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二维波动方程的差分解法

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发表于 2023-12-31 18:06 |只看该作者 |倒序浏览
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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:/ }% K4 b1 |# r2 G. y( f
close all;
' u* W. k( @' J( X' O$ n! kclear all;$ a2 A2 F  b6 ^- C: C
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;' L# x& ~. m' P" |$ q2 {2 V5 ~8 G% Q
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
1 N6 A" d* s+ T  o* pITMAX = 100;
- Q: q+ k( b1 Hf = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
7 v+ i9 O; D! f1 g: ^ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
: r5 m* y# h5 a) ]" u5 q# [gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');! U0 C: C+ h+ V
h = (b - a) / n;
( ?1 A$ s8 T/ }- l9 u2 {: \/ Uk = (d - c) / m;
1 _' g, Z& t& q8 h3 O6 X7 mx = linspace(a, b, n + 1);
" L2 [" Q( n% B) b6 L' V7 V) G8 ix = x(2:n);
1 }% e: [! s& p1 c" ny = linspace(c, d, m + 1);5 W1 R& N* f, y8 Y" ]! q! N) v
y = y(2:m);8 T0 ^% x5 `) B! f# G
u = zeros(n - 1, m - 1);; a" ^* O1 x6 v: N: B. i2 ]( J
lmd = h^2 / k^2;
- w; N$ T4 ~) y( `: Qmu = 2 * (1 + lmd);
) e4 J" B2 i3 c# I% Q4 b
: k% ?. O9 U' b- |% s/ R1 @3 yfor k = 1:ITMAX
& e" y) a% y& o9 B    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
( u6 J7 c  {# a: d        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
1 {) q  \) w7 A8 U4 x+ b/ }    u(1, m - 1) = z;6 j$ `; e% M; _) C

6 Q2 V( p6 V+ E& [0 g- |    for i = 2:n - 2
! [& a6 s6 Q% x. w& u# E0 d# S        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
9 B8 j1 \# @0 Y' m& _* G/ k            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;. _& f! U+ p) S$ B7 _
        u(i, m - 1) = z;9 K1 Q8 w% P" C! r3 E4 i7 \
    end
1 E+ T# n- \" B# o# q- D# `0 k, k  A1 `9 V$ k' W
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...: _! d3 Z+ k/ B9 U; l3 ^; j
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
. \& g, E& I8 e+ o    u(n - 1, m - 1) = z;
& }/ L2 R% D2 S' X2 k% i
& i, @8 Z+ E+ L9 V! i- v! P    for j = m - 2:-1:2
5 D4 F3 X3 K; Z& d" |' G  ?9 u7 k        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
  b! f( s  E. a0 G! X: C' f+ w            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
/ `" E) K' p( j. r. W) I        u(1, j) = z;
" ^  K) s- \- s
1 H6 t7 P7 q( Z0 B  v  l        for i = 2:n - 2" y, G8 u  m: l- P8 h! e/ |3 o5 b
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
7 I: S/ h9 L# t5 R2 U                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;  w) _7 X1 b/ {1 n# }* }
            u(i, j) = z;
/ O6 V, ^+ x) Y( Z$ J3 }0 Z) H: z        end
2 w+ G; D4 k9 g9 `0 `0 K# K9 l
        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
8 F5 ^& G& m0 p            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;' T( `1 c. B' n7 }! @5 P
        u(n - 1, j) = z;; A0 M8 h# C  P+ C' S4 f3 `
    end
3 l" u3 v- a# t/ \6 U, o, t4 w; l
    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
/ `/ o3 L& i% x& K) G+ \        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
. J8 _6 T& }4 Q" N' |* Y    u(1, 1) = z;1 r9 J2 P# C5 j
7 |. C  u2 a- T0 W$ v7 s
    for i = 2:n - 23 h1 X3 f" [! f7 Z9 r5 L9 O
        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
! p- D& u( b2 d3 U- p            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;! M5 G+ n: j  J: J  q: W
        u(i, 1) = z;
5 I' y( s% t7 f! o4 v8 c    end
9 n, U# v8 @& r  ~  b) Y. U$ @5 \& g. x) P5 A2 y& M% x! r
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...0 d) T$ A9 h+ Z: ?! F; L0 j
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
, j7 ]( r" R% }3 p    u(n - 1, 1) = z;1 f1 ^4 y8 F$ A4 Y- x4 ?" r
: o+ `- T3 b" S- M
    x';
3 l/ f2 @) k8 p2 V  f! i# j    y';# s1 _6 d6 W5 v; i, ]: j
    u';
; p5 z9 k1 _7 M- Lend
7 n/ o" y3 ~# s$ f9 Z4 k: R1 g# {; d2 J$ g/ f) f
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。/ j7 c0 E% S: _( f/ ?# {- Z

0 |! [* g, y: p7 y! V( T" }! q2 o" ?% U% p; P6 j
zan
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