动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
4 _5 n* G7 R; j# r' v' e, o# w
9 H  ?& T7 ~- O" ~; c变分法简介
  A' X) n9 x& p# n
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
$ `& _, ?% m' ^! z
& K" K6 m, i; t% b6 M. F/ H1 变分法的基本概念
- \$ F1 E( L& }. \1 x8 ^1.1 泛函
) {3 K% y, x% Z/ I9 A5 w
0 o# Z1 p" T" H/ Q
0 e, a* q! |: `
  H  w# W7 t1 B: R
. a5 ]" M2 D; M5 |: n/ k& l, ^ 1.2 泛函的极值

+ N- `# Y- V8 G( i  k6 E
1 I) o! [* x4 O& Q
1.3 泛函的变分

+ K# P/ g4 Z. S


: A$ {9 w6 N9 d
2 E4 ~" e" L4 r( y- A! K# }1.4 极值与变分
7 L* e' ?+ u- m' S$ C! H# ?利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
1 }5 q+ L' i9 S' }+ X
* X* }' @( h+ f8 R7 s$ W# D% L& D4 a
$ ^+ c! ~$ \5 D6 Z# J
2 v" h) C4 M; l+ P) M! y7 R6 d1.5. 变分法的基本引理
! Y! W1 j! Z9 x- I

+ `) u& \; _  P
2 无约束条件的泛函极值



2.1 端点固定的情况
' L; ^. |: q! r$ P3 r' }
3 E& @8 C, ^' _


- e3 ?! G3 @5 w8 M) D1 e( r2.2 最简泛函的几种特殊情形



/ S; ]7 Q/ }( g  x; Y( C: s
5 S  T0 e4 k8 y9 v1 Q例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
5 m) K# `2 X9 X  X* v* y' `  k



2 b1 R( [" u0 u/ a
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
! U; @+ p' K5 Y9 H  l% x8 w


9 L  t! l! i$ E/ D1 E8 l7 W% D2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

, c" l! X# U. d5 Z) F; D6 S（ⅰ）含多个函数的泛函


- m- r' W9 M4 I) \
（ii）含高阶导数的泛函

9 \; Q$ Z; `$ D6 ]- N8 L9 c
: j# Z! X; Y- U' a2 [9 t+ E9 p" a
* s% g! H( L( b! N$ @" q（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
/ O$ |2 h$ Y5 u0 ^


2.4 端点变动的情况（横截条件）


5 a: R7 B& h. \3 @1 {6 x* v# o
+ m3 i  o) {4 J8 e/ J' @
. f7 H! e& p0 r( `. }* Y4 k4 ^横截条件有两种常见的特殊情况：
$ y5 Z1 f" d; O4 P
' K7 }/ Q4 V+ [6 K- @  S8 K: E

/ f9 D# b* x5 m# W/ V8 Q注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
. l8 N* D, m/ H0 l
# L8 y6 e  u$ H! j) `# y$ D 3 有约束条件的泛函极值
" Z4 N) Q, V+ _8 z- d在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
6 o) y0 M) i+ k" Y

: @8 p4 V" K( ~
: z! i" B) S+ m. i' X8 a
% m5 w9 L/ L  \

) b, v5 b& v6 D7 e# ?  \


4 最大（小）值原理


7 D5 K# q3 M+ j  Q; [: D
: q/ U7 m4 r8 T$ h: T+ M3 J————————————————
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