动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

9 L/ B* Z9 t' t# I9 T/ ^% e9 {+ b变分法简介
+ w/ `# }1 _9 S& c# m
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
' @3 L( b4 a+ \# h
1 变分法的基本概念
+ ~5 j) J$ V4 u( u- Y9 Q1.1 泛函
$ [. d, u0 K% f6 b
3 {% Y1 {3 h! J- A  l2 W


1.2 泛函的极值


  w8 p& E2 t( M; p+ e% S+ |7 d7 k
, e: k4 F) {5 T& [1.3 泛函的变分

1 A5 ]3 h- m& b

5 z# W; a' D7 x, F0 {& [- ^
3 |4 |( W2 i4 v( T
8 @1 X- V, T& U2 Y  d1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

2 V! P2 n, U* Q! N% ?& @2 c- ^) R
( E# b/ p7 H0 P. {3 y
8 y: C% i4 _( x( A8 c1.5. 变分法的基本引理
# ?) k7 Z# }/ P+ J  |# s/ _; D
6 D  l9 B# W/ e: x
3 T0 i2 A7 v% I$ s4 e! i# z
2 无约束条件的泛函极值
' _6 X  v6 q# Q, {9 C
* D3 G- t& W4 H% a$ J" o
' j. ~2 h+ T3 g, ]
1 I) ?# N4 {0 K5 p8 @) e2.1 端点固定的情况


; l; I; O' z# n

1 V6 `' E9 @, B" X. v2.2 最简泛函的几种特殊情形

, d( V  b- a- k9 h- ]  [7 U0 C4 R

& g$ G" b! A5 q- A
例 1 (最速降线问题)  
, `# g) o- e6 z: v7 G# q4 I最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
6 P1 S) U% `3 E5 H# [9 X' F
$ {& ~+ M- P% e8 E


& y$ Y$ v% z( S" k2 I
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
5 [& z/ U  L* V$ r9 G& w9 N! @

  Y2 t, |6 n2 E( S8 W
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

& F6 Q6 g+ {4 `! p（ⅰ）含多个函数的泛函


6 [/ S1 a; _  k0 O9 T3 L0 t8 p
（ii）含高阶导数的泛函
( ~# ]# S5 C/ R7 S/ S' s  R! }

% B$ Y! v( y* d; |
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

* }( n  ]& N% S- F
3 d8 `4 ^% \4 H5 u' t
2.4 端点变动的情况（横截条件）
3 f, R) h* v. k( ]4 E" [$ i0 b: _, m
! W# p# q* l' Z
+ C( G) ~+ P6 s* D! l& p# \/ V

- c1 t; w9 I, h, D3 ^) O) m$ i  V横截条件有两种常见的特殊情况：

& |" a. w, f$ I; y0 X2 \/ b
3 z' i4 T) V) _7 l0 O0 [
0 L4 J! c- q% b8 p4 H2 Z- {注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
! e6 i- J) z9 g! [
3 有约束条件的泛函极值
: r: V& f4 y9 b$ S9 l7 y在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
' t' ~, |% i' d6 a6 K" H! j
5 z$ e2 ~5 p- j1 e% N
6 ~8 @: p( x! v  D" @( S

+ c% z0 N! `" ^* N4 b
7 u& g" P/ j0 M( A- U5 A8 V5 D


' z# {: h1 v% ^0 A% g$ P8 h
4 最大（小）值原理

$ y5 O3 C2 L7 N* u

2 E# G' k( y* Y7 |: d# U————————————————
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