matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
& q* L6 x8 w% D8 Z) E: e1 ?* G以下是代码的一些关键部分的解释：
3 r1 J2 B* V" n5 {5 M
! y5 L& d* V* j! q/ z- R1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
, a" k: {7 D8 T4 y4 t" e8 [1 v3.(D)：(A) 的对角矩阵。
* D* }' @# s4 `: M( }2 O& s) C+ ?4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
! q6 Q1 K3 @$ u6 t' B9 A5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
0 B, Q: ^1 P  I  d6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
: S0 f  p9 B. j, k8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
# Z9 J+ Q* V& ~* V6 C11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   2 ?& f1 h1 a5 {0 ^$ A9 n
2. b=[2,-1,-1,2]';) h& ?8 Z4 n# Q( P0 e  g$ }( h
   
3. n=length(b);
   5 p( `4 K( `7 N\" }9 [9 w8 N7 J; h
4. w=10;% p5 h/ {; ^) y- S# d3 P
   
5. D=diag(diag(A));
   . U4 N# M- i5 o1 G
6. CL=-triu(A,1);; Z4 ~9 ]% {6 T6 y0 X\" T6 R
   
7. CLZ=CL';, }* B( f) @7 y. a7 }! u! o
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));' D/ D8 W6 U1 l7 A\" }
   
9. M=L*L';
   . r! Y/ _0 m1 O' d( L: J  |
10. C=inv(D)*CL;! D2 Y: b, N! {+ \, F! O  d8 Q
    
11. u=[2,3,4,5]';
    - N+ R5 s+ ]\" _* _# o\" \6 r. g/ F  e% q
12. g=inv(L)*b;
    + G3 s0 G# G+ Y, P1 C' w4 ^
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    0 w! t. Q0 p9 I% f
14. v=L'*u;
    3 A0 H/ u1 s+ S, l\" b6 m  L
15. rw=g-B*v;
    , c4 H: K& c/ }* H+ g* n. ]4 P
16. r=L*rw;* F$ f) ]: y2 n; a/ [- ~
    
17. p=inv(M)*r;
    ! K+ Q/ q* F8 V5 I9 P# j- i- z' ^
18. z=p;
      t  j$ J1 s  u; [9 ]\" h) m
19. q=A*p;
    9 n0 @5 n' r/ N
20. for i=1:50/ O: a( Z- Q4 h% |+ I4 p
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    5 Z& @( p! K) Y\" y- x/ W& M
22.     u=u+af*p
    3 F7 O! S8 q5 j( J3 L
23.     r1=r-af*q;9 l& p; a* n5 M! ]5 W2 U
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);' Z# ^) X5 E8 H
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ' @( x& m* P9 I# J2 s; u- ^
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    ( r2 p' G9 c( v- N' W: T
27.     p=z1+bt*p;+ J6 J1 N5 P& ^) ]
    
28.     q=A*p;
    3 S* q% U' @/ L7 F: U7 {  v
29. end+ q1 [- \  x  d. n
    
30.   % Boundary condition.* ~; |: F/ L. B
    
31. % zw(:,1) = 0;; }& p3 Q. s* H5 Y9 B
    
32.   %zw(:,n) = 0;6 l  ?6 O& w' y8 O
    
33.   %z(:,1) = 0;
    0 T2 E& y, q. p) t* E
34.   %z(:,n) = 0;- X2 a( F8 j! k\" k+ p* Y
    
35.   %for i=2:10
    9 W/ T. D: D: P
36.    %   for j=2:10
    - ]% L7 n  w! x; w- E
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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9 r6 Q+ D; k0 e
' k0 E  }7 l7 i) [2 R) e" M