有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。

( r6 u' n7 W1 D9 v例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
* Y1 M- r$ f2 H8 X( ?# M数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。

  Q/ f) r. n8 ^0 T( Z! g) i
/ R1 j( e: f) R2 V1 \9 M
6 m% n9 |1 R4 j0 `# x假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  

* N& i: `3 A" u* Q  K

对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。

9 h; Q" O' @! H* t5 b按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。

: r' e: ]& L2 ^' j1 X2  建立模型

2 G, I* F! F* e' l" `5 J（1）问题分析

这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。

. y& s! L0 C; ~( J& d) B2 h& I（2）符号说明

5 q8 T% ]9 w8 t' ~! J( H0 n为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：

N ：生产项目总数（本例中 N =7）；

3 x0 Y' c: u: U" mT ：计划期长度（本例中 T =6） ；

/ R( C, _  h1 f; H5 F5 g/ ZK ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；
2 P/ G: G) c0 X3 u1 J
M ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；

/ c& V' d0 q! `, E6 O; A ：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；

：项目i在t时段的生产批量；
4 f  u0 r! q6 _/ i$ x
：项目i在t时段的库存量；

: Y. i' V* I+ \5 B1 |, I ：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；

1 g. q1 r' \1 z$ ` ：产品结构中项目i的直接后继项目集合；

4 c6 k5 {1 |1 o4 ~: `- V ：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；
4 C  m% ~- q; ~8 N8 |
：项目i在t时段生产时的生产准备费用；

  ：项目i在t时段的单件库存费用；

：资源k 在t时段的能力上限；

：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；
: M5 ~- ?' [, a, b. t
& v' v4 ~8 M2 ]7 k
# @  N5 p" {8 v
- c5 Q2 W( y7 `" n. v5 D（3）目标函数
$ D4 ^+ S8 B0 G2 G7 N3 m
3 f* [& W3 j/ W6 u& n6 R( M这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即

& o7 L; Y) o) d& b- Y1 R+ a4 Z                                 ( 1 )
, @" [7 T! q' ?& L
* l4 W" k7 _- ]. ~& ]% N（4）约束条件

这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：
, u- Z! x+ E, A: [, v7 x5 f+ J
                       ( 2 )      

. S. u/ |" Y# r: x资源能力限制比较容易理解，即
% @3 a/ T- J2 B6 M4 {* X6 |& ?
                      ( 3 )         
6 H2 \3 U; \: o4 U8 W  z


3  求解模型


- b* Z/ r$ n( t  U8 {  P
8 R* f0 k" i& ^9 O% d9 n


2 s  n/ d2 N1 q% x
7 z; a5 `- @& w: c" x: IMODEL:
4 q- u/ w; D0 {# a0 d7 }TITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
SETS:
! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
7 E8 o! w6 L  a6 d' DPART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
2 U$ ^' S; Z$ M9 }. n! i) |% n/ fTIME/1..6/:Capacity;
+ p% }, ^4 Z8 y! @8 Q: z" I% V9 E8 m! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
USES(PART,PART):Req;
! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
ENDSETS
; o" B5 W2 N! V  F8 Z* r' u! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
! 物流平衡方程;
, L+ P, N7 j6 M; i@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
$ B8 ]% ~! Q4 [; B5 {! 能力约束;
@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
! 其他约束;
M = 25000;
) \1 ~8 M7 T) d9 s$ Q@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
@FOR(PXTBIN(Y));
" y  R$ _& G  d  A7 GDATA:
* l0 w+ ^- f0 H8 f$ jDemand=0;Req =0;  
Capacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
Setup=400 500 1000 300 200 400 100;
Hold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
A=0 5 8 0 0 0 0;
  t. A  m; B3 tENDDATA
0 @: e- k1 R# y% A% H9 T. CCALC:
demand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
demand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
- A9 B. r5 p3 m$ b* H: B9 Kreq(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
req(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
ENDCALC
( |0 e! w$ A- @( M* FEND

1 E- r1 R) i7 g7 |) c# R, X
5 G1 g) P6 c* p. D# h5 f* S习题：
& d) ]  r5 r7 |! P$ I
6 P! K* v8 @. W: y8 w/ H% v% l1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。
( |7 a! G1 I) v6 S* @2 N, g. G
现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。
7 [2 u3 q! C$ X4 Z$ H( Y
根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。



2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。
" H6 G; n+ r7 ?  z$ U+ }
- r# S5 {* L. ~+ m& T" {$ g

/ A% e6 [( N+ ]4 i5 G
6 L+ U6 c% I5 o+ c% Z7 U
先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

1 B* w( F! g5 @+ O$ ]9 I; [（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
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1 D" @" B/ X' ?) l" L$ Q& D
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