线性规划——运输问题（产销平衡）

1047521767

运输问题（产销平衡）
. o+ D- @3 j( ~" F7 z6 W- p  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

                                         
+ e  `0 C. j  U& W          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
) b1 o9 }9 t/ _! h1 Y
* j) g5 V& @: W0 i例题：

  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：


# k! ]' T- J5 l6 H. l3 Z将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
$ q+ N' O* M, ?' U, I# E0 f0 \. e% _9 {
" v5 d8 k. R4 m# G" K/ ]然后将已知约束关系整理如下：
% s9 {. {- c! C2 p% D+ L. u0 a
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
! m( p( V; a4 v+ L$ U! ]8 _f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
7 u. [8 [& {  C7 v& |" y; H$ J9 i    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
5 w1 W' d. ~/ E( ^! x1 e1 ]    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
" C' [% E2 A& Z( j. H  vbeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
# G4 d, L( q( q7 @% {[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
% {% T) U  I4 g% A  z0 Z% Qx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85
* j# o% m' K2 i9 _


* G6 z4 L7 Y0 W3 z1 O