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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 & g I# n1 y0 x2 ~ M
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 ! E m0 ]- [* [& i- Z3 p; H
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 7 v4 V- F$ R3 e* T' R/ x
for i = 1:n
) |/ Q+ D\" V) u) ]2 i
for j = 1:n
; Z, F1 V6 O# i! o& r
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) : K9 o/ j$ s* R
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); # G2 c) S; w1 S% k
end 0 J4 y9 I1 M. F* b
end
* }5 ~. V6 k1 A% K& U
end
& v+ X9 n5 G, _\" J! Y& O( j, `. p4 r
m = m + 1;
0 `! m+ P R+ z* @\" A
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); / W; e1 K& K4 b$ Q. v* w
k = 1; 6 d+ a! h# U% S/ U
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
0 d$ Z0 T5 k! Y\" b# I. G- W
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
7 ~2 L+ \, I3 y e, P& `3 ~1 f
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 * d! u4 ^, b' B8 ~$ a+ K) d
for i = 1:n % n# k# I7 O$ ~2 d; |* p
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
% P1 |1 y. ]: [4 ^
if V(1, i) == U(k1, i) 7 O5 ]9 N* A5 D9 Z# j: w6 n
P1(k + 1) = i; & l F. w! Y+ E5 r
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 \" D3 p4 D* N& L( V: e- y3 i: w
k = k + 1;
+ J6 P9 R* E+ q- v4 D+ w8 d
end
. ^/ P9 a# N% C3 h
end
3 S+ R2 {0 W3 g
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
0 R. q' ?4 U% i2 e+ G. S1 ?( p* B

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
. _\" N) ]' Z# p) f5 k
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
* r8 X4 N/ K8 e) S
for j = length(wrow):-1:1 + c) M\" Z7 l) Z( @3 ^) D6 X6 N% O5 l
P(k) = P1(wrow(j)); , s3 C* ?/ @0 p! j) w
k = k + 1;
2 P9 K! F# l4 Z
end 4 o A, ?\" c$ x8 P& P
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。, @& T" }+ ?$ d" a6 Q( p) I

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]