一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
/ W" b1 y/ t/ q+ m  a*r1≡q1 (mod n)
$ }3 E/ h5 i$ w2 \  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
  A+ t9 r4 m1 v0 a! B7 I   .
  .
4 J4 F0 j8 n7 Q- z# P  ?  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
! B2 u5 c' F3 ^& R1 G  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
; A4 H! W$ _4 `! h  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
3 r: \# T7 q* K$ p6 R2 [  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
% y! d5 ?* X+ P0 c3 V   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
3 ^; o5 }6 V! p2 _9 H4 t   则 qm=±1
; S) R+ T0 n3 |' Z  即 a与q1*q2*...*qm互逆
7 _; x# r  C. D+ k( }8 x8 [  例 求28在299的逆
% C) h' o  `7 k) D     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
: `. D" X. i, _& j8 x$ v1 [  [  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
8 D) @. ^7 |% v 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
& h- j1 I  \7 T2 z  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
9 S( u# V$ L9 S% F5 c  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
0 h; @- c0 ?( Y6 [: k- o  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
- G' y) z% A3 X; Y4 z  9  goto 3

. y  f$ ~# t: M  L+ J# o