定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
1 i$ ^; F( d6 M) p[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
这个方法的迭代公式如下：
" |; E( Y" S: b- _[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
0 [& S, g# V5 L[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
% q# i7 ~. `* ^1 Y1 r6 o: i[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
+ o( L6 }  {. V' Y" k1 w4 a; n其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m
   ' E4 O7 Y5 i, o3 c* t' M! a
2. 
   ' Z) k& A# G( G+ d
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
   ' [9 F4 y& O7 _( I6 J
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');  x% t* }0 p  E0 p6 H
   
5.    disp('function z=f(x,y)');5 v/ V! w' t4 O; N0 U8 Z2 g6 A
   
6.    disp('z=y-2*x/y;');
   # t( z8 Q# T/ W, B
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');3 j1 ]9 o+ T6 Y/ D
   
8. end
   * ?+ a% r7 H2 Q4 G
9. 
   $ V( q( f8 v, N1 t2 f
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    3 z  F! y; }0 I' f. m
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');
    : k' c9 J2 p6 `+ w  k4 w  E) a
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
      t$ |+ z' ]1 n% c& g1 c2 R
13. h=input('请输入求解步长h=');+ A; E& o' P1 X5 q& Z/ e* Y
    
14. 4 P4 L6 ~1 ^8 K( P& c4 c3 }
    
15. X=X1;
    6 `9 g+ f8 ?- w, T9 G6 Q
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    ' d6 K& x\" r/ N1 `
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零4 N% h' ^/ m8 \1 z9 k' Q) X
    
18. 
    9 t6 u3 L1 M- e0 X
19. while X<=Xn-h
      J7 }4 i2 z& t( h) Z4 Y- g
20.     K1=f(X,Y);
    1 J6 U5 V+ L* F+ P
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);
    6 c# t0 R3 X3 K8 u; M
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    . [$ o1 ]* L, Y0 g! J2 ?
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);
    1 ^0 h* Q# C7 E  d
24.     X=X+h;
    3 d( C5 }* U\" ]4 B\" M% j
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
      @9 V, P( X3 ~- d) d8 E
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
      {  F$ w- ^# ?/ j- H( d2 |! s) v
27. 
    % S* v& c5 e6 ~, _
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);
    + r1 B/ q* }4 |  A
29.     plot(X,Y,'o')
    ! C0 Y- Q0 t$ U8 f) S
30.     hold on1 C! m+ J1 q1 U! m, ]% b7 V% F
    
31. end

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1. function z=f(x,y)* v\" o% B  E$ k
   
2. z=y-2*x/y;

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