自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
9 b2 z9 S+ K8 g" z
& t" J: r7 h% T& M! }5 }1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
+ X! d  d2 d, r* J2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3 J  `& {' p) g3.将步长 h 更新为 h/2。
" D4 f/ x8 w& X2 P4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
( a! r9 o; o2 l1 s: M5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
. ~$ t* e# T) Z' F% u7 i
* P8 Y) P% R& C, e这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   \" B+ |' P: H+ H5 z
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   # Z% R: Q& M& o/ E( f) y8 Y
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   . h+ ]( w\" S4 _
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用\" q3 V+ f, v\" g# A; W0 ?
   
5. 
   ( u$ I$ c! V$ c
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   ( j: ]# ^2 Q% {
7. k1=f(x1,y1);' i( q5 |9 _' A) R4 K' N3 H9 s
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ; F- G0 {% G4 t% t* a1 M4 P* v
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   7 B( Q. O% Z3 t/ Y7 X$ Y4 E( N- o9 J
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);, G, }3 G) r4 w. e( s
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    9 i4 F5 n2 A0 J  i2 S/ Z8 A
12. 5 H# g4 g1 K# ], d- X
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解8 o  I. [& @& X# b+ }
    
14. h=h/2;; g/ a. G6 g- d$ L
    
15. 
    / ~! H2 v  R. F. U1 l, q/ m4 |
16. for i=1:2
    \" z# j0 i5 a# K, }
17. k1=f(u1,v1);2 S% Z\" z5 [) G. {
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    . k% Z; J2 ^$ @- T7 L8 a
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);: v$ g5 O1 W- h4 K. N  F
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    0 @0 B$ H) C, o% P: W
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    6 N' K  p- O; s
22. u2=u1+h;+ I0 e6 t; ]6 T/ n* B9 n% f% |
    
23. u1=u2;
    2 L' e. @; l\" Z6 p
24. v1=v2;* m# q# J5 p- n+ m& V\" ]
    
25. end8 V  J2 w1 L. n3 w, z+ q* r0 J
    
26. 
    2 M2 a; p, E* t
27. err=abs(y2-v2)
    \" I' V8 k1 ]\" }7 V) p/ I/ W
28. 
    7 C5 s% @3 c! S: W4 ]0 n: I

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