市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
8 l- z/ F- ?6 U
3 r4 `7 X; ?5 n1 G
$ v& M2 F1 n: s1 ?1 n
1 r8 i2 M- L; P, l$ j+ |  d

（1）问题分析
0 q/ h! C0 L# A! T4 a
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。

（2）模型的建立

3 \; r7 ?8 |/ \. W) ?记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

/ w% N, o+ t& k) ?1 x" e% v                                                              （1）

不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1


                 （2）

, a5 L! T. S, r. x8 U! U+ K可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。

9 D" Y& T) z5 z4 w （3）模型的求解
+ v/ Z. p8 @/ m6 ]6 ^
( F; f4 V( o. b, bLINGO程序如下：
3 I5 ~, M" T7 I' C1 I9 m6 e
) j) }& A" L2 S) YMODEL:
TITLE 新产品的市场预测;
SETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
9 m! @3 u7 q7 T/ D9 t8 |; _% y# ]$ [- f3 qENDSETS
% U& N/ v: v4 H0 e7 r2 ADATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
, F, [( x; V8 t        .4   .2  .1   .3        
        .1   .2  .4   .3        
% a1 e( S" {) Z" s        .2   .2  .3   .3;
ENDDATA
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
@SUM(PROD: P) = 1;
/ s% O/ n: _1 n8 u0 x@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
( Z9 J/ W7 k+ m% ~5 gEND
, ^( C  d0 V) p1 U可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
7 |% O& W, U0 ]1 N- T2 }

. @1 u- r. k8 \: `( L
2 Y& |  E1 X7 f: V习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
/ D5 b$ [1 s6 }+ z


3 Q9 ?! n) \7 }5 j5 q3 O) k' {- \$ I6 D 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
————————————————
/ N# A% m* [; }% o1 x! g9 f4 s版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812
8 }4 G3 Y. k; K9 J* ]
( S3 B6 A4 _8 c. E. Y3 E$ u