一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
" H% f: l) a8 ]  ], S# b  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
! n" y0 F( W* w8 c0 W  q2*r3≡q3 (mod n)
/ W" h/ K6 q' o6 t0 d" q   .
2 j2 X1 |( M' ^2 Z- j   .
8 _$ P4 \8 a6 n) r: U3 M  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
- `% r' ?1 n: _- z; d  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
- e8 h+ a* L  |" X1 u     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
5 V  z6 W* B4 ]* g" t9 A- Q2 ]     28*-22≡-1 (mod 299)
1 U( T- W1 s& Y/ b( B8 a& k5 P" e  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
; U- b, b; p/ `% [: f; S 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
: ?& L7 V3 P, w  u; n: I* v  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
$ k. v3 F# ?/ \2 |7 ?- ~4 ~  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
7 w. W6 b8 [8 y: y- v4 y  g" M
6 ~' M" {0 s5 W+ L% J