Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
, u1 R- f: `; r以下是Kruskal算法的简要概述：
& x; }& N' I/ q$ u
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
- x( u  F2 R2 ]% e# k+ q6 v2 ?/ h3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
% j+ l% \( l0 ?+ }, x1 m! @# w6 Z- e4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

5 e" s; j; M3 z/ R以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:\" t; s* s( l* x
   
2. 
   4 N0 {1 M) y, F( t8 {+ g
3.     def __init__(self, vertices):+ \  U1 Q  {. r; w, g1 J
   
4. : r( g7 ?$ U! i7 P5 e
   
5.         self.V = vertices
   1 k* g( Y* G  @+ I\" `\" |% _
6. . ?5 g! W' g6 F7 }# C% {
   
7.         self.graph = []
   , V- J$ n' d' A2 T4 U5 u. r
8. 
   * w: c7 e0 `9 y2 T9 J% Z$ U
9. 2 c# c( Y. K+ u5 I\" j
   
10. 
    9 B7 O$ H8 z( B6 v/ k7 W2 B! P
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    3 H& C( m. {, ^: v. i
12. $ p$ p! E' |- L\" n$ ]
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    # A\" F8 p  R# c; `' d9 Z0 x\" D
14. 
    9 f\" J+ M& u$ m8 I
15. ( T# [$ G# t! x
    
16. 
    1 G' C% Y% \. U' d8 D, M
17.     def find(self, parent, i):
      B/ o# r  S3 J6 X- T1 n
18. 
    / L  @  ~4 V# E3 }* ]
19.         if parent[i] == i:/ _9 R0 u3 C6 y7 {8 ]/ F9 T3 R9 I
    
20. 
    0 ?+ L- J4 U5 p2 q8 _/ w5 M
21.             return i
    ; o, n- _4 L, A; S( @
22. 
    + S% W  W* L5 W- E- x
23.         return self.find(parent, parent[i])
    , |, r9 ]4 K# g7 i: X& E  Q9 W4 A
24. 
    8 `. p8 @+ z  k7 u
25. % z% C5 h! O1 J- U\" _7 _
    
26. # V6 }1 L) C# a8 q2 `: N
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
      o2 W4 a  l* |! t
28. 
    7 i; f% F& ~7 z& z' f
29.         x_root = self.find(parent, x)
    9 G- }0 O( O( O1 n  h- G$ W, n
30. 3 J' k  Z' ~/ E* \8 d9 n
    
31.         y_root = self.find(parent, y)+ I0 h8 C$ W1 o% j# D
    
32. ( S2 M6 d' n  N9 B
    
33. 7 X) F: n& I8 m
    
34. 
    + n  G1 c1 J  v1 d/ T
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:9 J( ^( M$ I. n+ ]. m' j! [# S
    
36. 
    , z# J. a8 q2 V# i' k
37.             parent[x_root] = y_root# {+ v1 k  Z; K9 g- N
    
38. 
    ) a( I* u& i+ a% O0 G9 {
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    3 t6 j( L$ R' e1 q& T
40. 
    5 L& q) e: s5 ]% P& ?\" U
41.             parent[y_root] = x_root
    8 d9 ~( E* V  ^1 |, i: v! ?
42. 
    . x9 Q' }/ a9 J
43.         else:
    . n. @% z3 a6 b5 ^/ F
44. 0 ?4 b! t/ q, q  _) K5 v' |3 D
    
45.             parent[y_root] = x_root
    ( K4 r1 G8 Q1 |( x# ~
46. 3 e  T7 P, i* |& e2 r3 _- T
    
47.             rank[x_root] += 12 G; c5 R( R% B7 I
    
48. ; o, G3 C) _6 ~7 R, x* P9 s
    
49. 
    + @& H; v( X1 p# T/ Z
50. ; I) N\" H( I! E
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):% r& G8 @7 q+ y, A& x
    
52. 
    # V+ X\" q* e; l4 C
53.         result = []
      Q\" q1 z( |9 W) g0 ~
54. ( N* v! \: A- ^) [& ]: E: N! c
    
55.         i, e = 0, 0
    : i& k' Q$ A6 c
56. ! {4 W. Z5 h  B6 E8 l
    
57. 4 Y$ A3 O( l% U% _1 ?4 U
    
58. 6 w, i3 L, D2 \( O
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])( u4 Z. {; R. Y  V+ S( ~
    
60. / ~. c( ]  Y, H* ^4 P4 }
    
61.         parent = []
    8 J. v# o. k( g9 _$ f
62. 
    + N, C4 @3 [0 o, P
63.         rank = []  `# B  @8 x; O! ^- B
    
64. ' w8 D3 G6 R\" p- ~7 G
    
65. 
    * u, ?  w2 h* L4 ]
66. 
    ( M) f, R, c3 N* r( J+ r3 c* ]/ `
67.         for node in range(self.V):) W6 a2 X\" X, Y: x9 L1 j
    
68. 
    + O9 |5 K1 e4 G) T
69.             parent.append(node)
    : {* A7 L' u& F' ~* E' |0 {
70. 
    6 u; Y# K: f* w! d6 g
71.             rank.append(0)+ b. w( [\" G2 Z9 R0 o# l
    
72. 6 O2 T' u  V; Q1 x; N+ @/ T
    
73. 
    $ l7 y* T0 O# e1 m\" s7 j/ T9 J! k
74. 
    7 H: |+ @) E, V; ?8 t- r
75.         while e < self.V - 1:
    7 \; [% [: {5 G' D. F
76. ) Y* a2 P  i5 N
    
77.             u, v, w = self.graph[i]1 a% ~8 E) s- `7 W: v
    
78. 
    5 ?. ^8 |/ }* }: r& _) M/ ~
79.             i += 1- q6 D, B4 U& {- m6 {/ Z
    
80. ) R+ L0 z$ F6 G& g7 o  j9 K\" H7 O3 D& x
    
81.             x = self.find(parent, u)2 H\" ^8 k8 z: g' A; _* a1 F. Z9 [  p
    
82. 
    \" [. L! m. X  s7 d- ^
83.             y = self.find(parent, v)0 A8 Q$ N$ T- i# |
    
84. 0 X# V; S, R( s. }6 o0 Y* U
    
85. ( y\" S0 r) z- C* u/ p& }
    
86. 5 E/ r5 `, H- `6 p* d- q\" T
    
87.             if x != y:. F0 z1 o4 L7 b; F  b. {
    
88. + h. u8 X  w% X\" Q. l/ B
    
89.                 e += 1, k2 S% n+ m+ N2 ^( w  N
    
90. 1 i$ }3 A\" G% b, C
    
91.                 result.append([u, v, w])
    / H\" {9 `& ^; @\" ^* S$ |% g$ G% M
92. 
    9 e1 V0 {: ?% |
93.                 self.union(parent, rank, x, y)# L# F1 w% A: N% a2 b) N7 v: G- a. ]
    
94. 
    % m/ |& B! y0 I( ?1 F0 d1 |( u1 S# L
95. ( Q! N8 j( \/ \4 n9 r
    
96. 
    ' L0 ^/ m+ m; S; }7 e  W' ?
97.         return result( F  ]  k. ^4 }
    
98. 
    6 ^. F, M0 l; Y\" a, F! A6 A
99. 
      m/ f% @1 m: T+ T\" J\" G0 T* t) t
100. 0 a$ ]/ `4 T; h* D1 t4 M$ z
     
101. g = Graph(4)( N6 _% Q' i! l& [2 T
     
102.   b& y8 G0 r+ l+ ?1 c9 D- d
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)1 X# T  R2 T6 U4 n
     
104. 
     ) I% X/ b( H. }9 O1 I( ^\" H3 f
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     7 _6 w( s: E9 j$ e+ d9 s
106. 
     ( O. }- \- z7 W- E5 X' W
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     - V% J& \( H  j0 Q$ k( K
108. 5 z9 [. `8 L& l' Y; r2 M\" f) \, P
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)7 [4 d; D7 L2 o  f
     
110. ! H% Y3 k( R# U
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     ; \\" O; L* S9 m2 D* b' m
112. 
     6 w' z+ H1 Z4 W- ]\" `& A
113. 6 D$ N% `5 U' h/ X+ s$ l5 b
     
114. 
     # s$ j: U2 p/ _# ?5 Q3 A
115. print("最小生成树的边:"); a7 k& T, I! ~+ m8 W% Z% M+ |6 S5 ?
     
116. 
       n8 Y1 a4 d. i9 _9 |2 s3 h4 H9 D
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
5 c3 }1 f8 }3 R' P

" J; I8 K9 A; ~