航空公司机组优化排班问题的参照资源

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                     人力资源安排的最优化模型
1 描述
某大学数学系人力资源安排问题是一个整数规划的最优化问题，通过具体分析数学系现有的技术力量和各方面的约束条件，在问题一的求解中，可以列出一天最大直接收益的整数规划，求得最大的直接收益是42860元；而在问题二的求解中，由于教授一个星期只能工作四天，副教授一个星期只能工作五天，在这样的约束条件下，列出一个星期里最大直接收益的整数规划模型，求得其最大直接收益是198720元。

& Y1 ^- Q! A; R  n2 问题概括
数学系的教师资源有限，现有四个项目来源于四个不同的客户，工作的难易程度不一，各项目对有关技术人员的报酬不同。所以：
4 K. S( z% J: N) ~
1.在满足工作要求的情况下，如何分配数学系现有的技术力量，使得其一天的直接收益最大？

2.在教授与副教授工作时间受到约束的条件下，如何分配数学系现有的技术力量，使得其在一个星期里的直接收益最大？
9 X; S+ A- ?* D
8 z! c# g+ j; M4 _$ ~8 ]3 建模过程
' R1 X1 l3 _- M# b1 O3.1 边界说明
" K8 O$ e1 g! `9 J/ D5 j1.不同技术力量的人每天被安排工作的几率是相等的，且相同职称的个人去什么地方工作是随机的；

2.客户除了支付规定的工资额外，在工作期间里，还要支付所有相关的花费（如餐费，车费等）；
% |6 F/ x) @4 u1 @2 G" n* D
+ ~3 z' r7 A) w% S! G+ E3.当天工作当天完成．

. |) _( A, L5 `6 e. ]& U3.2 符号约定



3.3 分析
由题意可知各项目对不同职称人员人数都有不同的限制和要求．对客户来说质量保证是关键，而教授相对稀缺，因此各项目对教授的配备有不能少于一定数目的限制．其中由于项目技术要求较高，助教不能参加．而两项目主要工作是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支．
+ W4 }1 g: V8 Q% i6 Q' r
由以上分析可得：最大直接收益=总收益－技术人员工资－、两地保管费．
; p5 k9 m: j4 l4 J3 q
) c# V4 O1 H) G" n2 g3.4 模型建立
* L3 k7 x$ k3 @+ L  }, n



' R& ~  }' J7 O2 D+ X) ~
& o+ y1 O- d! v0 @0 \( {1 Y9 j
, A* `2 w1 J1 @4 R2 l
/ t8 I0 u9 V. g6 o2 v9 }/ k: b
3.5 模型求解

相关数据表格如下：
数学系的职称结构及工资情况

* f" [* t  O! M  @' b9 s


4 模型评价与推广
' `# b6 s' y# \  u7 t/ G8 D本模型通过合理的假设，充分考虑各方面的限制条件，得出的人员安排和直接收益
2 T6 W1 V3 I. Y3 t2 v, f. m; Y
都是本模型的最优解与最优值，对武汉大学数学系的人力资源安排有一定的指导作用。但从模型假设中，我们可以知道对数
1 \# Z( v0 g) P
  m, ~5 k0 c# P) i0 C学系现有的技术力量的安排是随机的，在相同工作时段里，可能会出现部分人工作次数较多，而部分人较少的不公平情况。

所以在满足工作需求的情况下，分配工作时应该要人为地尽量使得每个人的工作次数不要相差太远，或者相等。
2 k- O) d- u7 D% r
此模型通过对人力资源的调配，从量化的角度得出数学系的最大直接收益。利用此模型的方法可以求出所有类似本模型的线性规划模型。但是，本模型只是单目标的规划，可以在此基础上，增加目标要求。如在数学系的直接收益尽可能大的基础上，使得客户所花费的资金最少，等等。从而建立多目标规划模型。解决更为复杂的实际问题。

4 ]1 |4 [4 U2 I. n9 L- K2 S+ s3 M5 实现代码
f=[-1000;-800;-550;-450;-1500;-800;-650;-550;-1300;-900;-650;-350;-1000;-800;-650;-450];
$ N9 D8 w  S! i- W0 A: ?" q# {: T0 HA=zeros(9,16);
for i=1:1
* B4 Z* n2 N+ J- m+ z( {( [   for j=1:16
      A(i,j)=1;
   end
8 A! E$ L& g1 B7 y$ z* U; Zend
for i=2:5
   for j=i-1:4:11+i
4 j$ q% O% N! N) O& G      A(i,j)=1;
   end
end
i0=0;
for i=6:9
   for j=i0+1i-5 )*4
1 \# i; N8 ^) l% y* s      A(i,j)=1;
1 d  T, n# L! M5 u8 H   end
   i0=j;
, a5 n: e. N" j* T( @5 p5 jend
b=[64;17;20;15;18;12;25;17;10];
4 w, A% }1 e! D& F# xAeq=zeros(1,16);
1 W% Y' y0 e! w8 v# B' e* DAeq(1,3)=1;
7 ]0 E9 I% l) q2 Dbeq=[2];
  w! E' @( X" MLB=[1;2;2;1;2;2;2;2;2;2;2;1;1;3;1;0];
* f5 b8 K$ o5 U8 v+ {UB=[3;5;2;2;inf;inf;inf;8;inf;inf;inf;inf;inf;inf;inf;0];
( ]1 T0 P1 ?+ B# I- a. D[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
% X  i: ?0 [; o' w

5 k. g" }  R8 [, d
f=[-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-950;-950;-950;-950;-950;-950;-950;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-850;-850;-850;-850;-850;-850;-850;-750;-750;-750;-750;-750;-750;-750;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-700;-700;-700;-700;-700;-700;-700;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-500;-500;-500;-500;-500;-500;-500;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-350;-350;-350;-350;-350;-350;-350;-450;-450;-450;-450;-450;-450;-450];
A=zeros(60,112);
( E. }& `( q; K, |- Mfor i=1;1
   for j=1:112
( z! E* _2 R1 k' i  H2 W1 v$ s      A(i,j)=1;
   end
end
4 q- d) j- G" C( Bi0=0;
for i=2:4
3 b' c/ o% |8 N# K" [( f  W   for j=i0+1i-1)*28
      A(i,j)=1;
   end
   i0=j;
end
# k- \! r. b" h8 e# P) efor i=5:32
: Q& L: a$ l3 G$ h9 ~- K   for j=(i-4):28:80+i
9 X( m5 ?% G# b6 U# [' R' K% u5 @" M      A(i,j)=1;
  q$ z6 x# y; t   end
1 b# `; G( x( `. u  s9 B4 Jend
7 S$ q8 Y6 \) vfor i=33:39
   for j= i-32:7i-11)
3 n2 @7 q# S0 J- T      A(i,j)=1;
. V( u, D, t  r/ b! J   end
- s+ h( w6 h% i, N8 `$ J, o' rend
+ Z% V  ]% g( u( L; x' cj0=j;
  M0 C4 }* m. L5 {( k& V) _for i=40:46
! n" D$ p5 Z& m, F1 m   for j=j0+(i-39):7i-18)+j0
* w; w9 ^+ Y; c& P8 R+ m      A(i,j)=1;
5 k. ~  e' q  W: p   end
: f9 S/ G# f3 s% ^! Iend
j0=j;
for i=47:53
   for j=j0+(i-46):7:j0+(i-25)
. ?) J3 l2 f  n      A(i,j)=1;
( h8 V% m: A' N# {6 x* g" t   end
end
j0=j;
for i=54:60
* }7 C/ I8 S3 V   for j=j0+(i-53):7:j0+(i-32)
      A(i,j)=1;
# ^1 c7 @" P" V) B3 K1 [( d9 U( E   end
' e, `2 O, N$ }! H4 yend
b=[362;48;125;119;17;17;17;17;17;17;17;20;20;20;20;20;20;20;15;15;15;15;15;15;15;18;18;18;18;18;18;18;12;12;12;12;12;12;12;25;25;25;25;25;25;25;17;17;17;17;17;17;17;10;10;10;10;10;10;10];
UB=[3;3;3;3;3;3;3;5;5;5;5;5;5;5;3;3;3;3;3;3;3;2;2;2;2;2;2;2;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;8;8;8;8;8;8;8;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;0;0;0;0;0;0;0];
( g, i2 T! I- U( ?  S3 f& d+ g" JLB=[1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;3;3;3;3;3;3;3;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0];
Aeq=zeros(7,112);
for i=1:7
   Aeq(i,i+14)=1;
3 A& Y6 W8 q% @8 oend
, O! v% c8 i0 _beq=[2;2;2;2;2;2;2];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
; ]* R# ?+ Y; b" S

7 P) S' E$ @: s7 N
, Q0 d9 @9 x% e- K" [
& b7 w0 {" T  {