一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
7 S' U1 E6 ~2 a. q! P7 [设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
/ P2 f1 u( N# o$ [4 }  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
9 Z. l4 E/ v) U8 b# {0 ^  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
0 \0 L0 P# D2 |$ R$ O  .
" `) q6 o/ Y# X" w* c! @  qm-1*rm≡qm (mod n)
$ w8 l$ y9 v1 i7 u, ~* m$ ~8 z& i9 l' ^ 上述等式相乘，得：
3 u0 b/ s2 D6 @; K/ k$ J* M  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
: V( a$ [! s8 U6 o* x+ n& \  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
5 W  L7 X& Y, |3 a/ `9 E. a# K7 c9 Z   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
# U$ s1 e3 T8 {( ?5 @" I1 k5 n   则 qm=±1
: S" D- o3 h8 }. c' `$ f4 i9 T  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
9 f  K- M- y6 G; y- |9 k4 \* M/ o/ i     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
3 `6 b) U8 m0 S     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
1 Z0 X% ]( P- Y) ?/ p; c  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
# ]. E; t+ j1 y( @. P  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
1 r3 M- q0 E' h" ~0 C3 G  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
2 \* u0 T4 c3 w5 r( l9 j4 I) F  5  resulte=(resulte*r)%n   
2 A) p9 e% z! V3 `+ a  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
9 a0 A0 L! A/ ^5 u: w/ ~' p3 E  8  a=q
9 U  k9 _; v' L5 V  9  goto 3