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Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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发表于 2024-1-3 09:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));& S7 ]0 ^6 Z6 |' t+ [% C
1 |% {& V+ M! i9 d3 e
for i = 2:n6 }. X7 Y; H8 N, B* ~ [ K' D4 v# w2 ^
1 D0 R( l, X. h# V( H e
l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
& U2 N& _- y$ W
4 j, y+ v$ X) ?+ \* Q
end1 o# w! Z# Q* x3 ?/ Q9 }( D
% h* Z6 B: B7 T
' g0 q' N8 a$ f* H- i( B
) L3 j) b- z% t) I, c0 X9 r6 s5 i
for j = 2:n
0 y& K, _# t! \9 w! T- \
' \1 k, r U! A0 G
sum1 = 0;/ j0 ^) i* s; H# d f
~3 b+ a; N8 g# w4 j
for k = 1:j-13 Z# k) ~5 m8 f! E1 o
) F7 y( @# t8 c3 {5 c) ]! ]
sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
! A l: ?' P# ?: o* L
]# k4 Z; Q# ]( P Z0 @
end1 o2 |- g1 l% `2 e5 a
. a) q. f9 D3 n' |; I- G1 K/ I
l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
4 ]) i* j9 `6 w
7 @+ F. B2 f1 J8 ~ L
* k6 q; I+ b0 R! i* P
9 ~- ?9 D2 U1 \ [\" T, r
for i = j+1:n
% n\" o5 q9 w; i0 M4 W+ d
7 W( O7 y0 H! o; w
sum2 = 0;
3 k; H6 f8 \1 F' v$ K7 R# x
\" B7 w4 d+ N) W- U9 i4 z+ T& f
for k = 1:j-1
: L) n- {# y! X3 d; x$ L1 O$ q
d! W! p# p2 m& {, ^9 e
sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);& n. k6 m1 P9 ]* y7 C3 z
$ [. U2 T. P( j1 n- R\" l1 [/ X; |9 [
end
$ g8 Q\" s; ]1 ?2 Q5 b\" U- w
3 A( ^% }& _ i, M0 M\" s! q
l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
9 B- n: u. S. p
4 Z* |3 [9 T\" n\" u
end
3 O K8 J* J' y( W: }
6 y9 c x7 K, J% D
end

复制代码

在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

y(1) = b(1) / l(1, 1);0 k$ d. A% r, I% Y0 N: s4 N
! e# U/ T% N/ ]% X/ ~- \; V
for i = 2:n
- S# x; j4 k& b
2 X: z3 C9 r; t
sum3 = 0;
7 }, A3 q5 U' k n, y- u( M* S4 M
% e\" J, n& K- h$ B& n/ \
for k = 1:i-1
\" h3 Q, K a: h/ P
4 i! k |/ S( C/ g, b; `
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);; \, a5 m. |, Y
+ b: b0 l# e2 J% W( ^% C7 E
end, D, ^* O- Q5 `( f
9 `& {# ?8 a* T6 _7 ?
y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
( k/ V/ Q( B( d6 s. q; }
2 H+ t, s# M2 G1 `
end

复制代码

4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

x(n) = y(n) / l(n, n);
, @$ Y/ y5 ]/ F$ p3 @\" ~/ L
4 `4 M9 R* e1 `. F8 E/ E/ H& S2 M
for i = n-1:-1:11 j2 Q ^: L- G' X9 g\" V/ Y! y0 ]
+ w3 ?6 C& j2 D
sum4 = 0;5 [* S/ [# P/ j
& m9 b1 J( O3 g2 r) _: A0 e8 i
for k = i+1:n
) w/ f* o: X- G4 i; i
2 I4 K! ^, j% ~' L. ?
sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
2 R: K! l0 p! t9 }\" y; x
* i, X$ o0 M! L: Y% z7 w+ w8 ^# @
end
( L. q0 k/ [\" |8 \2 [# V% ?
: e) O: u' w9 o+ y2 I: I2 F
x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);/ R3 D: g/ ]7 v) T V
' x' o( }. t: G8 c* |7 {
end

复制代码

这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

5.Cholesky 分解：