数学建模之传染病SIR模型（新冠真实数据）

杨利霞

数学建模之传染病SIR模型（新冠真实数据）
& K3 \( H# L2 P  l! @& \! m4 U" ]传染病模型的基本问题
4 q  c  ^1 n: S/ R4 y' A/ n描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律用机理分析方法建立模型
注：我们这里是介绍数学医学领域中基本的传染病模型。不从医学角度分析各种传染病的特殊机理，按照传播过程的规律建立微分方程模型.
  f8 L, q8 C2 f3 Z: ?
' h/ r6 }  Z6 s* s9 E6 H( y
- A! z5 I" I3 O' m7 j建立模型
& g3 x1 m) a/ W% U' ]) \+ l7 e模型一
假设：
) ~2 E; R1 t9 a1 w9 L8 f+ z

设已知感染人数为i ( t ) i(t)i(t)(病人数量随时间变化)
设每个病人（单位时间）每天有效接触（足以使人治病）人数为λ \lambdaλ
模型：
单位时间Δ t \Delta{t}Δt内，新 增 的 人 数 （ 现 有 − 原 有 ） = 原 有 的 × λ 新增的人数（现有-原有）=原有的 \times \lambda新增的人数（现有−原有）=原有的×λ，即
% l& R; y! o, a( p* {
8 Y; r& i& W  c& H/ e
i ( t + Δ t ) − i ( t ) = λ i ( t ) Δ t i(t+\Delta{t})-i(t)=\lambda i(t)\Delta{t}i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
1 y' k6 W- C% b, m6 w& k一开始的感染人数为i 0 i_0i
0
​       
# H4 p" b8 w4 `  ~. T: ~! g  E& X
i ( 0 ) = i 0 i(0)=i_0i(0)=i
0
+ i; r5 V4 s2 B# S. }​       

解微分方程可以得到
) n! z- j/ I4 ~! `# p' g( Oi ( t ) = i 0 e λ t i(t)=i_0e^{\lambda t}i(t)=i
0
. {7 q% p0 c9 H, T( d6 N6 H) ~​       
e
λt
/ A+ V, ]7 |! V
0 P/ q9 r& R! k* c5 q6 q7 v8 A4 _所以可以可到当λ → ∞ \lambda \rightarrow \infinλ→∞时i ( t ) → ∞ i(t) \rightarrow \infini(t)→∞
当然这是不可能的，因为我们考虑的因素太少了，首先一个是，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加，所以必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)看模型二来解决这个问题

3 m$ G" I* T* t" \8 ~
模型二
6 m' `  w+ Z6 o* q1 J假设：
, Z  P8 h8 ]6 k

$ g5 {' W1 o7 J0 ^3 |将人群分为两类：易感染者(Susceptible,健康人)和已感染者(Infective, 病人).
总人数N不变，时刻t健康人和病人所占比例分别为s ( t ) s(t)s(t)和i ( t ) i(t)i(t), 有s ( t ) + i ( t ) = 1 s(t)+i(t)=1s(t)+i(t)=1
每个病人每天有效接触人数为λ \lambdaλ(日接触率),且使接触的健康人致病.
: U, Y& K8 h6 T8 \% b建模：
每天新增的总人数为原有的人数乘以每个人可以传染的健康的人数，再乘Δ t \Delta tΔt
. {* ~' G6 o$ x( j7 ^

Δ t \Delta tΔt除过去，两遍N约分得到下面，
) ?0 l: x, u/ \+ w$ L

! G; R( m+ W! h* e/ Q: [0 m  _MATLAB解一下这个微分方程
& {8 P5 K! }+ w; k& A
: T. x3 M% h0 F6 ~  O" c4 `  {
y=dsolve('Dy=n*y*(1-y)','t');
/ W4 I2 o) A4 ], n
7 ]& K9 z& C& }: M
y =
! @/ N3 W$ N. }1 S( z, H7 k -1/(exp(C1 - n*t) - 1)
                      0
6 i9 f( j8 Z/ I/ L4 y9 v& K' F                      1
1
2
. a( [2 D2 y( T3 g3
% D! Q; j, ^4 S0 J4
5
, H! A* I3 Q0 v" R  ^7 f. Q6
写规范点就是这个函数
" f. l3 k% ?+ w& \: r, K$ l5 g5 {3 y
# `9 G5 u9 I, Z" V  L% t' H4 c
: ~: D4 e3 D$ o( h  v! v  w. k7 n函数图像大致为
4 Z5 b; i0 v. ?2 _) F) R( h

2 ]4 v) p8 X$ U# Y% G0 u可以看出t = t m t=t_mt=t
1 Z! L; l( L3 A5 j8 y1 Fm
4 _7 Y. s0 X; A/ |# ?7 |1 E​       
时这里图像的斜率有个最大值，其也就是传染的最快的时候，即传染病的高潮时刻，当然t m t_mt
m
​       
是可以求出来的
) f2 L4 }& I8 k( d

$ A3 U& g7 l, K1 p3 x9 z0 k再看原式，当t → ∞ t\rightarrow \infint→∞时i → 1 i\rightarrow 1i→1
病人的比例为1，当然这也是不可能的，因为我们还没有考虑有没有可能治愈，看模型三
! N4 y" x- e# c+ i# d$ V& h

1 h+ Z  I0 j2 Z, {, O5 D: |# v模型三
假设：


* `' d' m7 @9 u6 ~- f  K  A传染病无免疫性如伤风、痢疾等——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染。
病人每天治愈的比例为μ \muμ (日治愈率)，1 μ \frac{1}{\mu}
μ
1
! T' X- [% L8 U  `​       
# G2 w4 [8 s! L0 ^+ e; b4 ]2 h" ^ 为感染期，
2 U& r+ c: W& p# L" M模型
这是减去了治愈人数之后的新增人数



- k0 G+ y  k3 T1 m3 U5 f
σ \sigmaσ 为一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数


可以画出上面的图形分析下
! N* i: I8 E4 w9 p' Y# ]
. R5 K- c) J+ J9 _" A
对上面的公式进行分析，可以得到，当i = 1 − 1 σ i=1-\frac{1}{\sigma}i=1−
# K* o' q* r) ~5 x  o0 Vσ
' w7 e. n3 }+ f4 Q6 v$ V1
; z+ @( f4 I* J$ {& C& k+ Z- i​       
& V3 }4 i1 Q2 Z) M: c6 [, S% A) m$ T 时，i ii对t的导数为0这也就到了i ii的最大值；当0 < i < 1 − 1 σ 0<i<1-\frac{1}{\sigma}0<i<1−
. {. {: P: @& z/ b! M; [2 Mσ
1
7 N8 B1 w: E1 g. L8 y! T/ w' b​       
时，d i / d t < 0 di/dt<0di/dt<0，i单调递增，且在d i / d t di/dtdi/dt最大时，i的斜率最大，增速最快；当i > 1 − 1 σ i>1-\frac{1}{\sigma}i>1−
( h. F6 J6 F" s* Q2 R7 Zσ
: [5 ^' K4 B6 S- H$ c$ d1
7 g$ [, x' ~' [% I( h4 _) c​       
，d i / d t < 0 di/dt<0di/dt<0，i是单调递减的。


当然我们也可以画出i ii随t的函数图像
# d& b) ]4 Z- B- S# v% i
3 p3 j) O$ C/ u8 j7 q% R- k
先看红线，若初始条件i 0 > 1 − 1 σ i_0>1-\frac{1}{\sigma}i
, \6 u4 ^8 C$ a. Y/ u4 ]1 Z9 @0
& L0 p0 l0 ^7 s​       
>1−
σ
- K# h. R7 T' f! k2 |1
0 s4 P+ ^. D( P9 V​       
d i / d t < 0 di/dt<0di/dt<0，i就是单调递减的，
9 Y5 Q9 L  i' R5 E8 I& P3 d. j若若初始条件i 0 < 1 − 1 σ i_0<1-\frac{1}{\sigma}i
) R" _0 d3 x% T! U: ]0
* V/ ~" a/ n6 f1 D​       
<1−
σ
1
​       
，i就是递增的，可以看到i对t的导数图像有一个最大值，下面的黑线就有一个增加速率最快的一个值，按S形曲线增长
; A8 V8 u8 S0 P: {

2 s7 f- N. G1 f, Q/ [) b5 rσ = < 1 \sigma =<1σ=<1时d i / d t < 0 di/dt<0di/dt<0 i肯定是单调下降的，最终降到0
) w; u: |: l9 `# @2 b1 B

- G) S9 k1 d! b
) g( v! a9 X3 ]. M9 F9 o5 a
- n& M7 P7 T4 ]$ j- ?- }综上：
想让患病者越来越少，σ \sigmaσ必须小于等于1，即感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数.
* H+ h( M1 z' `* \6 M2 B1 Y7 m
3 c" }% @3 Y2 F% D( P4 ?
2 \* {/ f" e+ y) c$ V/ h; t' Y这里我们分析的是感染之后还能感染的情况，但有些病毒感染之后会在体内生成抗体，就不会再被感染了，下面我们分析这种情况。
  Y, t% h, `7 \, Z1 J* Y' ^

模型四 SIR模型
SIR模型是常见的一种描述传染病传播的数学模型，其基本假设是将人群分为以下三类：


1 易感人群（Susceptible）：指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染。


9 H: @) g4 u3 E( s- _2 感染人群（Infective）：指染上传染病的人，他可以传播给易感人群。

" ~7 ~% v! g. K- c% f3 i
3 移除人群（Removed）：被移出系统的人。因病愈（具有免疫力）或死亡的人。这部分人不再参与感染和被感染过程。
" y0 s/ {' w! R* y$ ^8 J

假设：
4 ~( W1 J1 K# j  F

传染病有免疫性如天花、麻疹等——病人治愈后移出感染系统，称移出者(Removed).
总人数N不变，健康人、病人和移出者的比例分别为s ( t ) , i ( t ) , r ( t ) s(t), i(t), r(t)s(t),i(t),r(t).
' E3 b7 q! u- X+ U% R2 q3 ~病人的日接触率为λ \lambdaλ , 日治愈率为μ \muμ, 接触数 σ = λ μ \sigma=\frac{\lambda}{\mu}σ=
μ
λ
# G$ f; x8 i! E. Q" P- r​       
0 I( S6 z' x" j! E+ m6 _
1 @  R/ J/ v4 m) ^1 k建模：
s ( t ) + i ( t ) + r ( t ) = 1 s(t)+ i(t)+ r(t)=1s(t)+i(t)+r(t)=1
: V5 ^3 O+ ~$ Y' n这个就是病人减去治愈的人，和上一个模型是一样的

7 |5 V7 b2 C& @6 i* X2 o- @
. |( T; ]7 @! `7 f: Y' u因为有治愈后是有免疫性的，所以可能被感染的总人数要减少，减去移除者就是

  J9 [9 K) T) H' o. i' w: t
将上式化简为：


i 0 + s 0 ≈ 1 i_0+s_0\approx 1i
0
3 r7 w0 m. g, p* N​       
4 P' w. y6 [) B8 H* y +s
9 D; c8 G+ @. }0
2 u9 F9 `$ t- n​       
≈1(通常r ( 0 ) = r 0 r(0)=r_0r(0)=r
0
​       
, H" ^- _3 v. ]8 ?/ O9 d 很小)

0 j3 O; H1 W. z& ?; U
关于i(t) , s(t) 的非线性微分方程组，没有解析解，只能通过数值计算得到s(t), i(t), r(t)的曲线，下面来看下曲线的数值解的MATLAB程序
: p* [& E# n. I& Q) ^0 y3 P

这里我们先设λ = 1 , μ = 0.5 , i 0 = 0.01 , s 0 = 0.99 \lambda =1, \mu=0.5, i_0=0.01,s_0=0.99λ=1,μ=0.5,i
# s8 a( x' }0 |& ^5 v1 \0
1 T1 j) `, T) [- c- j7 A  @​       
1 R" X  |2 V  `( U* f9 b =0.01,s
0
8 F" N; F6 g7 N  j& T9 Y​       
=0.99
4 p+ E) U( r7 Y' |4 F  G+ I也就是平均一个病人人传染一个正常人，治愈率为0.5；开始的病人比例为0.01，正常人为0.99，设没有天生带有病毒抗体的人，所以r 0 = 0 r_0=0r
0
​       
=0，之后若果病人被治愈，则具有抗体了，有抗体的人为:r = 1 − i − s r=1-i-sr=1−i−s
% R2 c1 K0 m2 J" @

, ^. N% a& D3 m7 ]ts=0:40;
) g- p' v$ Q. ]) Q) l2 ox0=[0.01, 0.99];
4 B- n# X6 B6 q/ _1 I7 B' ][t,x]=ode45('ill',ts,x0);
$ C& J9 ?4 G: a; p# xr=1-x(:,1)-x(:,2);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r),grid
3 Q5 }9 W( M2 wlegend('i(t)','s(t)','r(t)')

  G/ }" P# I: _: L+ J" x# J6 h
, s, g& x0 D9 P1 M5 n. L0 |function y=ill( t,x)
7 r7 }/ q1 l. ta=1;
6 l7 ^. m' L4 H) S+ l* B* ^/ Yb=0.5;
; Z' S7 Y, [# q6 b0 p# py=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
1
2
3
1 D: K; H; H. f  o  w0 g. R4
' a) n! Q7 [2 X" t2 W5
2 Y( {! w9 ^/ f7 `+ ^8 H1 o6
, S0 y' I, }0 ]+ J+ p+ C7
& d; r8 d: r) v0 `) R: C/ w8
9
10
% [  B" e; d3 l- G. K8 W$ X# J11


5 K6 r2 s. g) R5 [2 s可以看出：s(t)单调减,r(t)单调增,都趋于稳定, i(t)先增后减趋于0.
6 D4 F1 M+ ?* b2 d  v/ U4 f  \结果分析
8 ~0 Z4 f4 u; ?先回顾一下参数
接 触 率 λ ； 治 愈 率 μ ； 1 / μ   平 均 传 染 期 ( 病 人 治 愈 所 需 平 均 时 间 ) ； σ = λ / μ   接 触 数 ( 感 染 期 内 每 个 病 人 有 效 接 触 人 数 ) 接触率 \lambda；治愈率 \mu ； 1/ \mu~平均传染期 (病人治愈所需平均时间)；\sigma =\lambda/\mu~接触数 (感染期内每个病人有效接触人数)接触率λ；治愈率μ；1/μ 平均传染期(病人治愈所需平均时间)；σ=λ/μ 接触数(感染期内每个病人有效接触人数)
' r% C2 i" L" A. s% Q: z可以分析出：


8 ^' E& h; Q) O6 r随着卫生健康思想水平高，接触率λ \lambdaλ变小
. b1 o* a' R  I' o随着医疗水平的提高，治愈率μ \muμ增大
  Z( ?* N" E- ?' c# l9 V/ V接触数σ = λ / μ \sigma =\lambda/\muσ=λ/μ减小——有助于控制传播.
我们可以试试稍微减少一下λ \lambdaλ，增大μ \muμ，来看下效果
5 {, P% d5 u7 e1 u! k
9 l% i* `" @7 I
ts=0:40;
x0=[0.01, 0.99];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
. k$ z( x& {$ r7 N  B" l) }r=1-x(:,1)-x(:,2);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r),grid
" F) k  P7 f  q  N# l# ~legend('i(t)','s(t)','r(t)')
0 I* M) K! p, i4 v$ C+ }

function y=ill( t,x)
4 }! ?0 Q5 j) K  ?6 f! p* j: G5 D1 La=0.8;
b=0.6;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
1
2
3
4
$ O1 z, x- e+ B* w7 V0 V5
9 |( a# K0 R, o. ]. u6
7
8
! Y2 n, V0 d$ K/ E( }& K9
10
: r; x7 X0 E2 n0 N11
; n5 E& D; O% z, C' [& z

! ~* O6 P$ V+ x/ v- B& J. o综上我们可以得出结论：想要减少传染病的传播，我们就要在接触数σ \sigmaσ上下功夫。
, ~1 K, c/ I0 R# e* P" U
# D% b0 B" b$ Y# R# I5 i
实战建模
4 `% ^8 m# E- K' l5 S数据处理
6 S0 [8 E# h. K, ?8 [5 ^3 P( n
. \  R' I, h9 ]# k9 w3 a
4 P" y" B3 W" \' @. Y首先，我用python爬虫爬取了丁香医生官方数据，一共5534条数据 特征包括感染、死亡、治愈的总数，当日感染、死亡、治愈新增，疑似病例，时间，省份等14个特征
$ @2 K, S- F$ c* n; U+ |& N
7 f. G; A3 R9 T4 a

# q% B7 F% a+ g' q- D
然后用python进行数据提取，提取了较为典型的湖北省的数据作为我的参考依据



4 a* a: I/ L+ b* S. v* h
然后用python对数据进行清洗，提取出了患病总数，现存患者总数，死亡总数，治愈总数，时间，省份这几个特征
  y( D! s; N: ~" f' ^

1 ?2 U4 D8 D1 j对日期格式进行修改，值保留月和日，并与死亡人数的位置交换


2 g% |7 x7 a- J3 \5 {6 j这里我用python对提取的四个特征分别进行了数据分析（主要包括计算最值，平均值等，），并把1.20日作为第一天，7.02日作为最后一天也就是第165天，做了可视化可视化处理。
感染人数示意图
" k  u  E) U. C4 P3 |% e9 @- u
5 O& A* w2 d; P
治愈人数示意图
2 y# |0 S/ W) M! j
  X& p# B) B* i

% s6 q% i) e8 B1 n2 d9 ~; z( w
3 S/ R7 j) Q8 v) A3 e7 S) t. \/ n现存患者数量图

% |* w/ ^1 P( R2 A# g: \! M4 F
8 W& e5 h0 K" d8 a4 K( J死亡人数示意图




经过上面的图片与describe数据分析，我们发现有一天是异常的，患者多出了平时的十倍左右，经过查阅资料，这天因加强了检测标准，所以增多了很多。为了避免这个数据的影响我们选择将这一天删去（或者用平均数或中位数代替也可）
将上面清理过的数据存放到csv文件中

. }5 l% s' a8 X+ m, k
0 I4 Z- X& ~4 k1 j3 w模型建立
模型假设
经过上面数据的分析，我们大体可以进行如下假设：
1.由于不存在封闭情况，考虑开放体系。
* i* R: V. \3 e& x' L4 U' O2.目前数据以天为单位发布，因此不考虑连续变化情况，只考虑离散的方程。
1 b0 u6 ~8 _- g; J" u3.新型冠状病毒的治愈人数和死亡人数相对较 小，因此只考虑 Susceptible(易感)和 Infected(感染) 两类人群。设易感人群总数为N
, h8 _  I3 w0 L0 s4.经专家鉴定新冠病毒患者治愈后至少六个月之内不会再被感染，所以设治愈后移出易感人群。
  a* G& @& n/ {* H( {- B5.设每个病人每天有效接触人数为 λ \lambdaλ(日接触率)，且使接触的健康人致病.
8 ?# G0 i. ^# W- \) g) c6.设病人每天治愈的比例为 μ \muμ(日治愈率)
7.时刻t健康人、病人和移出者的数量分别为 s(t), i(t), r(t).


模型一
2 Q5 x$ k0 Y: M! }4 X( \
) A5 f- U& X( R- v% @3 I4 f
分析可以得到移出者r(t)=治愈人数+死亡人数
0 ], m8 \( u9 c& u5 M. Y. t/ C通过python数据处理，我们算出了r(t)的值，并将其可视化

- g4 P8 q+ u, p  ~  F1 x


& g3 {6 h5 ]( l/ A& n我用MATLAB对其进行了拟合，拟合图像为
8 [: X3 D+ K" \. `

5 u6 Z( L+ k) s- p2 F" L


6 F6 Q% U- A' v- }7 G! {
分析可以得到患者 i(t)=患病总数-移出者
& X# V- v3 \# w1 S可以通过csv文件的currentConfirmedCount 直接获得i(t)数据，当然也可以通过 i(t)=confirmedCountv - r(t)获得，对此我也做了可视化展示

9 l. @; s" j% c
) V( F- Q$ e5 I7 S* K( @' w0 i通过MATLAB程序对其进行拟合，可以得到r(t)的函数图像大致为
' D. R7 u6 _3 I2 m


, _" K8 L) s& Q

# c. ~3 C' `! f! }7 \( c
为了方便，利于公式推导，我们先设时刻t健康人、病人和移出者的数量分别为 s(t), i(t), r(t). 所以有
- ^/ i9 J6 Y1 @$ D  P5 }4 w

可以推导出每日新增病例的表达式
. i8 F$ a! z& c# b- l* ]
. \; P) ~5 u8 R2 H- I0 M: Y

3 }! a; r* A+ Z


& w$ C* U/ r( t" s- {  I  k由以上两个公式可以推导出以下两个微分方程




可以知道初值
i ( 0 ) = i 0 . s ( 0 ) = s 0 i(0)=i_0.s(0)=s_0i(0)=i
0
0 b% l3 x+ [9 L( J! ?​       
.s(0)=s
0
8 ~. M( {: A6 d7 o$ I​       
0 b# A" q! Y7 y$ |0 r6 g1 V5 |" i
) w& C$ q8 b3 e. I因为一开始治愈的和死亡的肯定很少，所以r0可以看为0，于是就有：
i 0 + s 0 = 1 i_0+s_0=1i
0
​       
+s
0
​       
! d. `) U! I' }- P- ?" B0 w# } =1
. r% K8 M5 ^+ F0 V通过解以上微分方程我们可以根据经验假设λ \lambdaλ (日接触率)和 μ \muμ(日治愈率)的值分别为1和0.5（也就是每个患者可能使1个正常人患病，患者可能有0.5的概率被治愈）；由于一开始患者肯定比正常人少很多，所以我们设i0=0.01,s0=0.99。对其求解可以得到s(t), i(t), r(t)，的变化图像


# C. R2 g! `! q, f+ ^5 G
7 z0 X7 t* O7 A* D' l
MATLAB程序如下
ts=0:40;
x0=[0.01, 0.99];
" [- C( m: ~& s[t,x]=ode45(‘ill’,ts,x0);
r=1-x(:,1)-x(:,2);
; z! ]3 X" o# o: F4 tplot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r,ts,x(:,1)/x(:,2))
& Z- H- N& g6 j# {, jlegend(‘i(t)’,‘s(t)’,‘r(t)’)
8 K% r1 c% W' V5 n1 i+ Z0 b  `
% K1 p& d, \' _! t& _
function y=ill( t,x)
a=1;
b=0.5;
y=[ax(1)x(2)-bx(1);-ax(1)*x(2)];
/ B% D0 {! [2 ^& O$ i
3 w$ T! ^# A. o8 w, [  |9 I; l
. K9 D6 V2 Y+ B7 Z. P# _/ H结果分析：患病人数肯定有个高潮，但之后高潮就会减弱，并逐步降低为0。随着医疗卫生条件的不断提升，患者的 λ \lambdaλ(日接触率)肯定降低，μ \muμ (日治愈率)肯定上升，所以我们可以把λ \lambdaλ调一点为0.8，μ \muμ调高一点为0.6，可以得到以下趋势图。所以应对传染病很关键的一点是我们要提高医疗卫生条件
9 x" e  s6 |3 M

: z* a/ n; _2 V& I7 K
模型二
2 B9 o8 a6 g8 K* k; x: n
9 @; K9 A. o4 X2 }& E
7 v( w# a, h% C) R+ T. o  {实际上，λ \lambdaλ (日接触率)和 μ \muμ(日治愈率)都是随着时间变化的，这里我们设s(t), i(t), r(t) 为第t天健康人、病人、移除者(病愈与死亡之和)的数量， s(t)+ i(t)+r(t)=N.．
9 D7 P  {5 Q7 S5 `9 Y2 l(t), (t) ~第t天感染率, 移除率(治愈率与死亡率之和)
有 d i / d t = λ ( t ) s ( t ) i ( t ) − ( t ) i ( t ) di/dt=\lambda (t)s(t)i(t) - (t)i(t)di/dt=λ(t)s(t)i(t)−(t)i(t)
因为s远大于i, r，s(t)视为常数，所以有

/ Z# Z0 i: D2 C6 q6 v
( j% i. H$ ?  \5 n3 t/ M8 t
5 T* y! u. w8 q6 S* P* C
; f- s- y( u3 e: X8 _, o取差分近似导数




我们可以先用真实数据对(t)进行展示并进行拟合
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4 i2 \% f3 e3 k


! t3 v3 R# d( }* T% z当然同样的方法对(t)进行拟合
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  U, }' A4 U. K  I4 n! _; X, i' r  B做不出来了，好难，光这些东西就弄了四天，到了数学建模国赛得多难多累啊，哎，让我这个小白手足无措。毕竟还没有正规的培训，这个模型等期末考完试一定好好做做！！！
6 b. _5 h: e& ]7 `$ P冲国奖
! u, h% o4 |. O3 L冲国奖
9 [- r/ c$ d; M' G. _* P* t6 t; [冲国奖
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