线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
4 P, o* `7 e* M: K- H
) G6 h$ w8 j& G* ?5 V  a                                         
4 d: Z1 R& z; {! ]1 @          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
3 N  H" K4 P2 q2 h. A" d9 ?
例题：
( H" z9 \, M$ x1 A4 `. o$ @( M, p
  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
% \& p4 E4 H0 R' [
解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
! @6 W  _5 }; k9 @$ o3 t

$ p( I& H" M& P( e' W5 _( ~将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：
' B( A4 `* U, z% g$ a
  f! R3 ~# z0 D& M可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
0 b# t* K& n9 F' \: [clc;clear                                %清空数据防止干扰
9 C9 {2 D+ j$ `  Wf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
5 i5 r( x5 j$ y- Q( q3 r3 A    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
  J! e! ~& N- D* \, `    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
' @! @5 `" s0 ?    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
9 r" \# X2 R$ x* y" _    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
/ g# B# Y/ R* ybeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
% w- K. B+ T' Cx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85

1 J8 t. @/ ^4 x& V
; ~8 e: l9 K2 a; G, u
# k1 j; [4 W$ E7 k