二维波动方程的差分解法

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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
4 r. d7 A2 a3 b% j1 K, j  {close all;
clear all;
- w, y6 G8 e8 M& N- N$ ?a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
, x/ ^" d# [. P+ k0 ]) K# ]. }6 `ITMAX = 100;
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
! H% m2 {6 O& ?3 a0 e: Tga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
( g, M/ h( r0 wgc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
! u0 ?& Y0 [! D( |% Uh = (b - a) / n;
: _6 ?  V7 C/ H5 z2 ck = (d - c) / m;
, M) T# n0 v7 J+ n* N+ p. R1 Yx = linspace(a, b, n + 1);
x = x(2:n);
3 @, U- e2 p* g$ Y9 m/ by = linspace(c, d, m + 1);
/ O0 @( d# R: o0 Ly = y(2:m);
u = zeros(n - 1, m - 1);
& |1 T0 I& \: V# a( ulmd = h^2 / k^2;
5 K1 _/ f, C9 W) v9 {mu = 2 * (1 + lmd);

for k = 1:ITMAX
    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
. h* f$ e1 m- U* c$ z, q, e        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
    u(1, m - 1) = z;
8 {4 _! X( j) ?4 j- j9 s
) C( e4 O. a: x% s4 C    for i = 2:n - 2
& n3 k& n( p$ P! Q2 m        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
& [  j% \" T" O8 Q+ w/ c- ~            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
        u(i, m - 1) = z;
    end

+ h7 D9 Y, R) z" Z- Q0 k    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
  G3 }& I% }4 W* K: F9 t        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
) j3 |. |( ]  }/ }$ q  [% H/ r    u(n - 1, m - 1) = z;

. m+ G( r  E" D+ |) A! x( I& t: I    for j = m - 2:-1:2
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
' f. U2 j9 b: T3 Q9 B+ {) R            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
, p. p" t" b7 y4 Z% E& d! s. R        u(1, j) = z;

        for i = 2:n - 2
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
- v6 @% q1 y$ A: l5 g# o5 E                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
9 g  R( c4 v5 r; `, x" l! R& F            u(i, j) = z;
        end
1 \7 u- E# ~* m4 Y- z: z: S& E
        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
) ^! x9 j6 w( P1 O9 p& _            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
1 u; h( C4 }% L, k8 \        u(n - 1, j) = z;
9 O5 U$ x+ G8 n# V/ E6 X    end
: v7 [, U& C: `
    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
6 @0 g8 l! E% o+ Y% w& J* E& U0 o, a# A        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
    u(1, 1) = z;
+ `9 ~6 j) P* {3 A" w  p7 o
/ {2 S5 N% T; N) G% y  W    for i = 2:n - 2
8 p; ^5 l2 h1 y        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
7 G3 R# v/ ]. n8 D1 v            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
6 M3 Q8 _1 @$ k; q: z        u(i, 1) = z;
    end
* p) A! D& Y- m$ r+ |# V
3 Z! O2 a2 b5 d7 g) G0 G0 D; Y1 G    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
3 l8 O8 M, l0 f& P8 H& R$ ^    u(n - 1, 1) = z;

    x';
+ |. l9 |0 H. [1 t# r2 a    y';
    u';
3 @& F% r& C2 }* o' k9 Nend
7 o, f9 ^5 w& h( w* H+ e
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。