在线时间 1630 小时 最后登录 2024-1-29 注册时间 2017-5-16 听众数 82 收听数 1 能力 120 分 体力 565745 点 威望 12 点 阅读权限 255 积分 174946 相册 1 日志 0 记录 0 帖子 5313 主题 5273 精华 3 分享 0 好友 163
TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
签到天数: 17 天
[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
网络挑战赛参赛者
自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
群组 : 2018美赛大象算法课程
群组 : 2018美赛护航培训课程
群组 : 2019年 数学中国站长建
群组 : 2019年数据分析师课程
群组 : 2018年大象老师国赛优
# B% k* Y+ ?7 x' Q/ N" Z2 @ 偏态分布及其数字特征(R语言可视化)
$ p6 ?9 n: l4 @. b; Z 目录 6 Z9 F1 }+ M% {7 E* ], k+ K
0引言 3 b8 X" A# T; E0 h
1、偏态分布的定义 2 {) ]8 M2 f) ?8 C
1.1正态分布
( u9 `, c1 g! C0 `; v: z3 A: \2 m: @ 1.2偏态分布 v/ J2 t7 U5 G
2、偏态分布的数字特征 & h$ E& I* B. `! W
2.1均值 % N2 l6 }8 }! R
2.2方差
7 E/ c6 ?" @, u0 ?/ l 3、不同偏态的偏态分布——R语言
8 u3 Z* e7 J1 V& R. k& { 3.1 代码
' M% h# t4 M% ?& _9 x; [. v" | 3.2不同lambda的偏态分布图 0 C# M4 r2 [8 F2 O2 |% ^ q
参考文献 9 Y& N8 @1 }( I* T8 D' x
0引言
- f' X4 ?4 |) R9 U 偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的,本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义,主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导,以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。 . A+ {, l5 s E) w; M
9 v2 y) d( S& |) C
9 r* g# R1 Y. w Y3 x 1、偏态分布的定义
# B d* G& m- E2 c* o5 H 1.1正态分布
. f& i9 q: J8 e" |/ c9 j' @ 正态分布2,又名高斯分布,最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。 ) }) I7 m, N' F0 G
随机变量X XX服从N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ ) b/ {8 X1 s" k5 g
2 * A( j* n5 y7 z: }. Q( t5 o, w4 V$ Q
)正态分布,我们分别记ϕ ( ∗ ) \phi(*)ϕ(∗)和Φ ( ∗ ) \Phi(*)Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。 " P1 e @+ ?% L- L: Q9 s
定义为: 3 ?+ f3 H q \, G4 C! T& p
ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} 8 i1 Q1 @5 q# x2 D
ϕ(x)=
- y( |9 G' j* e3 ^2 P- t4 u 2π 4 M& o7 X. i' [( L# y. W( A1 j1 Y
0 W5 j ?1 v/ K( L% C
- I l. J$ R. y5 I- J7 x( u
1
9 V4 F' r3 B, S4 L. U 9 ?7 f8 Q' r' i& q" b, L( `: v0 H. d
e 0 C5 o8 w& Y. P4 V0 |
− : r. R, C* t* z6 \3 g
2
: m/ F7 ]9 D% Z) | x & v- C: f: ^ v8 i/ _- U
2 : Y ]7 V2 a- f9 ~4 s& Z. B
0 C C7 Z7 u/ H
# q" U5 H+ c6 P. l& H( q- }6 [: P ; i8 _3 ]" u9 z+ c& t4 i
0 d. b0 N `4 Y5 ~0 Q : \2 M( v: l7 t, j! K
0 a9 I9 k; d( Y Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt} . N A2 a: g! J, w
Φ(x)=∫
3 {: W& S4 L5 |) f; g' f) q7 ` −∞
8 I- b' e; }0 u) m; p, q x 4 l) q T7 f% }* F
& x0 }2 M j* O, Q* w) L: x ϕ(t)dt
1 X( t& W2 K8 n
) t2 n2 T6 ^5 n3 k* n' v% I, ^, l% W / Q! n2 [# [/ k
随机变量X XX的概率密度函数和累计分布分别为为: ( a% C3 d8 h" y8 K. L
f X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ) c7 R! U6 P4 A
f : b# t5 @" H, k* A7 P
X 8 j: b$ W: {( S6 H$ |. @" a/ C
. `4 N* S, m6 [+ N5 R: S! H4 f
(x)=
0 m4 K9 ]0 A) i7 V7 s: s& q 2π 6 K6 S- T- l! @' E- \
; P& `1 u! N1 r/ M$ H
σ , o7 |/ ]! D q! `- [; n! U! Z
1 . y }+ ]' {5 f% w- } I
3 ?. T8 p1 w7 |: B/ _ e
% X3 [ Y- U3 Q( @2 y* v5 t − & _) Y( s3 [ e" G6 r
2σ
# k* O7 v- I5 c7 _( I! s( r 2
7 L7 k3 ^+ D/ R" b7 s( ^ 6 \+ ?7 g3 i, F$ m- Z1 B
(x−μ)
7 w5 x) X+ y* V( S 2 + c2 ~3 U7 m( |* h
9 h+ s0 z+ k( _: b. O
; \' W3 [9 g4 N2 O! c# q
5 h8 X$ E) g( K
0 Y. @# P9 \3 q, r5 |& H% V! z4 G
! U+ Q+ h+ E7 T+ K5 N
) T& I1 ~1 v$ d' A F X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt}
% _; g" c4 g, f3 t F . D7 _1 g8 E* H0 F
X
, ~( x3 G& Q% P" Q2 U \) n/ A
8 u$ f. `# l; Q ] (x)=∫
& W/ T8 ~6 {, R3 f2 _ m −∞
- a" U; ]+ ?$ D x
( V. L- F( o$ ^1 L$ d
4 i( m# {2 x0 E1 B2 ?' F! w f(t)dt 3 \' i$ Q, J4 g0 P
- Q9 M9 A! n9 f) C
- s! n& ?; P2 w2 C, \- U2 ^. C
1.2偏态分布
7 T% u' l( B8 X% U# F# y) T A. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\lambda)SN(0,1,λ),引入了偏度参数λ \lambdaλ,其概率密度函数是:
" Y2 U+ Q: D8 S7 \4 x7 y f ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x),
2 `# b' D0 |0 [2 `8 A" R f(x)=2ϕ(x)Φ(λx),
3 W6 k2 I+ U; Q 9 e; a7 ?. ~0 Q( X, S. z/ N
, P. F: c! ?; m. U' @ Y YY服从S N ( μ , σ , λ ) SN(\mu, \sigma,\lambda)SN(μ,σ,λ)的偏态分布,类似的概率密度函数有如下定义:
+ R2 C! n" E' M' k. F f Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}). 6 I w: W# U' n: Q$ l- n
f
. A) w* h: }, h& h4 u- T Y " |; g6 B) J7 e+ f- J. h8 V
( B+ X) j, i3 m2 A/ v# r) Y! f& b+ h
(y)=
* U- W& M% \# e- ?! M6 v5 j6 v σ 9 C G! c9 T O% V* F
2
4 y5 i7 W* U. ?5 q: ?" W. _
) W8 L0 `: z5 `% ]- [ ϕ( - M7 Q( _2 d6 h( ^
σ ; [( j8 n9 {+ Y( {
y−μ
, t" F3 X$ X5 x7 ?3 V$ O
( x& v5 ~) e7 e )Φ(λ ! U4 F# s6 Q! Z; }
σ
( n; N. G1 P% v1 I$ m! Q7 R y−μ
! L j, b. r2 I( s! b T0 E; {. w# h! r
). ; D4 E) ^; Q: M+ o* F' F
1 }8 A* b% L8 C! r3 q, P5 V0 i$ c
. f& _* h1 ^/ f
可以看出当λ \lambdaλ为0时,该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量Y YY的均值和方差。 % v: O- }9 }# V7 p9 ?% X {
# p# H# k1 O- y$ l! l
! r: n5 N h5 ]% n
2、偏态分布的数字特征
4 h" F+ n$ D, g1 { 2.1均值
* q- D$ E9 \' T& r. S0 F) Z0 X 在1.2节我们定义了一般的偏正态分布,这节我们推导偏正态分布的均值。 ; M/ x7 A. I' e$ L) C9 T
E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ ' D9 t& T, f! v" v3 ^
E(Y)=∫+\infin−\infinyf(y)dy=∫+\infin−\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)dt∫λt−\infinϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ2tϕ(t)dt=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ22π−−√d−e−t22=μ+2π−−√σ∫+\infin−\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2π−−√λ1+λ2−−−−−√σ
) A# P a/ q% ~- i4 ^ E(Y)=∫−\infin+\infinyf(y)dy=∫−\infin+\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)dt∫−\infinλtϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin2tϕ(t)dt=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin22πd−e−t22=μ+2πσ∫−\infin+\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2πλ1+λ2σ
2 U# Q6 O F2 y% A9 m8 |% L+ v E(Y) ' e' [' E/ k6 t
6 _7 Z! r: |' j5 O7 o
3 n, E& }; [ L( ?& _* }; M
=∫
* n+ _. d+ ?* {3 @5 p+ ^8 {5 Z −∞
* X2 S2 E; H8 F" Z: i0 F$ f +∞ ) V. z3 y* E, G, H& @; _! k
5 R, }) A* @4 T0 [, j, d/ F6 B yf(y)dy
3 v) w H( z" V =∫
" K! Q& L, f% [3 m. z −∞ 2 d9 V! K8 ^7 U7 R1 N0 u
+∞
9 H- o% n, d+ V& c- O. e ' f* {. ~% i6 R, B% H' C) k
y
7 D v4 O5 ^( l7 H. w0 D σ : S7 t' K/ D# M
2 , S1 {0 P; O, \2 p1 t0 Z* @4 k) _
: x" L8 B7 P( W
ϕ(
9 @. W: H% M: ^: a σ : R- ?* G- I% ~& t3 [* p: d
y−μ , n! ]( R+ g9 H- ]0 j9 `
- x7 U4 n- d6 y0 r/ j6 L
)Φ(λ ' P5 R' z5 h G2 }- E9 y- V
σ & d0 f) g0 X- D2 q* s1 W; h5 L s/ H
y−μ
0 Z2 E1 ^" C; R0 j' c* S 4 E% k0 ^/ G: _! w
)dy(标准化换元(t=
: b2 G C% q* p! Z$ r/ ] σ
; M8 _1 f+ N x {" z0 h7 m# E y−μ ( z. Z) ~& ^8 I! g7 E
F* i2 ?8 B! C# n, p( j @4 {7 {
))
" k7 N {. ]# S) D9 T3 W =∫
$ @9 U9 l( F: b! L9 J6 ? −∞
: n: X/ [/ n4 c! V9 q' G +∞ ; N. ]9 k5 [+ z7 u/ h" ~ ^
9 X& N' m* U7 D, B
2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt 4 \3 |2 `$ U0 [& V- l. F k8 F
=μ+σ∫
( ]; W- D) R) A) V9 t& A −∞
1 ~9 e* M9 S4 B9 X- T$ O +∞ 7 O! b. _5 ^$ ~& v+ B: u
# }) [- M+ R9 Y) k3 m8 J5 j& O
2tϕ(t)Φ(λt)dt ( T ~: {( Y6 b1 S6 |9 p
=μ+σ∫
0 r- a6 }9 \- g: W −∞
7 T; s- n b$ _ +∞
: W+ W1 V3 c6 H E v& @& @' b9 q( k
2tϕ(t)dt∫
) `3 f" W( n% F8 K' n' ^) x −∞ ) [; p0 J3 L9 m) y
λt 9 q5 Q$ p$ b1 B
0 n8 Q1 i6 ?0 ?8 h1 p8 _ ϕ(k)dk(变换积分限) - W( V5 }- f& `& m3 b
=μ+σ∫ 8 K" M: O6 U, Q: ]2 Q6 C# D" H- C
−∞
% i2 l) B, k) M F +∞ * N; G/ E# t1 m2 | G' z' c
9 m; d0 L( a# \% E% M$ W6 s8 W: ^+ N# F" Z ϕ(k)dk∫ $ y \3 Y* s1 e) x9 }4 g9 s; r
λ
7 C- ~7 k" M) q k
9 Y; G* W# m3 B* J2 {
' ?9 _8 u! G1 A0 o! s ) N9 v1 [0 L! Z& Y; m
+∞
$ \3 v Z: M- l' o0 v |2 v2 x- f- x) v
2tϕ(t)dt
% X; G. U: ~3 N6 l9 b; `" H =μ+σ∫ 0 h2 O: q) S) V* _9 ~
−∞ " a) S; N+ O5 L; G; G
+∞ 8 \2 J) ]3 m# M6 I! P
4 R' R6 r' y/ U/ m) _6 d+ b ϕ(k)dk∫ 4 K2 c9 I6 j K# \" y/ R9 m1 E! d
λ
R2 ^% g2 n N: c$ N2 @3 u k
/ L' @+ C5 R7 M0 Z$ y' T 5 E! a4 Z' K9 k
8 y, O0 t% H. ~* |1 L5 b# ]) I +∞ - W$ B% O/ i1 Y2 J* ~) N
1 d+ A% z/ \, H3 l% S! G - O, b. Z% @( K! F# E
2π ' E) Q. i9 e7 B+ b
+ C5 {' y/ a: K" b
+ t; ]. o8 n3 j! l( n 2
4 ]+ ~8 ~1 P5 v6 d c# i / T9 P- Z, O. ]4 Q
d−e 0 c% g# s& B) D/ b7 P3 B
− % S7 M a Y$ o. Z; S8 J
2
+ `% @: h& a. ]; F" R+ q6 v t `8 v) }0 l# R) z
2 : J$ g) h4 D1 w. f
% f+ O$ G; N! a
/ B9 N h- k' e( k# C# ^
) V# H0 ]4 ~/ c$ V$ H8 P
8 U3 K8 c, @2 d x6 s =μ+
# n0 n3 R K- M4 K7 ~ π
/ ?, F+ `. G! R1 s 2
% S8 z0 u( w/ Y% m* L
! H! Q* u: X9 h) A4 g / J/ O" M( b/ l) R5 M7 |' G
. j a7 A( S! \3 K σ∫ % ?' N" v8 v0 m& L W
−∞
) |: `. Q, O& L' [+ O* } +∞
/ H. x* b& z; D9 X" d0 }6 H! U2 Z5 \
1 L: s& h! O, Z. ^# }& J2 u% w* A' n e 2 y; A6 F* T0 P% }3 z+ E, z
−
+ u9 G. }, G3 q8 t) m9 @ 2λ
4 |, M3 ]' p( w2 Y 2 ! P7 S1 X# N, }) s
9 f9 I. y* j( X) \$ c5 p
k
) l. ` G' c. h& f 2 ; X7 t( i8 z% |6 o
7 Z3 d9 } g) C, q1 E6 O# r) j
: R3 o4 i$ q' s& a% A# k* |
( E, F& ~. b7 }) \5 z ϕ(k)dk
2 X6 U, E9 G$ s: D' ~) { =μ+ 9 m8 Y6 m# q0 h
π * R8 o" m4 v5 j
2
$ A0 {( L5 L. u6 J6 U/ Y . k0 {: ^! Y7 @* E7 J1 E
6 k- ]8 E: t7 v, [
1 o* r, C! o9 g3 Q6 B8 ?) N$ p- b$ d % G) }2 E: ^. B2 c# X
1+λ
7 N0 D% t& h: Q 2
3 p7 f/ k; E$ `% O; s
- X) N( M' N1 }/ X. y; r* j1 Q* F
. q( ?: J# Q8 ?3 ? y; @ Z1 U
. \+ V$ a3 c: T: N! W6 A, c) k λ 5 x; m( p O. M- Q9 b
. j0 e8 V, u/ M- Y3 G& R7 Z" l) U5 [
σ 3 c# F$ K$ @% Q1 p# d3 e/ C
- B' _0 ^ j. x1 h
6 o1 Y# F f0 d* _4 Z& O1 _ 令:
/ E8 ^9 p& @# i5 M μ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}
# ^( e8 P s" `$ C+ ]* a9 m5 W/ q" Y! g μ
$ p* s% J) h; P' X3 ?; `! \ 0
* r& }! |2 \) N4 k2 ~
4 K' e1 R: ?0 u5 v8 w (λ)=
) s& ` J2 L; a' w5 d% ] π
7 O# k$ s9 f6 N) Z1 b! f 2 , E; B" f7 O8 ^+ i
) {- E/ j; a( y
, ~( y$ ^: p8 P, o, {
, U- V8 H4 z4 q! G * d, i' g0 J) |6 R# b2 [( H. a0 G
1+λ
7 ~! o! D1 t% @ 2
( @6 o) Q S* i. R : V; ?4 E- K2 s0 Q' s' m* g- U
, r- M4 ^# E. {% q' p' ?/ {
1 u) R# @( h# r6 e1 {
λ
8 k. a+ s8 M: s s
1 b! w% g! M; W1 `
1 _- z0 ]1 X% J1 l# E! _8 g
8 L) Y s4 S; ~8 L0 a
) d+ ?! ~; N% p( N* z! ~7 g N 有:
- V9 L( e2 F: u/ q7 T* j: r- j. @ E ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma ' g' r7 _2 e+ R: r2 w
E(Y)=μ+μ 8 Q4 B, b4 ?1 f/ b7 t5 D! Z
0 1 ^0 H8 E' L; }
7 x- S4 y) M7 ?# q" b9 I4 P5 z (λ)σ : ~4 r7 x1 H/ H M }! r
) t& R: O* c& { x2 B: I
, g% A X: K/ ~, A2 P# n4 H" q 2.2方差
: g- v7 d; B. G3 [- C 按着正常步骤求方差先求二阶距离: 1 _3 E2 v( D: ~ r2 T- m
E ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 % @/ A e# k9 Q! k! d2 `
E(Y2)=∫+\infin−\infiny2f(y)dy=∫+\infin−\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫+\infin−\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2 " J8 w+ D+ a2 e3 l* x" Z7 S
E(Y2)=∫−\infin+\infiny2f(y)dy=∫−\infin+\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−\infin+\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
9 u! V; [( y$ {9 v; { x: U0 p E(Y 7 @; k& x9 L0 o2 r& b3 u: H
2
, h9 t$ N+ D. p. u/ X( I ) 9 ?& g& T6 B* g0 o6 Q- [
' `& m* U& b4 Q9 I; F& i- W
7 {1 \4 @" h( f$ S0 {8 c =∫
4 P/ ~, Q1 L9 |: l −∞
- Z5 ~3 c+ s' u2 h' e +∞ 2 w' N1 x7 I- g
* N1 Z' Y* G( ^, P7 o0 m
y & l& c0 M( z& q# S* [1 ?# s7 |& F
2
7 K! {2 E& z2 G f(y)dy
) c8 X" y/ v& I =∫
1 _; Y7 Y! I) {# W | −∞
4 A* W2 f' b0 W0 q +∞ 7 r$ `) u; o, @! ]: p! C$ [
$ y. [3 v& r8 o* ~+ R5 \+ \( p
y 1 C C9 F2 ]" y; r) Y
2
7 m9 `& z3 a* N; B3 q
# u. L; i+ ?7 X7 v8 R) U: k/ B1 N σ . L1 d: e* P4 L' a2 ?0 w- q
2
! l4 |$ W$ }/ Z' ]& u
# D, Q4 V" e+ \ ϕ(
- R0 N5 \8 X* [/ ` σ
; @+ X; M1 W1 K9 j( B, @ y−μ
& [$ Q h8 T9 ^" Y4 [
! _; b9 C8 b1 S( f. t7 g )Φ(λ 6 o/ c8 g# [2 g) h
σ
% ^, C! {% b! } y−μ / |( R( e/ P$ Y. b
& Y# R& N$ o7 y8 M. S: U+ W! ~
)dy(标准化换元(t= $ x8 U4 F5 M, E7 o; `9 Z
σ
6 c V7 v! M+ B. L8 x: Q8 r y−μ
6 N3 ^, P" j7 F& _ ) `" ~: T" X) p- e% N9 c
))
( I0 c7 L0 P) @. h! W# ~ =∫
0 N6 I. \0 Y6 { −∞
/ \1 v, b# ~! B# O0 d7 n +∞
/ J3 T- b5 \$ z/ g, T3 h
$ ]5 ^( [5 ?4 l6 O& v( e9 o 2(σt+μ)
7 t h9 @5 U2 h1 F 2 7 G" z8 Z, Y$ I$ B7 B
ϕ(t)Φ(λt)dt $ L6 X; }) ~8 v6 C
=∫
# c- [3 |9 I/ m −∞ ' @, A6 f! f# S4 Q }
+∞ 0 z/ j: d6 g, f/ f% A
( W4 Y+ l" i( ^, W |, u3 d 2(μ
" G. `7 B2 K" U 2
7 p$ u1 n: i+ o h3 v4 w8 h+ S +σ ) j& |5 L; d' |5 v' \
2
+ P# n, y( J. W; \6 k. _6 K3 Z t
$ H3 h# R. \) }( t" u, D 2 4 ~4 j6 X; z, Q5 d) x5 ?) F
+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt ; p2 G4 k' U9 J4 n) a0 E7 e* O8 @4 t
=μ
" X5 |7 k" r+ S2 `$ } 2
( k8 o6 G& W$ p7 e8 j% M$ u +2μσμ 3 t' H; o5 ^& p+ i: h& C9 j% k
0 " x& R% `" V/ t6 v; T. O
0 d! H3 k% [' [" x: v" G7 m
+σ
3 f" t T8 w. `2 ?: V 2 i. v: s, o' e" O$ M: o& D* b+ \
∫
% J4 X) ?; x/ h6 [4 T −∞ 1 S6 w8 m4 \0 N0 H% O% Q. P! O) n
+∞ - a/ M8 }5 Y( e4 Z; F# {
, \* l1 p3 Q) X6 y
2t
@- g: S% ]/ ]3 y 2 3 P7 r$ Z( d2 N/ ?* A/ H
ϕ(t)Φ(λt)dt 3 l7 E" r! j$ @( K% W, K* V
=μ
6 T6 _9 K* T( u 2 2 }5 G! X7 T8 s2 F4 v% W E! w3 Y
+2μσμ
$ V, H$ x" _1 r3 @* I5 m# \9 M 0
6 R) F, L; v H* q2 L % C7 s- X' Q7 x6 {9 m
+σ 4 x4 k* \" w$ e( D( |. v5 L
2 2 Q6 C- x. c, n9 |2 U6 X) y- N
! c% y! b4 {, X! Z
) ]8 P* ?* r, u& b6 R: A( z
( Z% X* ?4 z1 S8 e) b& w! Z
) q: ~- y' F5 G3 H* j/ W8 X: l 4 z) f2 L) p) c( z! R
方差为: ( H! h2 c: W J6 ]/ `
D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2
( j6 I/ i- M- M8 f8 d$ H3 Q D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ20)σ2 * T% U# l" ?: A% ~' \( c
D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ02)σ2 ( f. [' C$ I& n$ l$ u% W) j
D(Y) 0 y6 {. H! U0 q7 j* `' _! k8 J1 S
# e0 G0 {& k" `
/ w! N, O; y/ \ =E(Y
4 F+ c$ [9 i5 W* D7 D! f 2
# a3 k, I; v) J )−E(Y) * s8 ]" O/ c. T' `- e1 t4 p8 n
2 - v" k% ?# T; q& K
3 M4 D9 ~( r, a; b) G =μ , M: G8 j1 `' p+ n% {
2
- g- F# n& V+ E9 _ +2μσμ ! L( A" R: [! F5 V0 n- x D6 t
0
. y5 ?$ h" @- t/ C" z( r - T# `5 ]1 C' Z+ \7 X7 k
+σ
# p S, a8 V2 Q 2 9 p! C' i }3 Y% m; s
−(μ+μ
0 z2 b& \) S, J! e5 \9 A( F5 u 0 7 _# p' l/ p! p) `. d' M
+ R* V7 X2 `/ E8 ], M2 W8 k8 W8 |& `9 p1 Y
σ) F& @: Y6 y3 u" G6 d- ^2 a, ~
2
, X) _+ }: }7 o: Z: y9 t 9 O7 s' U& [6 i3 ?
=(1−μ # m5 ^+ w3 [. n& a2 l
0 . C' X) f! N& w& n1 t4 ` O& R
2 , u/ f/ J; y! u7 m+ o' V
8 O. n+ l" U1 Q! _- B1 C5 |/ Q( S
)σ ' _# t' i# u0 C5 W
2
) T/ b. u0 A4 F9 ~. v ) D6 ~+ l o8 N% t# E
8 Q& j" p; b7 X: F1 K; ~ , p% C/ V! u: j+ N
9 H7 n. y1 R2 \1 d
6 d2 m% S" C/ _" b5 x& ^
令:
3 T, a# [$ l b# E# b$ s$ o7 w1 q σ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}} ; A" P" B2 F' _( e
σ
4 j7 H8 q% |; B1 k 0
' |! a# t1 A" w1 z# T* C) E 2
+ g w1 L: B' a, {' u
/ U% q) F) Z7 B+ H' g4 z (λ)=1−μ
: h% ^7 l0 l0 J% P4 H 0 3 _: G( _9 J" S% X
2
# G) D" H# u- J- s2 g 0 q3 I6 ~7 V* H d' i L
=1− ; W* t' n7 k* J) z
π
* m; v1 a1 i# U) O7 e+ R3 W 2
8 Y! a y9 Y3 K
. E, s7 @0 [9 E: @8 C: U" m T% m 6 Z. M: R/ K2 c& I9 ?# Q' b5 y
1+λ
1 t: W+ W; M" a. Q, j 2 j/ m5 `/ W# z( ~
! R/ Q/ ?' i6 n5 A. u! B
λ
/ o: Q! t! J6 T0 o 2
* l7 l9 c1 ?+ H2 R% @! [0 `4 Y 8 w0 ^+ K+ y0 \0 x7 Y
( v) S7 Z; s F, W
* M; W) }1 g# x* g , i, b8 {; U1 O9 H- D
b5 U# [2 S- a( r' p+ ^6 M7 d9 y
有: N! i. E' ~$ r; g H. Y
D ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^2
[- _9 s; x+ B% ~* B D(Y)=σ , e' b* _+ k8 J2 o
0 , r8 x8 p) U1 z; c- d. B7 i8 W1 V
2
$ ?+ Y% V& J8 S) w + C% ~5 c Z1 r
(λ)σ
+ u0 Q0 }; r ~& B4 z 2 / L8 i }( `1 U. ?4 m" d6 s# y
8 p9 ]% t: `) M+ S+ n" J# y ) v# G" b7 q' v6 e+ s0 c
, E- J& Y% a: L
注: & d, ^" E1 Z7 q5 A
) |' C0 |' A2 X" t& f
0 Q2 A) X% z) x* S+ b- K 在推导中会把μ 0 ( λ ) \mu_0(\lambda)μ
' b/ K0 A$ D: `: d0 Z+ q 0 / ~) H9 D3 a; \4 o# ~
2 d7 ~8 V( ^ m# Q+ q0 I2 [& O$ o% A
(λ)记为μ 0 . \mu_0.μ
3 l, p: J/ M: p4 d+ ?2 U/ E& m2 q 0
: X* j" p1 J0 O' [
: ]. A& z4 ]4 o6 E; ?8 E, {! g .
+ U$ w0 f$ \; }1 ~: i 在推导中用到K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dtK=∫
2 k) p5 z3 |. A5 l/ L( G- e −∞ & G* Q: W1 N8 ^: [: Q+ ?
+∞ $ ?4 h- d; j' V
6 b: m- I4 ~/ r# h `9 a. h
2t
; W' K& K2 K! e9 d# T$ p5 y 2
, ^! E9 e. c# ]9 `% e ϕ(t)Φ(λt)dt = 1,最后我们补齐证明。
- v" x0 B6 d9 S ^; K# |, T" b U9 B K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ) = 1
$ g( G4 v8 T0 K$ X) A; w& U) i0 H [ K=∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫+\infin−\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1 $ a+ {; r) r! R4 F: ]5 S
K=∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫−\infin+\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1
" H3 `! ~4 L/ H: f) b% z- ?1 ^ K
9 F/ E' s& I4 u6 c 5 I2 G7 b" C" Z9 {7 n; `+ a
" {# I) m, E& P5 [/ F# k& W
=∫
9 |) j) u5 P- @$ N$ Y- B$ J# \6 ` −∞
+ h! t5 A# J& T: z A7 F! @ +∞
& z5 s7 c7 `9 x! a5 p# l! j z y4 i. q2 }' w
2t
' E% w' Y) {- G. V; l% r5 C 2 $ f+ R$ e) P% A7 Y P! r
ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分) 7 D% M' z4 n$ J8 N6 b. Q' I/ Q
=∫
( d+ \* S* r% |$ l0 P9 `9 ~ −∞
4 m6 V3 ?- P" `6 N) v +∞
5 L9 K X m2 p. {/ F2 `
0 N. O* I, O# {; R, I 2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性) 1 F& U, H- y' S: f) l
=1
# Y% q. B) M. v 1 S4 j6 o+ _( h
" q6 P! ]7 y+ s/ W. w % c) E, E( K; E9 h! l! H
" c0 c7 G0 t9 B! ~1 Y5 m4 H
3、不同偏态的偏态分布——R语言 % V# h* E5 N4 q
本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。 5 a9 r' n2 L: j' }/ I& u
( N4 Q9 z; j2 [* S% |+ p g( [ : w7 k& s7 h8 m7 K
3.1 代码
8 u8 O9 F& T U. v# s" h; F library(ggplot2) ! q6 O6 C S4 O" M
nnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){
+ v1 t: k7 \ V8 z* s" l% I- u function(x){
* [8 x- M4 y4 i) O x <- (x - mu)/sigma . i$ P" G. s8 y) g
f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)
0 \2 U8 ?3 P% j" D( l return(f) * {$ \6 D. P/ Y2 X. C( p
}
~9 y& x% s8 H5 c6 _ } , W+ {/ {; e' \) M7 R5 c
plot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
) E u* X" h. H& a, ` plot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
' s$ d+ |% a- J" V3 K plot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T) 3 o+ g% A3 r- A& N4 Q V3 O
plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
; W0 Y' ]2 [% f/ T f% m1 s; J3 i1 d plot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T) # S; F, C7 v* P7 m- R* D6 m
plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)
* {. J5 p5 |8 j+ r4 y9 R# s plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T) 0 }7 ~ C+ f3 i& K
& a9 ?5 x$ g: v2 u
: r6 z4 a* ?- v n2 ] x <- seq(-5,5, 0.01) / g5 ~* o0 V! W* k9 A% A- o
n = length(x)
( s" y5 m# ^" R0 Q9 T; U Lambda <- c(-3:3)
w& n& N4 `- u, }3 ~ Data <- data.frame(
) M3 |3 ^# t8 r, I x = rep(x, 7), . G d. A6 I ^1 A7 L6 s& C
y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x), 2 p. _' d, ]) V: i
nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),
$ S: k" F, a+ K& q z = rep(Lambda, each = n), 4 y, f. q! k- o# ]& @
z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))
' s% x9 S. I* }4 ]9 | )
7 @9 Q7 l5 b7 k' [7 I: A qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line") 0 O6 D" ]8 e. `8 b3 k+ ?1 a
qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line") 9 a; {1 M( |& y9 A
1 1 S; C) x7 C) [3 b# I
2 " k/ t! Z* M/ \$ k- ~
3 - P( W- B! b$ g
4
6 O$ b* k3 K9 U* _2 @$ e7 D9 e5 ] 5
+ S5 q7 [1 Q3 Z' ?6 u 6
1 f( O0 T8 I1 _ g 7 9 E$ L' g8 m7 D
8 ; e- J ^# F6 r& G
9 8 { }. Y) C2 q3 |7 C/ C
10
$ Z! A6 U1 ^% i2 w 11
, g; P+ U& w6 f0 h2 K6 c ? 12 9 B3 y Y' C9 A Z/ b! _2 r
13 ' l5 \8 K# J1 w" J$ t
14 ; S6 c- b- }7 {! w8 ] `
15
8 k* U' ~& g1 I, f 16
) @* Y* q3 r/ k, Y# k, E 17
, H1 w+ [2 m# q& D v' |: u6 h+ ^ 18 4 j5 c+ L" ~6 @5 z7 ~
19
8 W0 F+ L0 d, B" n 20
# g+ E' L6 U, ~8 \2 \+ s2 y 21 0 T( R* k. v' i( `4 `
22
) A2 P4 D" N$ o+ P" [ 23 7 I- O2 v( z; p/ V) r! p( V8 o
24
% G4 b( u- \' i7 T7 Q1 P 25 6 ^3 f; q( Y. I5 q1 l5 B
26
# k. H" g2 c( Y7 i4 ~ 27
8 e P% y+ C; S8 N 28 , y8 w- ]. [. d
3.2不同lambda的偏态分布图
4 m& G: W. ?0 K3 M: U 9 d7 A) R4 v, z0 s: A8 V
3 n% y! j- R9 N. y0 O
2 \' e/ J6 S2 V& e
2 b$ h* B3 u+ t- n2 |
, `; N3 }" m1 ]) H3 y8 e# i. G5 r 3 e9 M4 C8 ^" S+ P$ o
参考文献 * ?; P% A1 ?! o
A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎ 1 n9 Q0 E6 m& Z2 R+ H
5 B! a( k3 @- t) U8 P( ?- D$ a- O: R2 w( O
, g6 E( O3 o8 v https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎
8 z! U5 M: d8 C) z ———————————————— , V* F0 }& n, k) u- X
版权声明:本文为CSDN博主「统计学小王子」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。 - ~4 Y- U; [7 }
原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_46111814/article/details/115607036
1 B, N- [. {) }) h) h( h& Y1 w/ k# w
+ G" ^9 }0 ]0 I5 X, P9 o
2 z m5 I+ u) u8 E
zan