Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
+ [) r8 a' w0 M! o4 s& M: f. f+ M
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));) ?# R& {1 k6 z4 C
   
2. 
   : w* f; L0 z- j6 P
3.    for i = 2:n; b. l3 L/ o9 K( P: ~1 K
   
4. ' x$ C( q7 A# Q, b4 R: B$ y- }
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   + g; J: {: U4 I& S1 R6 j1 ?
6. 7 n1 \0 H, C' H4 P& k9 p  g+ |, w
   
7.    end
   3 `8 s, O3 m# ]
8. 
   $ e. z* F3 u* w* F8 V\" M( M/ x4 m7 I
9. 
   - C: d5 C6 p+ D- [) v& d2 y
10. , Z9 {8 A, j, {7 j
    
11.    for j = 2:n! v9 a\" _$ ~3 _# p- z5 V9 ~
    
12. 
    ! M9 o& h& u& Z% W4 C) o
13.        sum1 = 0;) D8 {5 F! t2 x
    
14. 
    + g; j( P  U1 o+ ^- U  r
15.        for k = 1:j-15 ^6 d4 p7 r* j  O
    
16. 7 |8 {0 S$ G, A7 {8 w4 U, H- I
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    / z7 U8 {. X/ ?! U
18. ; x\" j# k( e5 _) V- _
    
19.        end
    * Q6 l3 o* Z& ~
20. - p) z0 L3 `\" P9 B' p, d$ N: Y6 m
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);* z, a$ U# W0 M& t2 y4 I/ S
    
22. 
    - Q& N2 V7 p  j& b
23. , C/ C# {! ?0 b1 {/ @
    
24. . R2 Q; N7 W& _! {% k) L0 G$ \
    
25.        for i = j+1:n
    # X) Y, a7 F3 P9 o+ e! f  P( u/ z
26. % ~0 T- j/ i5 T/ i% k0 m, R
    
27.            sum2 = 0;* @  T+ d; j0 T6 X$ z& e
    
28. 
    \" V# Z  s9 Q9 ]$ u+ M& }5 Q% X
29.            for k = 1:j-1
    % n6 N* ?\" D; u/ }\" D
30. , P# ^0 u\" A6 \% Q8 u6 a) y3 _
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    : |& c* C+ p# u
32. . e' M# ?, c8 S\" {/ M4 i
    
33.            end1 r; E* E0 L  e1 j, J. P7 F\" M
    
34. 
    5 F/ \) z2 u( }$ [$ b, j4 Y+ |
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);6 S- l$ u& a& C- |' ]% n- U5 b
    
36. 
    ) @, G9 Y. r  C5 z\" z\" w
37.        end
    ( }, R+ v% e: V; }! b1 e0 o$ F* [
38. 
    / S) k9 q4 e! M& A. P. @) P! k
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
# B  V  @; m& q% J* T
3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);% T7 q. Y: Z; I+ M4 k
   
2. # {8 e/ g2 R7 L& Q  \+ [: s
   
3.    for i = 2:n: H( |8 ]0 p4 m* d
   
4. 5 R4 i# Z9 f2 K. m* u
   
5.        sum3 = 0;* O3 g% {9 h# J3 g1 C% `4 p5 \6 C
   
6. 
   & B, ^6 n! e+ L
7.        for k = 1:i-1
   3 X+ K6 J* B4 M6 Z6 Z8 t8 A
8. + u+ d\" r) l( }# A- s5 d8 m
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   : @! s  X4 E4 p5 s\" p, Q; x
10. 
    ; Z3 C# |  Q8 Y8 _7 C3 D
11.        end
    , A( ]5 X* x1 U( R( \9 c4 r! F
12. ; F1 O0 B, M, D$ h\" [& f* r' Q
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    / S. a1 {5 K# D% i0 ?7 N7 y
14. 
    5 O/ ~3 E8 X# Y\" j$ m  `+ y
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   \" M+ y6 n4 X8 w) q( p! i
2. + O; V+ [7 N8 c* C
   
3.    for i = n-1:-1:1; i8 [; k/ v! X6 m\" P) E
   
4. 
   ; }# p# O8 U5 n( R3 ~! X' s
5.        sum4 = 0;4 m, Z# `; J; g6 V7 o; g% T
   
6. / W\" [- e' Q$ \* E
   
7.        for k = i+1:n% v( K0 T% B4 f& Y! \
   
8. 
   1 g6 Q\" G, I& K+ T  l8 x8 h
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   & l\" b3 I) W! ?8 L8 N- ~, }  V' B
10. 
    * A; ^+ N9 A' d/ N. S: @$ E
11.        end
    ! a3 b' Z$ A' Z; m( L\" B
12. * a- @, X3 a9 R  {
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    # D7 E4 h: l1 ?: X0 _8 |  K. i- g( p; Z) T
14. 8 p  k/ ?- I: I8 k( n* j1 t9 d( r5 K1 O
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));' `7 u: N- s, y6 U7 Z( l/ o
   
2. - u0 X8 y5 u* g$ u! e. z$ l
   
3.    for i = 2:n3 U, U8 K8 [9 W. n
   
4. & d: v  Y6 B, T9 |3 i) e
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   7 u$ [+ u/ m# ~7 i, ^. E7 N. B: r
6. \" q0 ^  k7 a* E( [
   
7.    end
   : F- a0 Z8 V3 `4 L) u0 g( Z
8.   G. k  R  g' H* E
   
9. 9 B% d6 d2 C9 t4 ~6 W; Z
   
10. 
    . d3 I* m9 Z  h  {, v; X
11.    for j = 2:n
    ' ?5 `) b1 P\" O0 R$ m0 }7 ~. c8 C
12. % ?) i) Y: L2 k& x. s/ K\" T
    
13.        sum1 = 0;
    1 }2 U' J! _- b8 c) G! {
14. ( ]* A6 \\" m\" V/ a* c- T/ S
    
15.        for k = 1:j-16 t\" I, f) j) _- ?# Y
    
16. 
    ! [' M' O3 r( Z\" y& Y
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);\" i( r% D5 c6 L9 B
    
18. 
    4 B( {; H: t& t' b
19.        end
    / H  o+ _# W; D3 s, j$ c9 q
20. 
    4 ]1 f) m/ a\" d2 J
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);. x& ]% M2 n+ [& s
    
22. 
    3 W& Q( g! m- i$ c, ]7 r# X% R: l
23. 
    4 k- {. u, i3 T; S  M8 M: A2 j- b
24. 
    * B4 @6 }3 T$ D* ^, A7 M
25.        for i = j+1:n
    - ?, |$ g1 T3 w' U8 B
26. & q! e6 [# o  }) n# \
    
27.            sum2 = 0;
    - g! T0 D4 l8 r
28. & G, m. k\" r! W\" x  W
    
29.            for k = 1:j-1! i+ c  C: T& d+ D4 H
    
30. 
    4 j2 Q7 Y4 x( q6 G: u1 h% ~
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    ' `, W& D: a; G# `6 L
32. 
    8 d$ g* ^, V\" I\" q
33.            end
    \" c9 x1 w; J6 d' Q2 x6 ?
34. 
    6 E; o; l. A\" m
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);# \9 }0 @! _3 U\" p
    
36. 
    $ ?' G& N( j' T: ~; W: t
37.        end
    $ Z9 F1 L: }6 }5 Z8 A1 ?3 u& v9 \
38. 
      `+ o. s; J6 S9 w
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

! b% B) A8 S  b; _2 ~- H7 W6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);! J% }. g; C; O! r  z5 B) c
   
2. 
   0 I. o) u: j1 X, ^9 C% l( {
3.    for i = 2:n
   ; h9 t7 y1 n6 b. H. ?) \- e
4. / P  H) n8 K7 U
   
5.        sum3 = 0;\" Z2 i. d; |+ o
   
6. 
   5 c$ I8 Q! a* s5 n  L* n\" E
7.        for k = 1:i-1
   ; n\" p5 T/ h+ m- j+ F
8. 8 b$ u5 Z4 P4 r! ]- J# ], p: i
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   + B5 W8 \\" {9 b
10. + j$ I5 P- L: I; Y0 W2 y
    
11.        end+ m' H1 z; @: f1 a
    
12. 
    6 C) \0 b8 B2 N9 r& w' g1 x5 A
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    ) H; {3 l/ E2 B. Y. z
14. - j6 M; w1 W  i8 p, H: q
    
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

% G: D4 C( \! q  e& g( N2 E7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);- ^) ?& v% B( A& G5 y& y\" R! A# L/ F
   
2. 1 s* P$ X8 X$ k; z, j
   
3.    for i = n-1:-1:1
   2 f$ t. q( y  g8 C  z% g
4. 2 l% f! Y+ v$ J5 `
   
5.        sum4 = 0;
   1 {/ v6 k$ c5 K- X8 R* j- E) Y
6. % |# }3 e6 c. `# f/ a: ]4 ]
   
7.        for k = i+1:n  q6 x: {& j# V) x& x. |  i
   
8. ) B, {1 N# @/ h# F! y
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);7 C9 h# _! i- I
   
10. 
    7 q, `( N! T/ k; Q- S
11.        end, R: v8 \. M  I+ h3 F8 }, ^& S! w
    
12. * n# k1 X) E+ r0 k% T+ i4 N: W
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);  D) j7 W6 |4 I9 r! i
    
14. 
      F% L: q6 t. `' Q
15.    end  e: u& |( ^5 h+ y
    
16. 
    3 U3 u* h5 e. b  |

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
$ A3 |# f- P/ f0 i总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。

. h& g, K  Z7 E5 Z" ]

5 G# r; Q6 N% S0 W/ b$ ^