市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
1 E7 s$ _8 h* b
, j2 z- |0 G0 h  u& x1 T
7 s- }( b- U/ Q) T
4 U& W7 _* M6 f7 U0 H
$ x/ z2 M7 j5 d$ G, Y' ]3 P
（1）问题分析

新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
& ~: [" n6 L: ?9 _! V
（2）模型的建立
. C( L: S: k9 H1 T8 W8 {) @% t" F
* a/ b3 @/ O) O& `- `* @记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

" T5 Z; t& S  X* ]3 U! M% H) D( _                                                              （1）
$ G* S! A4 q4 B$ b, t/ z
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
9 [9 @' Q# R. C  m
0 q, L# p7 x, L1 J
6 e7 r; K% H* s1 a% \                 （2）
( J, K/ d6 F( Y3 z6 A2 ^8 P
9 ?; ]! O/ e9 K/ x可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。

（3）模型的求解

$ A; `1 {% T$ b+ F0 v+ b3 N! QLINGO程序如下：
& Q. y, a) f$ ?" [& }
- T8 E# b8 L# B2 ZMODEL:
  h, k9 M2 B" oTITLE 新产品的市场预测;
0 Q; D* |% M$ @% vSETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
3 r) J# K* h# \ENDSETS
( F0 s! D3 {/ ~) O3 `, M3 yDATA: ! 转移概率矩阵;   
3 ~5 T5 m9 C4 T7 q. N# I* ~+ X    T = .75  .1  .05  .1      
) L1 g% J+ A5 N8 R4 t4 S7 ~        .4   .2  .1   .3        
        .1   .2  .4   .3        
        .2   .2  .3   .3;
2 L& M4 D: N8 P5 W' YENDDATA
3 X& f- l+ j/ K% [@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
) D( ]( Q: V5 h8 |. y@SUM(PROD: P) = 1;
0 ]- M& F' o* D5 [@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
4 _& B2 U5 l1 L; SEND
1 w0 I, K( _2 p% y) ^1 G$ O可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。

$ R; p; T9 |, i) h$ v# D! a1 E

* d4 j9 [7 e7 \习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。

2 t. X( G9 j% ~) b

每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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% l6 O' ?9 b3 l- F7 Y7 F

7 h/ _2 ^* K& L/ g