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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
3 ?- }- }) G4 V( Y) I4 a: L9 x
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 0 a9 ~4 a/ N7 B\" j4 u) ^
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
) w8 N5 Q. C2 y3 J/ H; {
for i = 1:n
. i* h( o! T% P% n; G% F8 w6 @
for j = 1:n
, C- c6 ?: t: o& m* Y3 q
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
* ~6 A% E9 `6 u
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); 6 _/ ~. s6 _$ L) |( I
end
. v$ a4 w( j# T/ r5 m* F2 e6 }) B
end x\" q/ h3 b7 Q3 c% o; A/ c% w
end \" G/ m* a/ W8 I0 X7 _1 _* v
m = m + 1;
* U# ^0 s+ o6 X\" b2 @
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); 9 J; |* H( q/ ?9 [
k = 1;
1 [8 _) w2 W+ T0 w; y8 R
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 4 P7 i, n; T+ a0 Y( _4 o
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 4 f+ n; K% i& A; Y0 G
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 % g- E- |. P\" D2 X2 y
for i = 1:n
% Y9 j* s! a6 M0 v
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
7 z7 `% t+ W1 p% r
if V(1, i) == U(k1, i)
% ?0 B5 o. }\" I5 ~
P1(k + 1) = i; . |, I1 S# D/ i$ [. I- o
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 ( B$ y1 q7 `0 G4 Y2 A3 w
k = k + 1; ! m# o3 n0 p) J, \/ z
end 0 ]* m) f! t7 n! f0 }# G) u
end $ e: S5 c4 \. p\" V6 I
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。, `5 x- I# F: Z' D$ f$ @

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
% p8 j ?+ @* ?! }
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
. y( q/ {5 y: v9 G\" k1 E) R
for j = length(wrow):-1:1
3 A( p\" v8 P* L& r# J\" M$ ^7 C- w
P(k) = P1(wrow(j));
- c q) a8 R& p% B! Y4 _/ l
k = k + 1; 2 d# u% R' c\" k
end
h; s, [& m o: f: s
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
f2 t4 Z9 ^: r0 M4 A$ Z

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]