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matlab实现解决空间上的温度分布

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发表于 2023-12-30 19:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：

1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

close all;
2 B+ F4 n8 f; P4 d3 V
clear all;
0 h8 E/ C1 H. K; K) M! N
a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;
\" ?5 n1 [7 d\" D' y9 A
f=inline('sin(pi*x)','x');
! E\" |& J0 }1 e4 E3 d: M; B5 P
h=(b-a)/m;
u: q8 t7 Q\" i\" Z
k=T/N;
2 J7 i: \ o# A
lmd=af^2*k/h^2;$ q. `+ V4 v7 O1 N0 ]7 l
x=linspace(a,b,m+1);( C( i$ i6 @: V
x=x(2:m+1);' J7 L9 M+ u) Q& x) F0 S
u(m)=0;! o\" w+ |! j0 X1 P
for i=1:m-1
) f- A* n4 ]4 y( q\" l! x: W
u(i)=f(i*h);. b! N1 G( t' i
end- N( i( V O& Q; ^: p/ G, o( R' a9 d6 V8 y
l(1)=1+lmd;% a, Z2 s/ J- S3 J: z
v(1)=-lmd/(2*l(1));
6 m- { p/ G$ b) Y: Q: n( b- S
for i=2:m-2
8 `6 h' j* a0 p! h: h' V
l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;. i8 l3 g D0 z
v(i)=-lmd/(2*l(i));) V. {' r' z3 h- M* i% a, C% j( L% M
end; G\" o F: h0 o$ L2 F! r, R. K
l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;
6 B. F' u0 d! x6 K+ |& q. b+ s
for j=1:N
: k, w) v! H0 e! Y. g0 g, X
t=j*k;% m$ L$ r' F7 s- G, g X& i& r5 O
z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);0 `7 a! V7 s. o) e
for i=2:m-12 S, {4 h( c' v8 o5 Z; e0 r
z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);3 o/ `$ n! z& c$ r$ M$ [) \
end4 X+ u @; e% K- t
u(m-1)=z(m-1);
, H1 i7 N/ D0 T- S( Y! U8 z
for i=m-2:-1:1. k0 f- G s$ r4 k' |: |8 z
u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);4 @1 v* {5 M3 \4 k' [8 g$ s' i9 B
end! Z8 @\" s* Y8 W ?7 _+ }
end
% [, W) e1 J( r9 H9 E8 q4 @% z
true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);
* u$ m- D: c' l5 Y2 R$ P. S
error=abs(u'-true');
+ k7 P1 }\" Z1 j' ]+ ~
re=[x' u' true' error]- B6 l. c6 }6 b& N
, G7 ^) Y. {8 I/ P, v3 M. F$ t
$ S8 E5 Q2 V, l p5 R+ i