matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
* G) G' P( \6 p4 i- \$ d5 p% T以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
" j3 u8 |/ g* M, ^2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
& e% p" n0 M0 J* @: g) n% v$ v: n7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
# u7 u% V0 ]! h% S* E  K7 [+ W% T  I8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];6 |: H) J\" E( W# f  X* f
   
2. b=[2,-1,-1,2]';  Q7 Y' Q8 g6 E2 M
   
3. n=length(b);
   & m8 [2 e: b, k\" P
4. w=10;, i3 G. d2 O; C+ t0 V& r. c
   
5. D=diag(diag(A));
   ' h, S4 h+ V/ H
6. CL=-triu(A,1);( _& x! _2 n6 o& i, g
   
7. CLZ=CL';
   : z/ w6 ~, W- j$ r' D5 h1 i* x9 j\" j  l
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   & U$ g( A* H0 O0 `! s0 @3 \6 o3 ]7 e
9. M=L*L';
   6 l\" u! r* J2 N4 e& T; u! K
10. C=inv(D)*CL;. D5 z, ?. R7 p  w2 {+ \
    
11. u=[2,3,4,5]';\" ]/ Y# t2 C* c+ M* c$ l5 U4 ~2 l
    
12. g=inv(L)*b;
    + r( b' ~3 }9 ^7 l4 _- Y8 t3 K
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    * k! A\" w7 G3 {1 P\" w
14. v=L'*u;& B8 ]6 ~& k6 i. h& d; y+ u
    
15. rw=g-B*v;
    ( V& u& q1 [\" u
16. r=L*rw;: B' Q! l# [+ c6 @/ u
    
17. p=inv(M)*r;
    ( y\" e: V0 f4 N1 Y) X
18. z=p;\" {4 y4 {+ |& O6 L
    
19. q=A*p;% C5 e7 g6 `6 h3 E: A* c, ?
    
20. for i=1:50/ A$ f0 e3 W9 C0 e3 _
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    - {2 ?; s: X8 g9 q/ [: W+ a/ v& }
22.     u=u+af*p
    % D9 h( F; [* s: A! P$ Z5 _
23.     r1=r-af*q;
    * d! b6 ^; u- N$ P
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    : m6 |* M9 S( k$ q
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;3 q\" c- \  n\" O$ ~1 K\" s5 t7 e
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    % l  P/ y: m* d, N
27.     p=z1+bt*p;, t# b' F. B# s: F
    
28.     q=A*p;6 _2 J8 m4 h& {0 d  @# `
    
29. end
      h+ t6 i* A$ y& k  y. [
30.   % Boundary condition./ q7 u5 y: g: ?( T8 O\" o
    
31. % zw(:,1) = 0;
    5 w( w1 n6 w* R- N! e/ ]4 Y/ {
32.   %zw(:,n) = 0;
    9 i1 ]+ |* z0 w% c\" d. a
33.   %z(:,1) = 0;! I4 {: J/ L/ Z4 u\" d/ z
    
34.   %z(:,n) = 0;
    $ M) ^5 o7 G7 b' I7 o8 h; \* Q
35.   %for i=2:10
    ) h* H/ X% l7 E) z9 H
36.    %   for j=2:10* T+ S9 B1 L1 \9 U0 ]\" y. n
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。
+ Q+ j6 {! b2 v+ q  `- S
5 @0 F) Z) S; d9 `
2 `, L% F; [6 `* [5 j& R: h! o' Q