Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
) m2 f9 O/ f+ f+ e" W* U以下是Kruskal算法的简要概述：
" A- y' }) s! b
) |& s2 o' c4 A9 O$ K" d1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
6 ]3 G3 m1 r( Y' K0 A& g- |3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
3 E2 \" a8 ~( E1 |0 a4 X8 T  R' a  S6 e4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
; {6 j* M' {! z+ N
以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:* n4 W8 y* L+ q! T
   
2. / b/ ?9 i9 U3 q7 T- X
   
3.     def __init__(self, vertices):& V( ~1 H3 [. u. O9 e1 ~
   
4. + ]9 R4 i' o\" u# N6 a' Z. F\" r
   
5.         self.V = vertices+ U5 p+ R  s\" t' [( {# O
   
6. \" v: w1 t- s$ }$ z/ f
   
7.         self.graph = []* u& T' M7 X1 ~. c  C/ Z7 |
   
8. + ^2 \: H1 G* G  ~
   
9. 0 v. `+ P* J) u\" |/ H) ?
   
10. 
    ( T# J6 }( i' P7 ^6 J
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    $ ]2 r& K+ u( V6 \9 Y+ I& q* X( X
12. 6 g$ k# r$ k/ B9 F
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    ( x5 K% A+ a; P/ U# T
14. 
    , j+ i  M6 a: G. K
15. 
    . ^. X0 n) _& m
16. 6 q* V; a( j& l! S: M5 f& G7 _
    
17.     def find(self, parent, i):
    7 ^2 f0 F: \: Y% I. l9 X8 }3 Q
18. - V\" k/ v6 @; `$ O5 u. B+ B! m/ n
    
19.         if parent[i] == i:
    : C- E- Y- I% k. S5 U; r! x+ b
20. 
    8 A. K, a+ B\" e0 d' }4 J+ a
21.             return i7 a7 Z; c9 K' ^1 `0 v
    
22. 6 h. U0 }0 N& J2 o0 s' }0 }
    
23.         return self.find(parent, parent[i])! l/ }& j3 W3 d. p8 F6 s5 `$ g
    
24. + z$ P0 N) Y\" t( d6 Z- I% g
    
25. 9 X2 Y2 ]4 j5 Y$ {
    
26. 
    0 `2 C- _  k9 N% @7 x* p
27.     def union(self, parent, rank, x, y):; \8 S2 X  e' ]1 k- o
    
28. 
    ; x: m0 m- G6 ]$ G- E
29.         x_root = self.find(parent, x)& s+ a: ?% Q+ H0 n5 m( n* I
    
30. 
    % M9 Z8 l7 E# S\" z
31.         y_root = self.find(parent, y)
    * [# s, a2 I+ e! d5 p, M' i3 [
32. 
    2 u) }) E1 n\" E& `
33. ! F( E+ z) x\" f
    
34. ; u& y% a. t6 B
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    \" i& T0 [$ [7 q. J0 H\" M* ~* N
36. 6 ]( N4 W* Y. v
    
37.             parent[x_root] = y_root
    4 {* @: V2 Q6 f. K+ u
38. 
      R- E, p: C7 g3 @\" b6 \# d
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:* w& u. h  ^9 t3 T2 T/ h. I
    
40. ' E1 `\" o$ s) L5 K0 l! b9 O' g
    
41.             parent[y_root] = x_root7 s+ P6 h. a6 v4 T; d: M
    
42. % O4 z/ f5 K: p( g7 J6 I' }( z0 k. r9 n
    
43.         else:
    9 H0 v1 ^. G8 F  I  _# N! n
44. 
    / R5 a5 G4 H! X  v
45.             parent[y_root] = x_root% e$ z4 I( `8 G
    
46. 9 j! g* w9 b0 ]  Z1 ~: O
    
47.             rank[x_root] += 1, V- M8 Q$ d2 S  ^
    
48. / l7 {8 k5 z8 I$ V' `' X8 ]
    
49. 3 _# c2 L0 `8 `: q\" }& @/ m
    
50. 
    & X\" H  ^4 y$ J: b) P
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    \" u& Z2 _, z: z1 A\" B6 K8 O
52. ; m: ~9 |! r* I1 M7 Q9 X, P
    
53.         result = []$ Z: _& W' W0 P
    
54. 
    7 h3 s6 W. S4 M& a
55.         i, e = 0, 08 }4 m\" P0 N$ S0 \& U4 A
    
56. ; J2 c\" a. b( L/ e\" a7 ?
    
57. 
    , @6 m; N8 k  [: A+ P
58. 
    , a1 T& P# M4 |2 M/ J
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])5 R\" z( j, y* i/ F% B1 C( b3 y
    
60. $ S9 n, N4 |& d0 V+ x
    
61.         parent = []
    0 {2 G  y' C* i2 y* g
62. 
    0 K& K5 w- Z% t+ M9 k4 G
63.         rank = []
    . e$ f% H; H2 A9 G4 L
64. 
    \" {) e7 ~1 w5 `\" E4 s
65. ) T( r$ ?\" W5 @6 J
    
66. 
    . k2 \( b+ ]& a- s1 ]1 _1 R& o1 T! j4 g
67.         for node in range(self.V):
    $ I( [  D, z3 C5 Z( q% e\" _
68. 
    ! D6 c3 d3 {  H: L* `4 ?
69.             parent.append(node)- g8 R2 d7 H% L
    
70. 
    - H* J\" T' x' _9 P8 x
71.             rank.append(0)* j6 i  U' N4 n
    
72. 
    1 a1 n* K& V& p% W& D  f0 D4 k
73. 
    - _- Q! z, {; t- s3 }
74. 
    8 o# T: P0 A1 \. n8 S
75.         while e < self.V - 1:6 E) n( f5 g6 {9 f
    
76. 4 A3 L8 Z; A: `0 ^9 f\" @3 u
    
77.             u, v, w = self.graph[i]! ^3 n/ y& A- _2 o' y. W
    
78. 
    0 ~$ f7 Q6 c\" M2 `: W8 x$ ]
79.             i += 1
    , p7 W# O! @! g4 f. ?2 O. i( {
80. 
    0 P* l' j' M& |/ f$ r) r. w
81.             x = self.find(parent, u)* J\" N1 ~9 L) ^9 z: L# ^* u0 t& s
    
82. 
    1 {1 h7 C5 D! O
83.             y = self.find(parent, v)
    1 E3 c& M; V3 ^' y' Z
84. % u6 O. R( ^4 h1 P
    
85. & r4 i4 b6 b$ k2 M
    
86. : ]; S  _6 X) C, R# b5 W
    
87.             if x != y:
    ( [+ ^/ |( J$ _+ \$ y- ?! D9 a$ n
88. * X/ Q; Q- `( ?0 m$ D  N1 v' D
    
89.                 e += 1
    ) Q2 z* i2 \! }& Y/ |
90. 
    7 t- o1 V) D4 M2 K  s$ M# k6 \
91.                 result.append([u, v, w])7 z$ v  w% {( l) Q
    
92. 
    ! `+ K! ~* U0 H/ D\" X
93.                 self.union(parent, rank, x, y)8 n% R0 {* q$ y) m2 D
    
94. 8 o5 m5 S) l  m. E% j
    
95. * a- L$ _2 A5 k4 T9 ]4 ]! \
    
96. 
    : U+ a) C0 B' ]6 x& o
97.         return result
    ! a+ F  q% U3 m9 n' R8 _
98. 6 }  z6 o, G0 h
    
99. 
    0 G  m; v' g9 L% _7 N\" V, @( W
100. 
     , g1 f5 F$ M: ^' I; i9 ?1 }1 ?
101. g = Graph(4)/ p  q2 ^, k: `8 a: l) F8 R) i
     
102. 
     + J( M: I$ p* |3 u4 X
103. g.add_edge(0, 1, 10)\" {! p, }8 t& ?4 |
     
104. 
     3 q0 B' X& R, i  ~, A8 X
105. g.add_edge(0, 2, 6)! s0 z) }; w' {! |
     
106. 
     + j& p! @% V& m* z! L+ |- e
107. g.add_edge(0, 3, 5)) t# @6 K( q. m\" y: _\" v: v0 }
     
108. ( X4 D8 `; S/ G3 A5 G0 O
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)$ C% i5 v# l7 I( s2 D$ N0 Q
     
110. 
     # }7 a. Z( n6 b: a0 l4 K4 @! B
111. g.add_edge(2, 3, 4)8 u, u' _+ m* b0 [9 @5 z8 p- ]
     
112. 
     8 \3 ^: q, A3 c0 \. @
113. 
     1 `( h. H. r' z
114. 
     9 F( }! ]/ w$ j  B
115. print("最小生成树的边:")
     - Q& P5 t2 O# O5 h
116. ( @5 X' I- Z1 q% j+ E0 H
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
. b9 S8 C1 l, d/ G) s: s6 v

# J$ j# K& }7 y5 p