自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
- c, D! ]% L5 [% h1 L函数的主要步骤如下：
  x* a' c. ]) Y( B( q7 ~9 Q6 s
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
, T! J. l+ R) y7 [- v
* z. w  B, X" _, ^: s这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   ! o3 \( Y\" A9 ~\" q) _( g, g3 |
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ' o* ?! T+ a, c) l# p/ p1 Y# t
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   3 h  b4 g8 T( M; |8 b7 F9 h# |
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   ( W8 Y6 y5 @1 {
5. & U8 b: F% ?5 y
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解& `/ v  r2 ^. Z. Q* z
   
7. k1=f(x1,y1);
   ' G) b4 @\" y& K2 g  N2 B
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   7 g7 e1 e& O8 ]. v$ J\" }
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   2 F  m2 i3 N) i5 q; `, y
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    % l0 G! l  ]6 \5 m: m0 a. }6 o
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    % B, U$ b$ Z2 s! {( o
12. . S: j- c\" v$ x
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解% ], ^- f, e( t$ g' s  X
    
14. h=h/2;
    $ U8 `: z9 b- ]
15. 
      h) M) D; P1 V$ E
16. for i=1:2/ ~% I: K6 g4 L/ [
    
17. k1=f(u1,v1);
    6 m+ l: n0 `5 [9 L6 ^
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);' x; {& r/ v, R+ g* g- f! o6 P) ^
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);  d) q4 ^) G/ w# o
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);* D$ l% b+ s- I7 w; t
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    $ q5 `3 Y5 K6 f$ Z
22. u2=u1+h;
    # z( b. E/ L; i4 N
23. u1=u2;) l0 G2 b1 ]% O7 e
    
24. v1=v2;. C# n$ v3 A+ |, W
    
25. end2 C/ W/ f. Q; t/ Z3 L3 \4 n
    
26. 5 V! i3 ~9 x7 v$ A/ q# D( X# a: y
    
27. err=abs(y2-v2)/ b+ G# l5 l) |; F
    
28. % e- s: Y' d. Z0 N7 ]7 h
    

复制代码

$ K; C8 L: z: h9 K( n5 R. {