二维波动方程的差分解法

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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
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( _# I& x! L+ j( J& H0 ka = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
1 T7 a$ J5 G6 m( ?" o  N& Hn = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
ITMAX = 100;
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
h = (b - a) / n;
; d/ K0 \3 w  V* L3 {/ Jk = (d - c) / m;
x = linspace(a, b, n + 1);
* N1 C9 ?# ]: u/ Y* @; vx = x(2:n);
y = linspace(c, d, m + 1);
y = y(2:m);
u = zeros(n - 1, m - 1);
lmd = h^2 / k^2;
6 v' X8 ?5 F. imu = 2 * (1 + lmd);

# H6 X4 q8 _' X' {% F3 D5 M- Nfor k = 1:ITMAX
; q# k8 M+ q9 X6 s* M    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
    u(1, m - 1) = z;
0 g0 F, G' E8 C; k" F  K! u
    for i = 2:n - 2
/ ^9 g2 l+ o# P: ]6 |        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
' c$ t9 \' D4 C) ^# T  y8 J        u(i, m - 1) = z;
7 n2 |$ q" C6 E    end

2 s! G, z( Q) O3 g, v! o    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
) o4 k$ @9 \! B( `* `/ L) v* W    u(n - 1, m - 1) = z;
% A# O( Y+ t  v0 O7 A
3 R3 Y0 P" @* m5 i  y    for j = m - 2:-1:2
: @) l* \& O( W# l) X# i0 T        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
        u(1, j) = z;

        for i = 2:n - 2
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
4 y0 {, m- X' W* u, t                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
            u(i, j) = z;
        end
) H" \  t+ B0 S( C5 G; |
* M; H5 v8 H9 B3 y; R        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
; [8 m! ^: l1 g% N3 ?7 x            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
        u(n - 1, j) = z;
    end

" ?4 d  H: B2 \- h$ H3 V& d: k    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
; t% c+ {( G6 m3 V, z        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
( C, A, y5 p5 l2 y    u(1, 1) = z;
7 _7 [4 [+ F% f1 j& L; @
# [- u0 \' P* J& P) Z) {    for i = 2:n - 2
        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
        u(i, 1) = z;
2 w4 T6 j+ f9 V" v    end
9 L+ P1 M; R9 h2 @' b( c. `
. Z+ v2 G% V  K# d& D+ D    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
/ Z$ `9 Q3 R7 `  f) a1 Q$ D        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
    u(n - 1, 1) = z;

# O& O- v' p; h2 q  R( ]+ s5 Z# L    x';
/ O8 ^; l1 m5 c    y';
    u';
end
7 W( H; T9 t5 w  D! d
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
6 ?* B7 b8 ?. J$ J: X' r5 i
' ~2 ^; T  i7 p( M. n* Y