二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
( j2 E3 H( ?2 b9 x# Z7 [" x
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
1 u  f5 X$ }& E% f    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
! b9 d+ @4 N8 a9 U$ M$ z* r5 w: i    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
  R; K2 b  S0 G7 G    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
5 ]4 }: s* M4 t) p  _
, m9 P: U, d2 x1 f# `0 A9 t: S# V  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

) r  Y. R' H3 j! M1 V  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
" K& `2 q) D9 [6 d, q8 C2 N' @" X   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
7 H  q4 k4 ]8 _; A   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
2 G( w+ _) ~# @* U/ F" r) `8 y   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
4 v# q5 l( ?1 W
  .
! i$ b1 u1 h, K3 f4 d6 m# s  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
7 ?5 B+ Q0 M. G7 T+ q4 r    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
$ T- \( m$ m0 t; P   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
' w" O  }' J& P2 h' {" a4 m      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
" O, U% j/ O% X; d      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
! \/ }. P1 y; k; e, y  a; S/ T  U" t! Z      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
3 H/ X6 C, G8 V7 L% h' H* B
二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
" y9 z2 j& c& R" M; ?' C   例2: n=299=4*75-1
' T! i$ G: r2 k. }. V- Z9 E$ n2 N7 R      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
, v1 q% X/ C1 h: m6 Q9 H, k: ^7 O     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
/ |$ U+ E9 \* C/ x. w5 \     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
( ^+ D+ ~4 B1 F4 h% d3 C     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
8 l+ u% C* F' I4 B; X& E     
7 ~6 x% h3 S- a) F1 {' _' J0 j     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
! g1 f: B3 T# }. y7 K     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

' W. g! A8 v4 t* z! X6 k& G   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
: U8 l9 A/ n7 M: @. Z9 w
三、1/j (j >=3)的计算方法
9 h9 t, |9 L, Q  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
$ x4 [# Y4 K+ \" g9 t
   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
7 s4 V1 E0 l: n- v  A    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
* M6 F& Z! U4 S    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
6 g) ~6 Z; O* V0 g    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
7 U, ~" H$ b9 l+ ^
    按m/j , (3-1)式变成:
, s  J8 C' U8 r: h+ C    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

  N& u9 d# i& u7 E  T6 o   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
  s- \1 b- b8 z8 K( C   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
( a  V) [2 h6 J# r1 T' u- L5 Q' ?: e   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
/ f, G: }) k, `5 o* G   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
  B" M' y/ I8 Q  P   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
' y3 Q/ S' i3 f2 x0 `! I
3 D7 S- V! y& f4 b8 w' m   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
; U# f/ [* d/ r) D( x    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

8 l5 t- o2 T- C# Z# W' \