一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
5 N5 L* j/ G, d* d: q设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
, Q& K* e9 _: B# {" y( S; d  q1*r2≡q2 (mod n)
7 h4 @8 s- ^. s+ r6 `" H  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
7 M0 J1 X. Q8 x7 \6 z   .
1 k9 H, ?; Q8 \3 g2 P  .
) Y( l, |" x' v0 o8 ~$ P  qm-1*rm≡qm (mod n)
+ \  O+ a  A7 \7 V. q2 }- T 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
- W  G. R- x6 G5 {* N8 @  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
5 b1 f0 L6 x) x  z7 a5 I/ A& H  U  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
8 ^* \% Z0 J+ ^$ A: \7 K0 V3 i     -2*-150≡1 (mod 299)
' h7 W  p$ a' E# R# P8 t/ s6 o* _  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
/ W9 n# Z1 f+ v- q' Y( \% A 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
* `8 O( @6 g/ [- R. Q0 z  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
4 A, ?' q, h/ n3 N$ Q( P  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
3 }2 u1 K4 n1 \5 w( S1 z  9  goto 3