飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

( ^3 e8 H' Y; K* v$ u, H' G已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。
, p" c! s2 v% w) R. _: r
5 X9 T8 {# k7 e2 T  q如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？

' r! X! Y3 y# n) _3 d, B
* O8 B$ }, x+ v
（1）问题分析
% K" G0 k& D1 r1 N* t2 K7 a
这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
0 |; w8 g; q7 [3 J7 M6 p
（2）决策变量

( f# T/ o6 z5 \$ L2 g设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
% i- H6 e6 L% `& C
; x! }+ {6 p. f5 f（3）目标函数

' o0 S; N% c! i6 f" @: R优化目标是

6 l3 {  w# `" e4 i  q
4 g! p5 ~5 W$ }. p* k
（4）约束条件
- L" X' K7 E5 h. t. @* h! p: D
需要考虑的约束包括：
+ a1 B! z4 J" S: v4 D
% W3 Y, G/ E7 o2 D1 }% Ii）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
: R# l) e! |5 x( P2 G2 Q


ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。


' ?- Q" J# B+ l0 x, T
& |* P, K! ]  k% [, R（5）求解 编写 LINGO 程序如下

# \) @* o7 G4 u) y* m$ ]model:
# I+ x5 p4 W$ [' Bsets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
: j8 Q2 a+ P+ y+ D1 ~/ t: a7 D+ Oendsets
data:
c1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
4 C9 V3 P" y. eb1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
% Q. F2 a/ n! I9 y* `: dmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
) T. D# f$ {& n+ [' E1 |y(1)=10;
% i1 F. ?, T2 l7 `8 B@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
% v& ^, |4 F) v! C# t% c* H' gend



6）问题讨论

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为

+ [+ ]: s1 Q3 D9 X  p
7 g5 I1 x6 ]$ F1 z7 N) p
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

model:
sets:
7 }, W) u. G4 T' ]col/1..4/:
7 S7 p: U; N9 a7 E: oc1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
- z  y: P$ c3 r% R5 Kendsets
6 i* Y( c  M! Q& I& N$ h/ E0 Idata:
. i6 G/ w8 ^  p3 Z2 Z; h" S' Nc1=200 195 190 185;
5 }  l: R( ~/ B: T( d( Rc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
9 G4 r% U2 _4 Gb1=70 30 80;
1 Q, L  a. u4 Sb2=450 210 240;
6 Z2 V7 ]1 H4 n2 }enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
/ D2 ~0 C. Y+ D9 Y@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
, G' ~5 ]. ?, G- U# F! i/ W@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
9 v: |( o- A# `4 G2 w5 n@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end


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/ B2 {: D1 x$ V% J0 ~1 P
3 y# C8 K: H) v4 @