飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

) B) a- d  ~+ I. p& z8 ?已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
; ^: Z/ a; a9 X


（1）问题分析
$ b7 t9 B$ v2 [3 k  p1 A
  n3 T) ^$ Z& Z这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
- L4 P/ I5 e' w: c- Q
（2）决策变量

设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
" x; X) U+ f* C5 G3 m, e. N
（3）目标函数

优化目标是

% l& m8 z* I! H0 U/ W" H
0 H7 E1 r5 y5 U  o' [, z
- D$ [5 O# v$ {& Y& g6 R: q（4）约束条件
' r! u( l% y$ `( i0 D
需要考虑的约束包括：
) U& R1 k8 F0 \/ v
i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
8 X0 I9 ~  a$ I* G) q/ Y
& w" r) T4 K2 a" [) C

/ @' U7 `, t  K: L& eii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
# [: U2 |& ?) t, o- n2 ~


（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
sets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
$ p2 ~/ K& w3 hrow/1..3/:b1,b2;
. [* D5 \- {( d- b. d* a( qendsets
data:
" v+ G% b" L$ p" }) ], R# M! fc1=200 195 190 185;
0 e! i+ S$ B& x5 H, fc2=10 9.9 9.8 9.7;
, N5 ]8 w5 n9 K4 T+ ~c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
b2=450 210 240;
" T0 l5 i1 {& h0 Yenddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
. ]0 g" Q+ l9 ?* ?" ]1 wy(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
5 P& L: B7 a' ?1 fend
  `" b0 t8 \1 p


3 _3 J0 }3 `+ R/ ?: T8 w; U6）问题讨论

2 I: t* m2 m) O% K8 N  {8 H如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为


& T0 C3 Y/ f+ }' v5 Y+ `
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

model:
sets:
col/1..4/:
8 T" ~/ ?* Y7 |c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
# O4 j! Z( U" X2 n" \4 m" {8 _row/1..3/:b1,b2;
; k$ H4 l$ T8 t$ ?endsets
5 ]# I& \) R! N7 p6 @. vdata:
% X7 F# C, ]* ?8 uc1=200 195 190 185;
8 \$ n0 P/ o! m; Mc2=10 9.9 9.8 9.7;
, J+ f- j4 K4 s) K8 |: D0 V) Q3 ~c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
- `% u- }, m7 V; n  yb2=450 210 240;
1 r% P5 s" t* R. L9 Senddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
" A& p! k( ]6 U# ^$ G4 w) Gy(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
; p; c0 J$ i3 o# s* l# f; }@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
7 B  w, ^* K% x% V( ]@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
; O5 K0 ~- O1 n- t* D* y/ n7 Eend
2 ]+ [: y" S- t  Y6 P
5 O+ ]3 M! D) L, u1 v- u
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