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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:- x5 C( ~- H, {7 a3 y+ y3 w
close all;$ l! c7 D: E: k; Q
clear all;; T/ [2 P/ W5 L" }# Z5 |
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;+ z; l- ]6 F, j/ d
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;5 a6 T \$ h! T
ITMAX = 100;
- p0 U4 A% |& C0 S, lf = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');3 f- Z2 O* W5 I' [( B; l+ u5 T8 \# u
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
% s, [5 S$ D9 o: L& f% Dgc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
# G- t0 V) e- _7 i" mh = (b - a) / n;
. i6 A, J: j# z4 R/ ak = (d - c) / m;+ i) C( C: s1 E: v- z
x = linspace(a, b, n + 1);% ]! n6 ~+ H0 x* }* y2 h
x = x(2:n);
) v9 ^& \9 Z" U' q' dy = linspace(c, d, m + 1);. a; T6 T j, |4 j' o
y = y(2:m); e6 K; N8 ?" U: b
u = zeros(n - 1, m - 1);
) A% c! w$ P3 t# a9 q. X/ A& almd = h^2 / k^2;5 s5 n- o7 M- _
mu = 2 * (1 + lmd);
8 a. K4 W+ N' k u8 i+ A' ?/ j9 ^: a* q/ W. {
for k = 1:ITMAX7 j& m, R, J5 I- w" J4 @
z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
& e- T; T; y$ }, S) I/ o" t/ R% O% n lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
8 [( A8 v- ]6 Y2 Z" P0 `$ O, }1 ^- f u(1, m - 1) = z;9 }) L' D. C; F x2 R
) L+ Y# D/ @! _
for i = 2:n - 2
" n0 V/ r4 y# [' L2 a* P z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...9 y ~ s6 b" F7 ^
u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;5 ~1 @8 e* s8 H8 v( W2 I
u(i, m - 1) = z;5 f ] ~4 Y! b: W* T
end6 s# C- z; d, I& g$ c+ J. h
% f# Q% U" G4 [$ L E z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
( c" B K+ b3 n9 X- R' X9 s7 D lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
4 W: z* W7 Q; B8 S2 z( D9 d ?6 K1 r' M u(n - 1, m - 1) = z;
/ `& X- b4 ~' \& S
) n* a3 F. p9 {8 H4 G0 S for j = m - 2:-1:2
1 [" S! U; Z$ g4 v% f+ ]2 I2 a z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...9 `# w; {! ~" x! b U. m
lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
/ {. W; X& ~9 W* P! Z$ s u(1, j) = z;2 s1 q$ p5 U9 B& ~. S5 M# j. k* f
' J; P& Z) r$ w/ t% Y$ F1 M
for i = 2:n - 2
! d; v5 V+ B& q z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...7 ?! a8 N% f7 x4 V1 w
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
/ d5 h4 s' k- u' o3 d u(i, j) = z;7 U$ y9 @* y& a, x3 Q7 E/ M- g
end; ]- u' Y$ t; h. z$ k f% e
6 d( O2 X/ v$ x+ m) f
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
6 S/ K: V, o, k& y. d4 j# G lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;) V/ g& n! Q5 e! {' `5 \
u(n - 1, j) = z;. w) Z" A0 |/ |1 v
end
# `& f7 @* l0 \5 y8 g1 n0 ~0 D3 i5 a& w4 t! j, t/ e2 ?, c
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
. Z( b4 n! w0 B" a' C7 ^ t: W lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;3 p8 @& ^* ~( J" x
u(1, 1) = z;
/ b7 Z8 \; L& C# b) g( j& _8 Q- l- R8 t- E7 T, ~/ e- [
for i = 2:n - 2
" y+ p9 X# @" X) X z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
/ `3 s! S( ~% V# \: @5 v8 z+ j u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
+ ?: L/ P$ h; H& }5 b4 L6 [ u(i, 1) = z;. a. h: f* l0 J2 R
end
/ U% w+ c& X/ m4 ~. G; T5 u7 N; r$ R6 n
: Z( [4 p1 d+ P9 ~( ?) v+ X z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
$ g' o# m8 C1 ]( N, ^2 x* | u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
4 ]! v3 i( Y4 g! Z8 p" l S u(n - 1, 1) = z;: i% a0 ~! E- S3 h; w* L5 Z
- K% J' N {4 p4 l( Q x';) o' y1 M0 Z4 K* ]) ]& v
y';' v+ u; } I2 @9 t; P3 z
u';
+ C' I5 K2 j4 Y2 W0 d9 t# yend
# e5 Q( O& W3 ^/ [$ H; E& A5 B" d7 N5 |) F, {& W
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
$ W5 q" E6 C3 ~, j& a5 {: ]$ ~8 ]. E$ E8 M3 t3 l
; V# Q3 q. G- S2 S7 q- j
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zan
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