自适应步长的龙格库塔算法

2744557306

这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
" ^5 R& @# H! B) K1 v. G函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
4 q: |+ R' G- w+ `6 w. C0 i' d函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
; {" M( q6 m: u' m- h) F  T函数的主要步骤如下：
/ W" c& ?& r* n3 t' _- H
4 l# x# y& o1 Q) Y1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
; N: P# O% W) k; a8 {6 G3 b3.将步长 h 更新为 h/2。
" h( R! j& L# q* w4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
) j# B% U9 U( J& H( N' L1 O
, G1 W: `" b0 a& H6 Q这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   , P' F2 k\" E5 T7 ?) W+ Z; F
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) + K8 E3 Q0 m9 d! i- E3 |' y, e
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   ; `3 v: s4 g' ]2 o
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   # u3 v6 L0 {5 K7 }9 r9 \# r
5. 
   8 w$ c' E8 m# ~9 z+ q# x
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   , ^  \6 L1 ^5 h* z7 J* d* o& \
7. k1=f(x1,y1);
   0 j$ L4 c! j* R/ D- h
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);2 b/ r  n9 F7 K+ W0 u9 D7 Y
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);5 F- }\" S+ t+ q# O( i7 B/ f' @
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);3 N, N2 @) z: k1 `9 p7 a# B
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;3 n4 P4 g* U1 v' F- Q4 p
    
12. 
    3 y% b. P9 D+ H+ b& D
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解6 ~5 w0 }' y; o( e( c9 E
    
14. h=h/2;* I# n- b* l: k# I0 N, _6 L\" g
    
15. - h- P3 W, A/ w; F% m\" Y; u' \; w
    
16. for i=1:27 Q* ?/ X+ G. D- g% n  {
    
17. k1=f(u1,v1);
    ; h# `\" i4 x3 A3 L3 ?9 Z$ \, `
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);$ F; s& Z4 q  M9 J5 ?0 X! Y: [
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    . h- S5 y6 p& o: ^& ?\" K8 @  L/ G
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    . M% e8 M7 q; o! d
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    6 Y) A( e6 W: Q- _# d8 }
22. u2=u1+h;\" W2 K0 e+ Y/ `  k- L- U; Y
    
23. u1=u2;  ^/ t% ]# J9 k7 S- E/ K
    
24. v1=v2;
    . M0 r- J) E3 n8 Q! s
25. end7 q! L7 {, ?; ]5 G* O
    
26. . j4 d2 g3 P$ s1 N; _
    
27. err=abs(y2-v2)4 e, y) Q% O: W/ W
    
28. 
    - x4 q2 {5 R) g* I\" J# O* G1 {: [

复制代码

7 {- H) t" R" S6 ]) H1 c