h8 t2 G4 y4 W. r; `
![]()
' Z8 P0 c7 g( h6 P
- X$ J' a- u9 X* I) a: b$ \————————————————, \0 L; K1 A( P
版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。9 O. R% ~ ~; C8 s$ c) k- u
原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/896444977 d& j1 q5 d7 K; y- v2 c
% n P' I1 `7 }6 Y" n- s, T9 R0 p; g; k, m: U
|
zan
|