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偏态分布及其数字特征(R语言可视化)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    发表于 2021-6-24 16:20 |只看该作者 |倒序浏览
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    , t- i9 v& ~/ }! r; x" y( w
    偏态分布及其数字特征(R语言可视化)# e5 k( `% T+ A1 m+ U7 v: ?. D
    目录, t" l5 E' G' d- \8 p* X! g
    0引言! R5 O7 Q. V; i# A1 I
    1、偏态分布的定义( Z" V% j! R6 L" r8 _" J
    1.1正态分布' _3 Q6 ]- }0 o0 E6 @6 v1 g
    1.2偏态分布
    0 c. x3 [3 F$ }( v- E1 t! X2、偏态分布的数字特征
    0 N% Q- y0 }6 G$ p: F* q( b3 l2.1均值% @1 f' n# N+ j& Q& R9 d
    2.2方差4 V0 Z; U" A9 I3 ^( ]5 P
    3、不同偏态的偏态分布——R语言
    ; k/ G% l0 m  p: P) A, O3.1 代码/ v. `' ~  [" r0 w0 f& M8 i5 e
    3.2不同lambda的偏态分布图4 P) O7 J" M- Y8 m* @" Q
    参考文献
    / H  H7 K$ ^; \* D0 b# J$ w0引言
    # O2 z6 h0 G1 u, f* [) g1 x" w" j0 A偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的,本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义,主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导,以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。
    / M) K1 a# t/ n4 N# m6 p+ N) S; {- e; E! z. q% I  i

    : P! g+ x, z7 \& ?" d+ {1、偏态分布的定义
    : s# y; p- R* ]# G0 v1.1正态分布7 t2 m! Q: M  ]: z
    正态分布2,又名高斯分布,最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
    9 M1 B" I8 S2 _3 T, B2 W$ A随机变量X XX服从N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ   u& K8 O0 N' |. z/ q- v
    2
    ) b7 Q2 k- {# W% V. U# q )正态分布,我们分别记ϕ ( ∗ ) \phi(*)ϕ(∗)和Φ ( ∗ ) \Phi(*)Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。6 b1 A, w# ]* m, i
    定义为:
    3 P) Q/ m7 |1 ~  c: H7 _& Gϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}# E0 o) N7 ~# \( p) f
    ϕ(x)=
    1 i7 \6 H" t2 t9 U4 L/ |# ~# A% T' o1 k5 s# X8 T; S
    ​        & c$ u) d( B+ m* y; a  |

    / y0 i8 y5 Y+ z. n! u( q3 ~7 a! d" ?1
    3 o* @& l2 L7 X: Y5 M3 z​        - M) l7 V0 x) E: z
    e
    ( _* e& V, _+ n9 s7 a, ?6 F  _2 ?% L6 D- k
    2. }3 f7 `5 Z2 \( T
    x 2 Y. V5 c( L5 v  h9 l5 e9 z$ [
    2
    8 I: U1 }9 w; y3 N9 n % W/ X$ ?, |8 I$ r. s) F7 M
    ​       
    5 b! F- Q: [# W8 Q & T, T# `! d4 V3 N  _! m

    9 D, z# P% f+ c; [
    # X9 {- q) Q3 `
    8 Q9 g/ ]: I& N  `- T6 t3 I
    Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt}
    # |/ O$ s! s6 QΦ(x)=∫
    4 B& Z! M' E) n; X−∞
    ' s4 Z# e3 n0 L6 g/ ux& G  Z! g" J' b8 P2 ]
    ​       
    . G. R* W% {5 f* B/ B ϕ(t)dt
    2 `4 A  i7 ^: N: z6 O  [' t- d1 B/ b  A9 Y4 P% p) Y: |! d

    ' f$ B# l3 r0 G0 t3 k0 {5 b/ k2 l8 A& z随机变量X XX的概率密度函数和累计分布分别为为:
    6 S6 _) U! g& X0 A5 uf X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
    : p& T1 j0 Z5 p8 t) J7 mf ( S" m- p3 x/ j4 X. @
    X; U% @: y- T' S7 Z+ Q3 P
    ​        / [( n* c9 e0 c0 i7 S+ |7 H& K
    (x)=
    4 Q! V, i4 x; u, Q2 ^
    + g8 \+ T' S# p6 n​        ! S) J' A1 L. A* a  t, J" b% m
    σ. [, u8 s+ Z7 N: H5 L& U3 P  O
    10 x+ |% u5 R1 B! f: @$ m
    ​       
    # Q, y: l3 L! T6 W( }/ {8 X e 1 c8 B, y3 o! K

    # n+ G# Q7 s9 m/ f3 m" d
    ( z! D0 j" K- R% G6 J5 c2  l& t, D% ~: k/ P1 E$ X

    5 D% D0 a  i' m$ {(x−μ) & Q% J7 _# D" D) Q; q1 R* g
    2
    * d5 v3 z, \& }% T1 b* V: A; `
    7 {' U0 W- M/ [4 \, ~​       
    & T, K6 w" I2 y8 A0 N
    # b7 e' H4 W) I/ v, w/ ]1 F
    1 y3 T( B5 M7 t' a
      I. Q6 D: K# m% U3 }# C
    2 O. K6 P/ E% U5 B8 d- ~/ F
    F X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt}/ P2 O- l. B3 n2 l
    F 3 B; Y7 S  u5 u  I( Q
    X  |; s1 S2 r; H/ u) O' v
    ​       
    2 Q2 M( E0 W" N3 ]9 t) X5 Q (x)=∫ ' M" G. ~1 M6 ^0 k6 K
    −∞$ h( ~' ~, k: F6 F  x
    x
    6 @: m. V3 F3 p5 Q​       
    % i0 j6 Y: C( F: N8 `5 G) H f(t)dt! G2 A- q1 y) d' ~2 |

    & }4 m4 {# ]  b2 S! |2 y; B; X$ U
    9 M- u, _1 T) i0 V0 u
    1.2偏态分布
      P5 T& P. S7 }$ C2 m) mA. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\lambda)SN(0,1,λ),引入了偏度参数λ \lambdaλ,其概率密度函数是:3 I8 p7 x, `9 ?* N
    f ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x),  Y8 H% E+ D, `/ U" L* F+ N) i
    f(x)=2ϕ(x)Φ(λx),
    5 @7 S3 ~" \3 f8 K$ s9 ^7 d
    4 l9 o) H# t# B' Y4 t! b

    $ H6 U& }( U  V* pY YY服从S N ( μ , σ , λ ) SN(\mu, \sigma,\lambda)SN(μ,σ,λ)的偏态分布,类似的概率密度函数有如下定义:2 w. G$ \* s/ y) t/ z8 X+ x; C: C: q( \. X
    f Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}).
    % G# A: h8 b$ Pf
    9 `' z2 U; {: _8 ~$ Z! g4 MY. F! c( F0 A! O
    ​       
    , i# o: @" H3 O" v (y)= - y+ @; p1 _0 V. \
    σ! r8 }3 b$ {% x% u
    29 l/ A9 B6 F3 @7 c" |
    ​       
    + V- G- f8 ]! G: | ϕ( % v. s* `, A4 r
    σ% \% d" ~5 U) d$ d( U8 ?! b
    y−μ
    ) W) f! P% b) y# e: ^; ^/ c% y" B​       
    , R/ y' C$ j, W: f8 Y2 S# v, I )Φ(λ
    6 H, }: T9 ~% }& R! }, Iσ- Y: j- j4 Y- d* T: l( X6 L2 K
    y−μ
    / C# \/ r* j( |: t​        5 t% A8 d9 o- k" t- x2 ?2 g  a
    ).1 l2 ]/ Z6 V2 P8 C

    # F$ l6 }: g  j+ g: ?
    & J# K8 Q$ S( a3 f  Z
    可以看出当λ \lambdaλ为0时,该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量Y YY的均值和方差。; J, {, f7 I9 r5 F5 R+ `/ c% o
    . V* R0 U1 I0 g: o3 R' Z& p) d
    0 ^' L! u8 y; ~4 W8 ^" {4 ]
    2、偏态分布的数字特征' x0 M& |" L0 b& K6 g0 t
    2.1均值
    + Y1 Q/ |5 U2 z4 U& v1 r3 @在1.2节我们定义了一般的偏正态分布,这节我们推导偏正态分布的均值。
    / X" D" D( u% O% f" Y% [E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ3 n" c8 I9 e" M: ?, b
    E(Y)=∫+\infin−\infinyf(y)dy=∫+\infin−\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)dt∫λt−\infinϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ2tϕ(t)dt=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ22π−−√d−e−t22=μ+2π−−√σ∫+\infin−\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2π−−√λ1+λ2−−−−−√σ! D& i3 o  @8 B+ l" q7 O
    E(Y)=∫−\infin+\infinyf(y)dy=∫−\infin+\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)dt∫−\infinλtϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin2tϕ(t)dt=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin22πd−e−t22=μ+2πσ∫−\infin+\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2πλ1+λ2σ
    ! [0 K+ h3 Y! n: f* \+ BE(Y)
      @( A8 X! m; P+ ?1 r8 H) c​       
    7 Y' W2 V) Y* D! ]; p9 }  
    / n/ y1 S& Z  K# ?=∫
    " i  k; }9 ]. M& y−∞
    2 l9 g: R+ n4 b+∞. F: g# G* ~8 K" \1 H
    ​       
    " ^0 k- E8 G9 j1 B! C0 ] yf(y)dy; s. E& G& @( t3 o) g) B
    =∫
    $ x+ m% {9 E( j* T3 r* Z9 I−∞
    2 i7 z, u$ d% g+∞
      a& W6 H. B" l: B9 s+ L​        9 G1 J# ^. ~1 |4 e1 G! L9 e- d
    y
    6 x' T3 i4 I! o( qσ/ f3 h& _+ D' w+ K& q1 i+ r* D
    2
    - h& _2 H4 H' ?) m% N3 K2 T​        4 b4 S# E" y: x7 f* p6 t
    ϕ(
    , w5 g6 M2 f: z1 |σ9 f/ D$ l+ U2 v2 t4 D- h0 B
    y−μ
    9 \! r' u" S9 n​       
    0 k' j9 H7 A. ]+ c5 T) L. A+ D )Φ(λ   X* S+ z. m" A; r' G0 K" W
    σ
    . r0 y6 ?9 D; h' G. I  qy−μ
    . w% \* S  N% ]& r7 V1 f! F/ p​       
    + d9 J# n# @) d; {3 I )dy(标准化换元(t=
    ) {7 V% l% V. R# n) u* [σ
    & S* k6 D: ~+ l" Z3 y! t: }0 o7 Ay−μ
    / ^& q/ C0 {: {2 g1 Q" Z; e; T​        1 [" Y: a1 s# A+ G; W; H2 Q6 ~/ x) [
    ))
    " Q3 M* A- U2 ^1 X3 C" s. U+ c: s=∫ # C  W. [9 L6 F; u  J9 b. `* |: @
    −∞
    4 ]% o2 U: O; s  v9 A% [+∞
    ! u, d+ K( a  B4 I! f( ?​       
    # K' N. `0 S* f9 O. C) _ 2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt
      D. Q# R) P5 f* q+ p9 Z=μ+σ∫
    , n$ q% Z1 a4 {, B' {−∞
    / `+ \: p6 H8 R% k+∞
    : N8 A* l1 x9 \​       
    , m6 E, y& G% h* K2 B; l 2tϕ(t)Φ(λt)dt
    ! R/ t- S/ P2 n7 Y/ ^=μ+σ∫
    1 I7 w$ n3 l- G4 `−∞
      w) o% a, X/ v0 \& `2 a+∞
    ( Z0 _  m, X4 o# m3 T) ]1 l) B​       
    ! k' ^7 z7 u  L1 z6 u( x 2tϕ(t)dt∫ . p) F+ Z# \: \4 S* c
    −∞
    8 `( _' b7 O$ ^  y( }8 o4 aλt
    : a' Q2 s" p5 V4 {/ N& r​        0 k/ w! Y+ t- b7 k
    ϕ(k)dk(变换积分限)9 U0 D0 b- ?2 g; k: ^! C& x% w; h& E
    =μ+σ∫
    ' @& [" \% X9 l4 x4 P+ |4 O−∞! L! \: n$ Z* Q+ _7 @3 t
    +∞
    7 d) l. F, L7 S# f* o​       
    9 R- B* _9 [9 K ϕ(k)dk∫
    ( d$ D5 X3 u0 k' j' q' N+ X, C, Nλ
    3 Q, ?7 O9 M$ ~! c0 T( e; sk  m0 L  e  L' X, M/ q% d" `  G
    ​        ( F/ C( [/ ]* h
    4 ^/ G' r& n8 z6 \3 C% W
    +∞
    6 q/ b' A) s# _1 U+ `​       
    0 T  x/ g0 p( x7 B3 g 2tϕ(t)dt
    " c( `. o4 z1 m4 l% p=μ+σ∫
    . T/ \* Y# A7 N( E−∞; J0 b# m: W! D
    +∞
    4 M- N3 E  X( L. }​        9 y! u$ d1 B: Z, P0 Y6 K6 q
    ϕ(k)dk∫ 8 |6 p: j  D; K! a1 Q
    λ
    4 n7 ^# L0 U  s! Ak
    $ g$ m3 H6 |" D3 E. A3 F​       
    4 u7 z9 H& X: P3 L! b
    * I6 l  P8 u  M' Y  m7 Y+∞( d- E/ m; z. f0 ?& B6 ~- W9 R
    ​        ! `( u' S2 k2 K% j% P/ |
      ! F! D* I& Z% n8 u

    0 m  {: X. e) W) P# ?: t​       
    - j  u7 w5 j* \( P# `( o, A1 B
    . @' q$ P% ]( B3 r: t5 B( a. d5 ?2
    - d5 W9 p0 N" Z' r( }' U​       
    " d* x4 n+ C; ?8 k d−e - S0 `9 J, U/ }( B7 R% B: N) c

    7 Q+ J- m( a5 K# \- s21 [8 X0 c& q6 a& Y+ Z1 p6 b0 G7 x: ]! S
    t . t- G9 q  v' Q( ^- e8 |
    2
    . N  }4 P& }) A6 I7 s6 _' z3 v
    " E/ }2 P! Y3 N! E9 ~. t​        0 y, c/ {2 \' y# R
    7 R8 H3 ^5 o+ H! ^5 |8 i2 a
      A; V# p- y  G9 h5 P3 \, `
    =μ+ 6 @; c4 d. u$ L) o4 s' k7 P
    π
    : T6 ~9 r/ b4 x( J2; i% K4 w  h  d9 V! \
    ​        3 r7 M8 G6 B3 Y5 g% ~+ v! \" P
    , G  J2 P) \5 A0 m# b6 d, ~: X1 m' A
    ​       
    6 p) W/ b( m4 [ σ∫ . a& O0 ?0 h: U/ \) J% o& ^
    −∞. B& q( |# D3 r5 Q
    +∞
    5 n" D6 c% d* P8 ?% b+ Z# O- s​       
    - o# X/ N( G, t/ x0 Q e
    1 Q9 C! B0 W* E+ i) G. p2 _( ~( \; W# f& q
    ) ~5 m6 g" z- `7 N4 }; K+ B
    2
    " W$ ^2 P8 D7 e2 ?) M+ K; `
    ! n. v# m  e* \- u' t* C1 ^5 ek 1 x8 C3 d+ Z9 D. l
    2
    . B% Z5 |1 `2 I
    0 S' d$ O1 E& B) v- f​        # K9 v; S# b( A# |; ^: j

    $ u0 u7 Z0 K* D ϕ(k)dk6 r& e$ F! ?) x; B5 K
    =μ+
    2 q1 D" {7 U! P( n& f3 a! U1 ?2 _6 {) eπ- O" I% I) N6 H9 o
    2+ m) q5 H7 b0 {; m  F
    ​       
    ( o' ^, l: j, t% U  y: h8 h
    : s% l/ G5 E9 Q7 K* Y​        / f5 p+ C2 I8 I1 ~
      
    ! B" P4 n! o* J) k1+λ . b+ l# R, d6 v5 F$ X  ?# U
    2
    5 ]6 o) _( H; p8 |. f4 a   x/ r% j9 o' o
    ​        8 m6 j* ~! o, E2 ]6 ~2 Y+ b
    ! T- ]  F3 O; e7 B
    λ, D& u4 U+ ^- y6 y! S/ A
    ​       
    , K, D( t9 q: [& y σ
    , i2 D( @; [9 ]) i- R! O​        8 v8 K' |& }# u( [9 E1 d: A

    2 s0 W2 Y/ e' V$ n; {3 k. N令:
    ; ^! `( ]4 R  nμ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}
    : o* W! F2 Q, O+ Uμ
    $ k7 ^' ~* Z% G8 T  {3 u/ h% o0
    7 s7 Y" y- R) s​       
    " z/ e3 j8 }5 `3 l. U" |5 @7 l% l4 | (λ)= # o; k# U; d& p( u, h
    π
    6 r5 ^3 b  K% s, @2
    " M8 o4 D) ^/ l. U" C7 {# W​        3 ?3 s+ ]) E+ a3 C1 N3 Q9 \
    ; c' v4 b/ O! p  P/ ?2 _, g
    ​       
    0 d. v1 M( N5 R& C3 H  1 X$ z; y* Y& L  t9 J, b
    1+λ
    1 T" H/ s; ~; ~1 m7 ^2
    , }8 B5 J# E. A) S% I! U5 B
    ' Y+ v% X, z! Z% A​        0 M1 t- P( p' ^) m2 Q
    . O9 c/ Z4 A3 @/ O: ]9 W" K8 x
    λ
    * S: t# {$ I$ M9 v/ V2 R5 o1 W​       
    8 S6 R. y7 T( ?5 f: b" S 1 ^- F. c; m5 a
    & Y6 ^5 ^& Z1 Z6 |: e: B7 H+ w
    & ]) A$ K  I0 l% ?; g: f! o0 X5 L
    有:' x; r1 {  U$ f6 a% y- k9 Q
    E ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma
      I7 o- L" Q0 uE(Y)=μ+μ 3 o7 z' G  W: E
    0) t* d* Y  L* m) Q4 u1 X- u" r
    ​       
    0 u/ @. Z- D$ `/ a (λ)σ
    . I$ w2 @: G$ O# ^5 f- C, p/ g. u- }5 Q
    $ e9 u, C2 e+ \" @: s2 C5 Y" N
    2.2方差
    : c* ^6 }2 w" M# b按着正常步骤求方差先求二阶距离:- v$ T5 E, [  I5 H
    E ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 28 m) F, Z0 E5 l; w
    E(Y2)=∫+\infin−\infiny2f(y)dy=∫+\infin−\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫+\infin−\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
    7 P3 F  B. r) j) vE(Y2)=∫−\infin+\infiny2f(y)dy=∫−\infin+\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−\infin+\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
    & \; {% w, b: x! ?6 h% X/ m: R- GE(Y 8 k7 Q6 _' |* x! h
    2) l* ]: K/ N& m
    )
    , a5 P  C9 w5 s2 G0 A( W4 h  M  `) C5 A​       
    . F; _5 E8 i6 S8 g4 T9 I  4 G; p. w3 K% N' k3 E3 ^6 \; A
    =∫
    ) D8 q" f# f' Y5 t- X3 @−∞2 K7 u" j4 r/ I2 r
    +∞
    . G7 S! \. J" t9 ?; u. |& W​       
    " _1 j% v! t: _0 \5 b4 i y " b  @: q( U0 D) P
    2
    6 @/ d1 t$ @& V0 O f(y)dy
    9 q" ]* Z) P% n2 v, M8 J: u- j=∫ , O" L! A7 W! ]0 S1 H% a/ p# G
    −∞8 Z; R: P9 L7 s7 d3 u
    +∞7 X6 i' S+ p& `" r, z3 E
    ​        / c5 D0 T  o% O; V: L- X
    y
    0 G( K# ~, [- c" [' [& @2& T; {4 B* s8 Y
      7 `0 ?% E* R  s3 y- ]
    σ. W+ Q( h4 p+ L% G  _3 N& H6 ]
    2
    3 I. o2 u- ?3 K) J1 W, P# Z3 W​       
    7 Z( S0 N! t7 n  _  g; L4 { ϕ(   N6 b% n( B. z5 G" m3 s3 I) ]
    σ/ N' ]  G, {! A
    y−μ1 K+ ^$ ~, d& s" E: @0 s: u
    ​        4 E+ e! T4 [0 x; R8 V  H
    )Φ(λ , t, j: O+ ?5 q* Q2 F) M! Q5 S
    σ4 X$ c8 h5 M! N1 B! i7 U5 u
    y−μ8 U/ D' k- J: T6 P. M, F
    ​        # x. Q5 I6 [) k8 u- Y
    )dy(标准化换元(t= # T: M. U0 W5 D
    σ
    % d$ K1 L6 p6 Ly−μ
    + w; O" z) x, }. c6 @​        * @+ s) B8 j/ W# G2 h3 L
    ))# G# R4 }; u' f+ z. s
    =∫ 2 a9 L8 {% `  f5 I  z
    −∞
    " y+ g* K% g+ l+∞
    / ^, @' e0 i5 G, g​        4 o0 B% U0 w$ _/ R( H" {8 F
    2(σt+μ) 0 O7 }! v* T/ _$ l- Y8 b
    2( C5 b3 o; u+ e3 Z  l( q. c" t
    ϕ(t)Φ(λt)dt3 J  p" y5 }3 Y, R9 Q. [
    =∫
    # n# C" }+ T$ M  F/ |4 @−∞0 @) W! P9 P2 e2 D
    +∞
    % v" |$ ^$ |7 @( ^  I​        6 j" m! |* `: i- u) c. F3 {
    2(μ
    ! k" i0 I# m: R+ u* y, Y* u2
    ( g! P: X. m/ e% m4 q, A6 r7 e* h( W+ `* L7 U! |" i* {
    2
    % `( c8 a# \* [% _) t1 z! z t
    : f) K- y) U+ V( ]/ b( d# U2* q- g9 u; p+ O- Q* A( K
    +2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt6 s+ r* X; B% O9 j- a

    . u9 }9 h4 k1 D4 F2
    9 o' C* \- b% t) y' T: h +2μσμ
    2 @5 D$ P$ A1 K& u! _8 o0! |, e! Z" {( ?+ e
    ​        $ V( l" M' ~% u4 H; [' r4 @
    , Z( M7 o8 n( x. y+ j! g( l. r* d
    2  p6 M# e! I2 D! U
    ) M) A6 ]6 l( W9 ?0 y
    −∞
    - {: m& K6 _. P+∞
    + \8 L+ \7 I/ u5 @( q" D- y​       
    + `1 l& H  ?* ^3 Z/ D0 g 2t
    5 j& C" c: [+ I# c( N8 c$ Y2; b# u# G8 v- T0 k" m5 E
    ϕ(t)Φ(λt)dt
    " h" y% B. j7 v7 O, H5 a% z8 L. H& \' w& z, {2 w7 y
    25 n! m* ]' m$ m
    +2μσμ / p  K' H7 B* t) d- c5 B
    0! X! H/ n& \7 g. w: z
    ​       
    , Y0 k  w6 }) v# U7 H" j7 I1 q/ w7 K' _  D- W1 y" n" j5 Y
    2
    1 ~! e4 ~! i3 O- x* S& l) D / f( \+ e2 H; v- {1 ]
    ​       
    0 G# \) @* x0 f$ R" k
    ( L% M8 R* U* }, Z8 ^, g( h9 \1 r  C' Y- H( I! V0 Q4 D) M5 D7 \+ u
    + J2 \8 H* D$ G5 X: \' N3 T  y+ E5 Y
    方差为:
    # O3 g2 p/ z; }, \  T4 nD ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2
    9 B/ M2 \' b+ C1 Z  m, aD(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ20)σ2* Z1 w  ?1 Z5 l4 o1 q* @* q
    D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ02)σ2, y& r6 s. B/ w; w( _8 `
    D(Y)
    % B7 Z& q& K& |; @​        0 O: S" ]+ ]8 q5 H8 u: }
      4 }' q  Q% v5 _, Y0 ~2 R
    =E(Y
    & K+ E3 Q6 `& m4 l/ e# I2
    % {& @! g4 n, M" e/ p% L: K )−E(Y)
    & W; }+ C: Q4 _1 y- v2 A# P29 D9 z( J- ]+ g5 ]8 v( v8 t& }
    4 Q$ B+ z& Z2 \! Z3 \* f9 f

    - @% p: e- [" ?' y; ]1 E2
    . e2 l' [' L% }; G% w* H +2μσμ
    + x1 \; A- o/ s  ~% J5 x8 a04 ^  f0 O, Z6 h! t+ E, K
    ​       
    * |. o  M' `/ F% `+ `' a4 J, J* ]) _8 D' f6 Z. ?
    2
    - c# k4 b+ S, D. S8 C; M$ C −(μ+μ 2 M! r4 W- v5 h
    0
    ' K5 G8 O7 b# e# o​        2 d6 R4 f1 H- y- p7 \- I
    σ)
    + y# s$ W' t; J; W" p' }0 j2
    : o" H9 C' J0 h " G$ T7 c1 G. r
    =(1−μ / {+ i( c( n" m3 h- g3 B
    0+ z% k8 W" S# I* @. R6 a4 y( h* b
    2
    # p$ J% c1 w- P# k" p; j9 G​        / H, _) S# U" a

    / ]  m) E3 o# f2. N" M6 N5 P+ O9 y

    9 v* m. m8 @2 i& @, R$ {$ w​       
    / a6 O5 L/ x% X8 D5 m$ G* F% n
    + B& [4 \: J4 p1 U. P8 r" W2 i  Y. @& _4 T
    6 D- }1 H" h2 X0 a7 h  C1 C
    令:! ~+ e7 X6 ~! E
    σ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}}. S7 S* O- L: S% L% j7 e9 g
    σ 8 O' @1 @9 K6 _
    0
    % |% D4 ]1 S- V+ x  @+ Y5 i0 s7 Y" T2* J$ E( z( ~: N4 R
    ​        3 v2 M9 Y  Y, q2 c0 Z$ t* G  L
    (λ)=1−μ & H$ d2 B3 Z1 A: y6 O1 V- i. O, I
    0* n$ }* W% q7 `9 q
    2* N5 G+ {  _, m" h
    ​        8 p5 q/ r, n6 f; i8 Z
    =1−
    ' ~* ^0 G, x, {/ M" M, A8 oπ8 E# ]0 H% z* |/ s
    24 r9 _. s; a( s) I# X
    ​        ! V1 c$ G) z6 H% |2 d
      
    0 w* o( R, d! n1+λ ! U1 ?& P% S. ]
    2* Y; N9 _( z& d% e' D
      E: s5 F+ y$ D3 ~% i) r
    λ
    % G' Y  c! h5 M4 b. M: L2
    : u1 ^) V% [0 M& |* |
    % ]% L7 g0 z2 M! X​        9 l& F& I$ Y/ _: q: e: v

    ; @8 X' E& G: I/ {. w7 K& v* m* C7 ?
    ' d1 j9 r7 _# F
    有:
    ' U  h4 u1 p7 j/ h6 I# ^! DD ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^2
    + c3 J, W9 M. |6 \& j/ i! o% q5 fD(Y)=σ
    . v! W) f8 |3 j1 v+ q# Q08 z& f& T2 K" ]$ x( C6 S: k
    2. w! Q" x) E. V6 D9 v1 N
    ​        # F2 L0 e% b1 y4 X% ]
    (λ)σ
    ; E( B* y  T+ C& n$ A- ]* s1 [/ \2: }6 s: ], s/ n; o. @3 Q  e

    0 S% g- }& q1 w) E) D4 ^- r6 t. |  u# q/ \
    6 ?& Y$ u) V$ ~. G
    注:2 l! V5 _& w" S7 o% H' d$ R9 L( ~

    & S' u$ Q  r0 D3 y) s& _$ S3 N# d
    5 j7 S$ E6 H! ]! ?1 x0 E
    在推导中会把μ 0 ( λ ) \mu_0(\lambda)μ ' k$ y, M+ m  U. I+ S, r
    0
    3 l: |# k1 l7 j4 C6 m  N​        , s, }4 N' t2 ~! I$ n& W6 z' f8 c
    (λ)记为μ 0 . \mu_0.μ
    1 q: u' p! Y8 s5 A- _: Z+ f0$ u% E  |- o7 h+ I. f
    ​        # ?# l$ U& i" X9 N) v- Q1 j, E* F
    .
    + o/ {( a- x6 j5 w- U在推导中用到K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dtK=∫ : S* N7 Y- Z6 Z( N' k: h! w
    −∞
    , s. r/ _# d" E3 d5 C& e+ D$ f: |. G+∞2 o( \6 L$ p; B# N$ [+ \
    ​        % v+ P' ~& c* {# c6 r3 b4 A4 i8 H
    2t ! `: w. K# [$ [
    2. B+ y( V: x% F( H$ a
    ϕ(t)Φ(λt)dt = 1,最后我们补齐证明。
    - m( D& r, V0 x' RK = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ) = 1. V+ [1 Q! S1 X
    K=∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫+\infin−\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1! |* t8 ]+ g0 X3 Y7 K& ]
    K=∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫−\infin+\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=12 U+ M! J) l" P7 Q' k# ?/ r1 r
    K
    $ H" ~7 H4 ]. V3 R2 {​        1 e; Y! w9 v0 L* L% \
      
    + O& o: E: ^, l=∫   z6 P, B- o! n
    −∞" L9 i+ }- \8 W2 o% x! u  U+ e
    +∞
    : L8 k- A2 F) z9 Z​       
    3 I9 V  M3 I1 R) o6 p3 L/ y 2t
    & J( S3 v  z, t( ^/ T% N/ h- i2
    & M1 H. |) N4 {# t" u ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)/ O( L; T  S( r7 r: l& x+ s
    =∫
    ) `' e" p9 Y* `& |) u( a! c−∞
    - E2 E1 s) B, Q7 E2 M: E+∞! F" M/ l+ y5 M9 @" Y# Y
    ​       
    & ?$ J# z* u9 {" Y) _ 2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)
    4 @# b4 X! k* v" v) p: {; P9 {; f=10 Z# l6 |( w# u, q
    ​       
    % n  z* w) N3 q + c2 q: a; I5 Y; {% h

    . |/ D& g- d2 Y6 f! [
    ! y! n; I' X5 B4 C" Y6 C4 c8 M! p
    3、不同偏态的偏态分布——R语言5 j9 `/ M' r. N9 @  F9 T
    本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。
    ; m* F. @: S$ H* _  d5 A9 Y' F  D3 U$ i* h* C% O

    9 h0 a& O6 f& S# H8 _$ a3.1 代码
    ! P$ M) {/ Q" }  Blibrary(ggplot2): F5 l- g2 F0 p; [0 L
    nnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){
    / O& u+ u) N- ?8 s  function(x){7 O# h4 F# D3 L7 ]4 }: ^
        x <- (x - mu)/sigma
    6 t% u) H# l5 i# H6 r! J    f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)
    ! |3 T9 ]8 n2 A5 `* V    return(f); x1 H+ E3 Q  U# t& E+ n+ U
      }
      t9 y# Q1 b  s- s; V# L1 e}
    4 \2 n, I* a& J$ Zplot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
    ( O% l. ?/ ?$ e0 W- Iplot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
    1 y9 P3 ]$ J) N0 _# bplot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T)
    0 t6 j3 U8 X$ m! L+ V. ^7 }$ `' [plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
    & c5 [; W4 R8 w' S1 o+ S- kplot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T)2 ?7 i  I7 x% s" Y: |1 R
    plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)
    ( B. K: S# y: w* {plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T)
    % h4 L  r: y; Z# ~9 V& M& R+ i1 P  [9 j
    ' a0 r! b* y# E- V5 U
    x <- seq(-5,5, 0.01)# ?  r0 |! e, F) f* U& {
    n = length(x)
    2 S2 u! P6 ?2 H3 s1 }/ ~Lambda <- c(-3:3)7 {  l$ B( r9 k: z8 H
    Data <- data.frame(
    # j3 R' N; B2 L, Q' b$ w# D  x = rep(x, 7),. h0 Y4 u( _; P- L: g) E" ^4 V( `: K
      y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x),) Z( M3 D! W( `3 U9 w
      nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),% i2 c1 Q$ Y" K* u
      z = rep(Lambda, each = n),: e; z9 w+ M- }  z+ |
      z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))
    , J! y7 i3 v3 @4 u)# ^, e" w" Z' H9 W# _# v
    qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line")9 c; F* M2 n. R( {2 g& s$ w
    qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")4 Z+ h+ o! n3 \0 A$ ^) b4 ^# Y
    1
    6 K, @' h& _: r4 N0 f  H; Y2% D( x$ \# [: K5 f- V9 j  c! }9 I9 Q) @
    3
    4 U8 y2 v$ j) ~% D5 d6 H4
    9 `' {$ D! C" T2 Q! J) n5
    , ?# j  t3 y; i. ?+ p( I6, `* s7 C" c) D* J4 V- @
    7
    * v2 ?- i1 I* F0 q1 F8$ f- K: C8 g/ r
    9
    3 b8 N- O  V& r: N, E10
    5 s  Z! p, }0 ?; D; w6 }3 P11
    0 F* A4 y# \$ x2 }2 ~12: z0 |8 l- V9 M
    13- z, ]) r! w+ e& k. I! l1 x
    14
    3 _. r! ^4 L  C15
    + ], H. f/ f0 [3 C- ~* D5 r0 c161 a* m) x: N0 M0 X
    17* ?: u  w  ]/ R' G' O4 d5 Y
    18
    & ]$ p4 q2 A5 q3 x9 H, f3 u( I19& u" V5 Q4 m4 O( E5 @* ]. F
    203 C7 C* T6 U3 j4 {
    21
    2 G4 `0 A! z  W0 r( ?. i22
    - a3 q( C7 J4 I- u- Y23' Y$ H. {% v9 F
    24- V$ N" T% R- o4 G0 j
    25
    + Z. p0 e7 i' o3 n: \26, l! x* U; e+ A6 a* E  v) f9 ~6 v& V
    27' V6 G$ S* T1 w- h, j, ]
    28
    4 B5 k# S4 E+ {  ^# y: F3.2不同lambda的偏态分布图3 a9 \4 e6 k: v' T: m: h! [: j6 ~3 c

    9 u0 s& F9 R" e1 L( [
    8 c6 C  _% j1 m; A, y
    7 z. r- X$ @5 k) o$ ?6 S

    : N. D) u! W, R- C1 i" H. I+ W7 @0 S! }

    , P% w) u9 I$ g) s- E参考文献1 F8 P: a: J  g, @) \
    A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎
    7 h2 d* ^8 a3 z9 j( I; s# h5 j5 ~6 Y' w* Y) n4 S  y
    - r  |2 D; \/ i  p" Q
    https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎) I( P4 ~; J8 M- K+ k9 z; F
    ————————————————
    / y& \) _& D+ o6 w: F; A7 O版权声明:本文为CSDN博主「统计学小王子」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。5 b0 ^9 ~# [% N/ p
    原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_46111814/article/details/115607036
    % q7 c4 V) f  Y& G. |
    9 s" N* S, d& Y
    8 E1 \: l! ?# B. O
    zan
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