航空公司机组优化排班问题的参照资源

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                     人力资源安排的最优化模型
8 c7 n% ~! U6 |2 M0 J1 描述
+ M5 N2 X8 b& ]某大学数学系人力资源安排问题是一个整数规划的最优化问题，通过具体分析数学系现有的技术力量和各方面的约束条件，在问题一的求解中，可以列出一天最大直接收益的整数规划，求得最大的直接收益是42860元；而在问题二的求解中，由于教授一个星期只能工作四天，副教授一个星期只能工作五天，在这样的约束条件下，列出一个星期里最大直接收益的整数规划模型，求得其最大直接收益是198720元。
) R$ |4 f: J2 [8 u
2 问题概括
4 d: l% D1 o& l4 a数学系的教师资源有限，现有四个项目来源于四个不同的客户，工作的难易程度不一，各项目对有关技术人员的报酬不同。所以：
* D* n$ l  i% I
& c6 M( J0 M' D) U, v1.在满足工作要求的情况下，如何分配数学系现有的技术力量，使得其一天的直接收益最大？

2.在教授与副教授工作时间受到约束的条件下，如何分配数学系现有的技术力量，使得其在一个星期里的直接收益最大？
5 I' M  O. C3 T- X! O- V
3 建模过程
/ z1 p: n' i- k4 U/ o6 F% k3.1 边界说明
" Z0 v* ^7 L% K$ f  L2 p. F, n. Q9 l1.不同技术力量的人每天被安排工作的几率是相等的，且相同职称的个人去什么地方工作是随机的；

$ K$ I9 ]' a# K$ }2.客户除了支付规定的工资额外，在工作期间里，还要支付所有相关的花费（如餐费，车费等）；
2 Z+ J, X( T, R0 @) i  X
+ y9 e& N# I  w, g- n$ e9 q3.当天工作当天完成．
$ h# z1 b/ Y$ j1 H) u* g5 n5 X( y
3.2 符号约定

) S7 H; y1 B) i) r# {0 @  D8 y) a
' \# C) _& U. i0 _! {
+ a6 Q/ g# m! \9 F3.3 分析
由题意可知各项目对不同职称人员人数都有不同的限制和要求．对客户来说质量保证是关键，而教授相对稀缺，因此各项目对教授的配备有不能少于一定数目的限制．其中由于项目技术要求较高，助教不能参加．而两项目主要工作是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支．
3 y, |, ~! J  e2 S
! K7 H& b9 p8 q$ A% u由以上分析可得：最大直接收益=总收益－技术人员工资－、两地保管费．

3.4 模型建立
* m7 U. P1 L8 b0 g6 G" q* r. c
6 y5 ^0 Q9 I5 E0 f6 z! }

0 u% \% K$ e; H; x0 J5 H' I


( x3 |5 g8 d" O1 [! @

, B7 \" ^2 E' J2 k9 P+ g3.5 模型求解

相关数据表格如下：
  c, p; O& V6 l* Z/ K# S7 y0 d7 ^. C数学系的职称结构及工资情况

# t! q$ [7 r* ?' K* z4 M
6 h, ^; P& Y8 `3 T, u0 v* W7 Z% ^

4 模型评价与推广
本模型通过合理的假设，充分考虑各方面的限制条件，得出的人员安排和直接收益
2 N8 h! ?  M8 V
! v; s  S3 M" X8 ~/ M' D都是本模型的最优解与最优值，对武汉大学数学系的人力资源安排有一定的指导作用。但从模型假设中，我们可以知道对数

- L! `, N* k( x) N学系现有的技术力量的安排是随机的，在相同工作时段里，可能会出现部分人工作次数较多，而部分人较少的不公平情况。
! l$ |- I  N1 L9 K% p3 b9 H
所以在满足工作需求的情况下，分配工作时应该要人为地尽量使得每个人的工作次数不要相差太远，或者相等。

1 m1 l8 h! |" @7 e9 `& ~此模型通过对人力资源的调配，从量化的角度得出数学系的最大直接收益。利用此模型的方法可以求出所有类似本模型的线性规划模型。但是，本模型只是单目标的规划，可以在此基础上，增加目标要求。如在数学系的直接收益尽可能大的基础上，使得客户所花费的资金最少，等等。从而建立多目标规划模型。解决更为复杂的实际问题。
* w5 G  _; c1 o- z7 G4 n1 s
' _0 {* R$ c5 o, u. E5 实现代码
+ y8 q6 f4 X8 ~; \& J# O/ s/ U1 Qf=[-1000;-800;-550;-450;-1500;-800;-650;-550;-1300;-900;-650;-350;-1000;-800;-650;-450];
A=zeros(9,16);
for i=1:1
. l0 M% l7 t; ?$ q, _* L( Y   for j=1:16
7 J& Y+ Y; Z! b: U      A(i,j)=1;
: p9 ~3 |* [' O! p   end
end
for i=2:5
- A, r7 G/ l+ M: n( E   for j=i-1:4:11+i
      A(i,j)=1;
   end
end
i0=0;
) n) c. K; n; L! t# [$ pfor i=6:9
0 }2 Y  @; }. q6 W0 C% C& U3 {   for j=i0+1i-5 )*4
- H% v7 c9 g) J% \6 P! x      A(i,j)=1;
  V+ f4 ?2 s9 Z- g" D   end
/ N" f4 q/ ?) X3 O* j; W% h   i0=j;
" O( u7 z( G+ Dend
b=[64;17;20;15;18;12;25;17;10];
Aeq=zeros(1,16);
2 s3 i  `/ y4 Y% H8 o" I+ X' r# vAeq(1,3)=1;
beq=[2];
LB=[1;2;2;1;2;2;2;2;2;2;2;1;1;3;1;0];
UB=[3;5;2;2;inf;inf;inf;8;inf;inf;inf;inf;inf;inf;inf;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
$ Q! A% `' a6 A
+ n0 J2 i% |' j; e

f=[-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-950;-950;-950;-950;-950;-950;-950;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-850;-850;-850;-850;-850;-850;-850;-750;-750;-750;-750;-750;-750;-750;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-700;-700;-700;-700;-700;-700;-700;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-500;-500;-500;-500;-500;-500;-500;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-350;-350;-350;-350;-350;-350;-350;-450;-450;-450;-450;-450;-450;-450];
$ A! s$ T4 g; X6 G+ mA=zeros(60,112);
3 g. o4 g9 A6 |, ]4 Gfor i=1;1
   for j=1:112
3 e  l$ b. I# ?: B$ z, s      A(i,j)=1;
   end
end
i0=0;
( s5 G; g2 i4 dfor i=2:4
   for j=i0+1i-1)*28
. Y+ {4 e5 j0 m9 m5 u' y9 N0 ?      A(i,j)=1;
) @( ~0 `6 T+ d   end
& {& d: i  \2 u/ m   i0=j;
end
, x! D& [6 a$ m; K1 O; F2 Q/ @for i=5:32
, i9 _6 A* Q# n) v( W2 A6 B   for j=(i-4):28:80+i
      A(i,j)=1;
$ z7 Z  V* Y7 @2 q2 D) s   end
$ L8 q0 C7 w3 v1 zend
1 O$ [! K+ Y1 t: W  s8 Qfor i=33:39
6 C: c1 H( T$ I4 B   for j= i-32:7i-11)
* |( H  @5 L( c8 a; \" a      A(i,j)=1;
/ ]8 ?/ e) ]6 P4 A0 p% q   end
end
j0=j;
for i=40:46
/ x. z9 ]5 ]" a: ]2 S   for j=j0+(i-39):7i-18)+j0
, p# j  X4 j- I8 |3 K" s) A      A(i,j)=1;
   end
end
3 w9 o/ t* S9 q0 R2 L9 ]( C, y$ xj0=j;
" k. u' P8 B' l" Vfor i=47:53
   for j=j0+(i-46):7:j0+(i-25)
      A(i,j)=1;
   end
; q- r& A( H3 J* T/ Bend
j0=j;
for i=54:60
$ \! V+ s9 H. ?8 F   for j=j0+(i-53):7:j0+(i-32)
      A(i,j)=1;
6 W  l7 x% N1 c/ z8 E   end
end
. m/ K! |4 j( N7 ab=[362;48;125;119;17;17;17;17;17;17;17;20;20;20;20;20;20;20;15;15;15;15;15;15;15;18;18;18;18;18;18;18;12;12;12;12;12;12;12;25;25;25;25;25;25;25;17;17;17;17;17;17;17;10;10;10;10;10;10;10];
" A- w' N+ J: A+ @: {" k" [UB=[3;3;3;3;3;3;3;5;5;5;5;5;5;5;3;3;3;3;3;3;3;2;2;2;2;2;2;2;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;8;8;8;8;8;8;8;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;0;0;0;0;0;0;0];
$ F0 I' ^: z% R1 d4 e+ m1 QLB=[1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;3;3;3;3;3;3;3;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0];
' }3 v" a9 w! q6 o% }Aeq=zeros(7,112);
for i=1:7
   Aeq(i,i+14)=1;
end
8 @: c4 A) ^0 a) b' vbeq=[2;2;2;2;2;2;2];
" W' w2 t) N3 Z0 ~[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
/ k3 `0 p; e2 x5 s$ Z0 C- ^) h
4 _) ^% ~; J$ A7 W6 N0 B8 f8 T


7 z) l- I9 ~! r