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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 , m6 W- B+ T/ c* Y0 l
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 0 c\" D. W' [; V
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
, `3 {+ ^* `5 y$ S0 J/ o
for i = 1:n
\" q# @4 q+ r5 x\" `7 f0 o
for j = 1:n 6 t4 k4 R+ v& @3 x( Y# z! \
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) % ]+ K# @6 @- r c& b
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
8 d- v7 A: B3 W* T4 B
end , a( J9 w9 V ~\" i; S# G T
end \" L\" [0 W7 X. s
end
\" H0 _( Y; ~; Q- M
m = m + 1;
3 D/ U) q2 k K# W7 o7 E
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
' I: J- a& [* L0 _ i* @
k = 1;
$ R* ^( r5 o# i3 ^: h* q
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 9 A: H/ ~5 x8 E6 L7 Z\" f& z* [7 e
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
* n; n. `\" D. l# E0 l7 {
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 * S* i4 A7 r2 ~% h; D
for i = 1:n % x u$ u7 l F$ M/ s
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); ) ?$ K$ C+ t& a+ X _
if V(1, i) == U(k1, i)
* p: F* Y6 g$ a3 ?3 }
P1(k + 1) = i;
% _3 V7 Q$ X, d. O) H+ t$ E
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 2 |6 I( E0 J( [\" }# \
k = k + 1;
, u0 C1 Z& F% M. a. m% a
end
2 m8 A) z5 p2 }5 b/ i, ] [' o
end 6 [# }& U2 E; o# F2 m
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。. n$ G% u/ f3 c

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
4 U3 D8 w) H/ b$ g) q% y2 s% L3 v
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 2 A! h3 _# u! g; v: k
for j = length(wrow):-1:1 0 e4 m) H' f* ~- \
P(k) = P1(wrow(j)); * j$ | v3 @ k4 U: Q# x, G8 x
k = k + 1;
; h* j8 @/ I1 W x9 x4 C( q: x
end
' p0 X& ]& `# d5 \2 Y5 U( }\" H
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
' \$ O! Q5 F3 Z1 e

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]