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二维波动方程的差分解法

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发表于 2023-12-31 18:06 |只看该作者 |倒序浏览
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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:: w: C0 ~. o4 [0 I
close all;* ~. q/ Y3 y" a" t+ @4 |4 e
clear all;
( _# I& x! L+ j( J& H0 ka = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
1 T7 a$ J5 G6 m( ?" o  N& Hn = 6; m = 5; TOL = 1e-10;/ M; Y9 w6 U% y3 p2 l( J
ITMAX = 100;  E: b, l( N* _) `( ^# K
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');" |0 V7 i  r2 H; v. y- I) ]! e* ?8 o6 b
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');+ r& g7 j1 ?2 J3 b$ d( f2 i8 X0 s
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');  \- A) v; P0 m" U% R$ x! N
h = (b - a) / n;
; d/ K0 \3 w  V* L3 {/ Jk = (d - c) / m;7 g1 ~* [0 }; t4 d  s6 W# A  U0 Y
x = linspace(a, b, n + 1);
* N1 C9 ?# ]: u/ Y* @; vx = x(2:n);5 ?+ B4 ?) j$ ]; `+ D  H2 c/ D& C
y = linspace(c, d, m + 1);/ m+ E: a, p2 q
y = y(2:m);$ c, E! J1 e/ T
u = zeros(n - 1, m - 1);+ h" W/ t# y7 A/ u1 D# m9 L
lmd = h^2 / k^2;
6 v' X8 ?5 F. imu = 2 * (1 + lmd);, K; ^/ j) D* D: P% k9 g

# H6 X4 q8 _' X' {% F3 D5 M- Nfor k = 1:ITMAX
; q# k8 M+ q9 X6 s* M    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...' b1 h4 S: X9 a5 W: K, P* C4 N
        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;  v3 a1 S2 ^" \! t# N. k% O
    u(1, m - 1) = z;
0 g0 F, G' E8 C; k" F  K! u& m/ S& i1 X4 ?- G
    for i = 2:n - 2
/ ^9 g2 l+ o# P: ]6 |        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ..." o5 @4 l  ~% w/ e5 A
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
' c$ t9 \' D4 C) ^# T  y8 J        u(i, m - 1) = z;
7 n2 |$ q" C6 E    end* z7 n) E/ }7 O- [

2 s! G, z( Q) O3 g, v! o    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + .../ R3 |: I: q; h7 _( v) U+ X
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
) o4 k$ @9 \! B( `* `/ L) v* W    u(n - 1, m - 1) = z;
% A# O( Y+ t  v0 O7 A
3 R3 Y0 P" @* m5 i  y    for j = m - 2:-1:2
: @) l* \& O( W# l) X# i0 T        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...9 @: d* {* |) f# I+ i
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;. \' t1 D) s. L: _
        u(1, j) = z;. k1 r' k4 G$ V) ]5 U
2 E, ]( J0 K1 G! e! o" B$ @+ x( f0 x
        for i = 2:n - 28 O! C  p/ r: |6 [
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
4 y0 {, m- X' W* u, t                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;; R2 K+ C) l! ?1 I  ~' ^, @
            u(i, j) = z;  h* u, d2 r& Q, A) k6 R
        end
) H" \  t+ B0 S( C5 G; |
* M; H5 v8 H9 B3 y; R        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
; [8 m! ^: l1 g% N3 ?7 x            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;  ]3 D; p9 G8 t# I2 w
        u(n - 1, j) = z;9 X6 E2 z& Y0 @$ c1 x
    end) I/ k4 P% i# e5 ?

" ?4 d  H: B2 \- h$ H3 V& d: k    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
; t% c+ {( G6 m3 V, z        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
( C, A, y5 p5 l2 y    u(1, 1) = z;
7 _7 [4 [+ F% f1 j& L; @
# [- u0 \' P* J& P) Z) {    for i = 2:n - 21 x3 J  v; b, Z2 I
        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...9 ~9 s% M, c1 k+ N
            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;0 E7 R' X% l8 R! s7 e7 r4 V: H
        u(i, 1) = z;
2 w4 T6 j+ f9 V" v    end
9 L+ P1 M; R9 h2 @' b( c. `
. Z+ v2 G% V  K# d& D+ D    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
/ Z$ `9 Q3 R7 `  f) a1 Q$ D        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;4 l2 p8 k& V! y# }7 O
    u(n - 1, 1) = z;+ D$ U) ~- |( G3 K9 |

# O& O- v' p; h2 q  R( ]+ s5 Z# L    x';
/ O8 ^; l1 m5 c    y';; ~& y% L) z! y% m
    u';0 C4 p  q# D$ w* F
end
7 W( H; T9 t5 w  D! d8 @2 |0 K4 R) |( a1 S2 j: ~$ ]
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
6 ?* B7 b8 ?. J$ J: X' r5 i
' ~2 ^; T  i7 p( M. n* Y, @1 S% f: Y1 h# d6 ?8 G' J* L
zan
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