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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:, ~! B" @% |) j& H7 u
close all;
0 u6 a" G: p1 pclear all;7 l. P4 ]1 f. {' Y2 ?: G& C+ B7 A
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
- o3 E3 d, e: T5 Q% L* V8 U1 E" J) En = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
+ B2 S5 R$ w- m9 U' gITMAX = 100;7 L' f0 e7 S! H5 i) G; _( V
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
0 r, T0 t0 x b4 p# _2 A3 a5 r, bga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
, Q4 o! n. v' u# v6 Qgc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');- i2 `; K" g" W5 Z. y' w
h = (b - a) / n;
4 a# C( J1 y% H; g+ |/ T( lk = (d - c) / m;2 q) t. G) @! o x4 S' M
x = linspace(a, b, n + 1);
3 s* [# h) P0 r' S+ y/ ax = x(2:n);
: F' n* w ~# t* _7 J+ C. Ty = linspace(c, d, m + 1);6 U) w. ` ^# O% s# N9 g& S$ G5 v
y = y(2:m);
: l- }) [! j& v' V" c! u0 eu = zeros(n - 1, m - 1);0 Q0 u' U u! u" |
lmd = h^2 / k^2; \$ h. V4 m ~! y- ~
mu = 2 * (1 + lmd); l$ ?. F9 m9 ?+ a' g
) i1 e9 M% _: U) Efor k = 1:ITMAX
3 t/ ^0 x6 q1 b5 Q z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...: X8 s4 o f3 e q' R
lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
( ^: l% { V* b" i* ^8 l u(1, m - 1) = z;6 `3 c; Q t) F* v
. g$ k5 i* t* i5 H2 p' u, w4 s
for i = 2:n - 2
9 ^7 \+ A1 i' r* J8 Y1 V8 Q z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
! e2 p Q# p4 E( K/ B u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
' D( \0 ^) [; g/ X u(i, m - 1) = z;
, T6 G& H: I' f+ n8 d end
& K& N( @$ ?: L$ e- Y1 R& I
0 X0 n2 K x/ `; d1 X z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...3 o6 s# z. c# T' F' G7 d
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;5 e/ q# K( O: @ q
u(n - 1, m - 1) = z; e6 p1 X% q% J. w( J, @
7 d0 Y. h/ L3 y
for j = m - 2:-1:2% a4 w) ^" B, n) _5 J2 y) G3 E
z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
' W, x' ]( G7 O( F% @" | lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;2 x6 _" r' x7 G( A2 S" b1 J
u(1, j) = z;% _9 H! p& `5 k( s/ e0 D9 A3 L
1 {* X3 N6 T* B0 f
for i = 2:n - 2
, K8 N' l1 Y8 d$ |0 a z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...$ t' G; X8 w# O
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;& W @7 e4 ?( n) z7 H
u(i, j) = z;
3 f6 m8 T1 K, l end
! S8 [$ [! g; a4 H/ t0 i/ ~. S* H" @: F, U a. i
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...# U1 e B: ~! m
lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
5 k% P( i/ s& _: L6 k u(n - 1, j) = z;
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5 Y& A6 u, n$ |
0 {% E; F' g L: O3 s z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...: n& W8 D2 S* Z; j% S+ q
lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
' Z" [ \# C4 J& e/ O7 K1 }( ` u(1, 1) = z;# s8 I6 y- M; v C: ]: Q
/ ?$ n( R+ n; y, Z- b# F for i = 2:n - 23 ]3 X2 _6 i7 ?: {5 e
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
2 r8 |5 v, I2 |& W. Q3 c- U u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;- _* A9 o; i6 Y: \" s' A
u(i, 1) = z;; x1 d+ S* y9 ?, N, r# s, }
end
7 }( D) Q: e* p% @& \4 V% I5 N. e, Q
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
, R& X! M! G @9 G0 d K u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;. G" A* P' D" l, o
u(n - 1, 1) = z;
* g& V( c$ z$ X1 w9 y- S/ v& z' O! W5 B- X
x'; ~5 |5 }0 k( C. l
y';
0 D L& K7 x: t/ `! p4 G u';
& V5 t! s' M9 Q/ R* p! fend. x( N8 S: K" U: \7 o( a* c) ^
! N0 K; Q# s; m# e! m该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
4 r- |% D4 F+ a/ u
7 ^5 T. O! B7 q1 u$ `
N8 X6 X4 o6 T# H" z2 G7 x; H |
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