Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
" e5 O: n; v; j2 l以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
$ c' ?2 a- W2 m. t2 ~3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
. Z# a# E" T2 y" V' H" h+ V5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
     o7 ~  n  t) h% r
2. 0 i1 D, k! |/ E\" [/ u\" C
   
3.     def __init__(self, vertices):  q; R5 A6 p& c7 D
   
4. 
   6 U  N5 t# L7 J
5.         self.V = vertices. z) H. S% G9 c( j
   
6. 
   ; A9 w9 d7 x. I7 n, k  \  i+ M
7.         self.graph = []: k+ _2 M9 M& N# e( J/ X9 J
   
8. # M1 h. p: q# x7 ~, z% x
   
9. 
     e* a1 C% M8 ?$ v) K; j( n# i# U) y4 q
10. ' u\" E/ Q# O+ M2 L  Q  R7 }
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):7 i) R9 F5 p\" a5 U3 N# U
    
12. 
    + v- y1 G2 w$ x; E& j. ]7 ^8 ^
13.         self.graph.append([u, v, w])! V\" W) s. k; D. d- l
    
14. 6 ~0 Y, b\" Q6 C: h; l0 `
    
15. 9 F, U% y\" \8 [
    
16. 
    ( v' W( |' x/ L2 ~# q% L
17.     def find(self, parent, i):- s' Q% C. i0 {$ b) S$ n% }
    
18. . e5 x) p\" i* U6 q
    
19.         if parent[i] == i:& v# X\" {; r5 ]2 q1 I\" l6 s
    
20. % l/ ]- Q% M) a4 S. w( a6 O
    
21.             return i
    2 [- p/ S1 _/ v* k
22. 5 K4 {: I5 c% ?  B+ u
    
23.         return self.find(parent, parent[i])! N9 F6 E8 s/ q$ F! F
    
24. - T9 k8 X6 D+ T, A  {0 n
    
25. 
    + l$ u$ q! X8 P6 I
26. 2 q: _- a\" c  B, m- b
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):8 h; k* y* D4 W
    
28. ! i2 w9 r6 p9 X1 }% f  _
    
29.         x_root = self.find(parent, x)5 M. E' v1 g8 W
    
30. ! f' V. V7 r: @/ l3 \2 O5 C
    
31.         y_root = self.find(parent, y)\" x, m% Q2 r8 s+ i% [' y
    
32. * i  J; Y+ N2 w4 }. \
    
33. ; \; O0 X; w  u, p2 S' `% o0 K
    
34. 9 G! l& O6 L+ \4 T+ i6 ~
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:\" `\" r# G, U/ F
    
36. . F. O$ u! o- v% q# J
    
37.             parent[x_root] = y_root
    5 \( D\" ?. w3 d7 y. ~2 t$ U\" A5 Q
38. 
    8 x7 q& Y, w: r; a! U
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:5 L5 g) V$ ?# T2 h% |
    
40. $ t5 T. U6 f0 {5 `  B/ ~5 }
    
41.             parent[y_root] = x_root
    7 ^% L% m$ \4 X) p
42. / j% |2 ~; a* g6 N  j& n% `
    
43.         else:* V: ]3 a( }) Q6 e3 d3 q( S
    
44. 
    - [1 m, N6 Q  E2 u$ Z6 D. q+ Y
45.             parent[y_root] = x_root
    # O1 `2 ]- A  C. ]  W
46. 
    + }% x' C- n; D, `1 \
47.             rank[x_root] += 15 z; T8 P) A6 O+ d/ X( {
    
48. 6 G2 }7 \' _0 p- \9 _9 Z- m: A
    
49. 
    ) |+ W( Y5 J. R
50. 4 k\" b; i' r( }+ h/ X/ Y8 F& e
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    . Q! B  P0 f# P* o( Y9 |/ w
52. / G2 o; Q\" @, j2 ?# T
    
53.         result = []' G( {, {! V' v9 n  f* X+ h1 W
    
54. # G' f6 m0 Q/ k3 v' n
    
55.         i, e = 0, 0. P, ], J: N0 i8 k6 \
    
56. 
    / _( G' ?* `# u. h, p4 T1 v. B
57. 
    % |: R0 u# |) F6 z& r% ~8 G
58. 
    ) ?4 N( Y/ Z' D% C5 J
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])) k3 ?1 f7 Z: Q
    
60. 
    ( S6 T1 D: y4 N, t: m# r. r8 ^5 ?8 f
61.         parent = []
    + ^8 c$ J. s3 N
62. 5 S$ w3 w0 a! ]
    
63.         rank = []* l# J/ h3 i/ ?8 p! _2 r
    
64. 
    9 h  {# v: R  J3 X7 j
65. 5 B/ |4 e5 i( D% E9 _, L) J4 {
    
66. 9 y4 w8 O\" W9 R, H\" m; {1 F
    
67.         for node in range(self.V):
    8 [6 h: Q: V- k7 ~& A8 D, z
68. 
    \" I4 S$ C( ~7 K, p1 m' C% w, B
69.             parent.append(node)% d+ `& N\" W7 D) o# t4 H* Z3 |
    
70. - E: H- a9 ^5 v: R  L5 J
    
71.             rank.append(0)5 }2 d2 V. m9 K# F
    
72. # g# X' X1 |( b$ [& J
    
73. 
    / P- m' F9 I! ^2 N\" v  }9 j6 @
74.   S/ d5 B1 b$ |0 |0 _
    
75.         while e < self.V - 1:
    : S* p! q9 {) [( K5 j
76. 
    1 W2 J4 d8 W$ d9 Z1 Q3 T
77.             u, v, w = self.graph[i]( p4 j% I! Z1 z  ?, p5 X2 w
    
78. 
    + B0 ]7 B; ?3 O; I5 w7 }
79.             i += 1
    * X, E$ [: O; ^\" d5 y! R
80. + X  j9 `. B; |$ V$ E. @9 Z  x8 N
    
81.             x = self.find(parent, u)9 @0 P) v0 I6 m  j
    
82. 
    9 z4 H) J3 t. o7 W( L
83.             y = self.find(parent, v)
    1 U. `6 Q& S+ I* H
84. 
    # A5 W& Q2 j# @5 M0 Y3 G
85. 
    4 L1 d; h* R4 Y9 d+ Q9 L\" Z3 ]
86. # M; {+ K% _/ z6 x$ O
    
87.             if x != y:6 x; e) c( l9 k6 L: ?# C
    
88. - h+ @$ v( W$ h* W& ]8 O$ v+ X2 `2 w
    
89.                 e += 1
    4 U+ U  r  d( X2 C2 P0 n8 K) U
90. ; @( z1 L$ ^( V
    
91.                 result.append([u, v, w])
    7 C, f, j) V$ n5 `8 C* W
92. 
    2 c; u' ?: D, p
93.                 self.union(parent, rank, x, y)\" k) s8 p+ y1 Q\" I( J
    
94. 
    - L- _. I8 g8 a4 c* k3 r/ x! ^
95. ; i+ S\" O  `9 N, {, D
    
96. 8 r# r6 H( w7 u3 I
    
97.         return result! H: j' X( D6 ?: v\" ?5 e
    
98. 
    : F/ r8 Y9 i$ ^# V2 X
99. % A& l& q1 A3 C$ E
    
100. 
     ' ?, @! s$ n6 ^0 X' C6 ]1 T
101. g = Graph(4)
     8 G6 ]0 ?\" T, w\" N. G
102. 
     4 K3 A$ L2 w8 {% X\" ]
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     \" w# Z( ]0 [0 A9 a2 q8 F8 i
104. . V/ M9 `9 w& ^, _
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     ) L$ I& @( j& Z8 I$ m
106. 
     . M2 X4 ?2 l! E& g( l
107. g.add_edge(0, 3, 5). ~1 q6 |& X$ C5 y: f9 d
     
108. 
     1 R* _1 e  A3 K& E/ q% P
109. g.add_edge(1, 3, 15)( O: Y* e; f0 }9 N8 u
     
110.   C- K7 S& n) z- B: K, I! W7 T. s
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)
       q/ s; Z4 b6 e4 x+ J
112. 5 ]( S; a- E. c$ T- {2 ?  }1 @9 s
     
113. \" A  `7 f( G/ n7 }+ c4 H& O+ g, T+ j
     
114. , E3 K; b9 I/ o4 l+ v
     
115. print("最小生成树的边:")
     3 }$ ^- i8 f3 {: @' \4 C. N8 Y8 f1 W
116. ( h4 M- h5 m\" X, G4 e, m2 K
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
; ?+ K; C) ]& N$ r. g9 c
9 _; [0 W$ z5 @0 B( `0 X$ x6 D
4 c/ T2 z4 E* i) l5 i