自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
: v( O' ?; G5 m9 Q% q函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
7 P+ a+ d+ }; G' S. M
0 z. w+ X( D( L7 N1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
7 W5 N! q0 p: w) ^( d2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
: X1 V" f- p, d* }7 d+ g3.将步长 h 更新为 h/2。
1 x& s) g6 b: q4 j2 l) }# k4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
- n5 A/ X2 _2 \2 p3 R& [5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

5 @" n, c5 q; S5 k1 \, e' R这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   \" S6 g# ]! ^9 O! t$ \$ W
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   8 @, e3 U6 W7 v- F( X. N
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   7 G  V. v7 m* l\" F7 n1 T- I
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用! Z  ^0 b8 L& y, G
   
5. * v# m7 D3 \- Y! ^- A' K/ \( q8 ?
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   $ U$ v. F% r3 j/ U3 n
7. k1=f(x1,y1);
   & D8 ~: T) R5 T\" }9 j\" @7 Z. `
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ! _; ]0 R2 F; i1 \# V
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);* Y+ {3 K) O/ x, p  W
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);2 s8 t/ t4 a8 M8 |, Q. n2 o' t5 d
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;- g' d  K4 p, R
    
12. 
    & X& q\" C( a1 Q& E( @1 S7 K
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解0 \4 t, m1 Y. C4 q; ]' n) B
    
14. h=h/2;
    + s6 U$ m- L7 t, ^\" f5 j/ l
15. 
    0 d1 h- `$ M$ r9 g\" K& X( Z: o
16. for i=1:25 t* ~+ f. t0 Z6 H: |, k
    
17. k1=f(u1,v1);! v7 C; M# e% X. m7 ]3 S
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);7 ~! `1 R2 Y$ O3 e! _0 E
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    2 r% m2 F/ |$ }+ ]! p) t\" s1 }! u: p
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);3 r. @$ K4 D2 U9 U  H1 ?+ S
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    : S1 H1 H$ d9 H
22. u2=u1+h;9 B: N  h  [3 y+ g5 w; R
    
23. u1=u2;! J4 F! F\" y, M  F
    
24. v1=v2;0 l  J# y* d& X4 W: ^( d) T
    
25. end
    . w; h  R# E! [3 F3 K
26. 
    - x' f# T# Z& X2 `+ u6 e  [
27. err=abs(y2-v2)
    1 r; J: B& B: i7 A  w  J  F
28.   Q; S% y) D( A; J
    

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