二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

* q) v9 P' T- }  F6 H2 P 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

7 N+ t, _+ B$ V$ ~" {/ u    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
& i) U3 k% R8 O1 I2 v& }    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
% D' @- B/ f. A! P/ W    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
, R2 V6 X5 j5 n% o" {
3 P5 C) {! H: E$ b& s( D" G  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
/ _, t9 Z8 _% a* E0 b  `4 ?   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
: r' Z5 g4 r; I' s8 W6 I    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
' }2 t8 P  S  [% P; U0 P' ]      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
# z' f$ w! B$ E1 H9 U8 l      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
* q- I, V* i# a8 a+ `) l' c      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
) G* j5 n6 z( z6 r
二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
4 |* t. w' e' Z; n" N      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
+ [# Z3 y+ j5 w$ b     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
! N; m/ Z" }  A; H, p' U4 |5 n     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
/ c# {) x( k% g* w: M; f     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
* z% g' v) n) O
   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
" b3 S- l0 R) ?' L' [      a^2 ≡ b (mod n)  =>
' E3 d: K7 ]2 d1 B# \8 p     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
4 M  j+ |. D; L) N2 X& S) `     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
8 Q) A  p5 Q: _' ?2 `: ^% n     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
  c' m9 D6 u0 @: C( q. e
   2、分解方法的另一个解释
9 o+ e$ ]4 P* N, U- v    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
, {+ w5 I5 e1 b( z( a     ① n=4k+1 , 2-1式得：
/ X$ J, _: _( O     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

* h! ~% x; w3 b4 A/ v/ {   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
# u5 G2 U2 s' ?4 E   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
4 |* S/ @( U6 W8 ^  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
7 U0 h( V5 o# _* B/ F" ^$ r# R' q    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
# z- ~/ l0 }0 f
0 W! o  B+ K4 y* R3 P   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
5 W8 Q, k0 I! o! n   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
0 n$ r  Z( G9 l* v3 k   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
' `9 k! J) H9 ?% k   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
; \! x7 E4 M; z; P: }   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
- \3 o* w9 G5 V1 d  X0 e0 }  J
  F2 l0 n) l1 `2 `. F   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
/ K2 l8 i8 I3 n0 }# ~5 R# ^    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
( H# U) u  T% l/ e' U( d8 k1 H  X  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

: z5 X" f) H1 T  U