市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？

0 E1 [; M' y8 B
7 [' t) z$ h- A* u

0 i1 G. M- p% V$ O- m
（1）问题分析

新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
; `( U+ S' e3 S" r1 e
6 e% ^5 e8 ?1 o  E9 o& _（2）模型的建立
2 v0 U, M7 z: S: k+ A; ]0 r( E. q2 c
& u9 W+ s) }- z" D# H记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

# A7 D8 z% ~+ K                                                              （1）

: D" V5 k3 L9 t. s不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1


" v/ o  P$ B: ?$ Z4 b' |& Q/ s                 （2）
  O& p) B) h1 M/ z
# [  j4 o7 F+ k* k  D  H可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
5 D! Z- j' E1 X' }
' l+ u3 u, i& { （3）模型的求解

LINGO程序如下：
, M. L" \$ |" S. S
/ S4 j7 ?8 T- G' G& o% z" \MODEL:
; G7 E, l! |! d6 ]* @TITLE 新产品的市场预测;
" w2 a. ?! v4 o$ wSETS:   
9 V- n/ t& ?; y3 k* c    PROD/ A B C D/: P;   
( j( }: K+ C8 d9 ]    LINK(PROD, PROD): T;
ENDSETS
' `& \8 C" J) q0 J0 |1 }DATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
        .4   .2  .1   .3        
( P5 |; `$ ~: D% G1 |7 O* e        .1   .2  .4   .3        
1 Q$ I* f2 c% h! S, ^        .2   .2  .3   .3;
ENDDATA
" m& @* U' |- f& P4 C@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
: |9 h+ W" v+ }3 \8 @@SUM(PROD: P) = 1;
2 a) o# o, r# ^0 t( }$ }@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
' ^& D3 D' [" M, l" B5 T8 p可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。

- V  J" [( E6 _) v1 _
: M" x$ V/ R# L0 q: X1 I  k' b& Z) M
习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。


; h1 t) T& s+ b2 l7 z
9 }* u% W. @3 W& Z4 n 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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