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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览
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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度,并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。: E/ b2 z1 D9 M# ?0 y
函数定义
  1. function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)
复制代码
- `W` 是输入的邻接矩阵,表示图中节点间的权重(距离)。
* g. U3 H, i# z! q- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。4 l# q9 d0 r! q  Z
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径,`u` 为最短路径长度。. O* Y% y$ I* x7 W8 V5 K; s2 a, [( D
初始化
  1. n = length(W); % 获取图中节点的数量  , m6 W- B+ T/ c* Y0 l
  2. U = W;         % 用 U 保存当前的路径长度  0 c\" D. W' [; V
  3. m = 1;        % 初始化步数
复制代码
- `n` 是节点总数。
) H, L) D" W8 {3 e  s* _( Z9 e" ~- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`,用于存储更新后的最短路径长度。/ G1 U' m: a. z( A5 s2 ^5 ^
- `m` 控制外层循环的索引。
) u* v4 e; i( B/ e' {( ]主程序
  1. while m <= n  
    , `3 {+ ^* `5 y$ S0 J/ o
  2.     for i = 1:n  
    \" q# @4 q+ r5 x\" `7 f0 o
  3.         for j = 1:n  6 t4 k4 R+ v& @3 x( Y# z! \
  4.             if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)  % ]+ K# @6 @- r  c& b
  5.                 U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);  
    8 d- v7 A: B3 W* T4 B
  6.             end  , a( J9 w9 V  ~\" i; S# G  T
  7.         end  \" L\" [0 W7 X. s
  8.     end  
    \" H0 _( Y; ~; Q- M
  9.     m = m + 1;  
    3 D/ U) q2 k  K# W7 o7 E
  10. end
复制代码
- 外层 `while` 循环运行 `n` 次(节点数量),内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。6 Y: y* W) U& _
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短,则更新 `U(i, j)`。* C- A& g/ @; S1 V2 N* J
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径,最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
+ |4 F4 z" m0 H获取最短路径长度
  1. u = U(k1, k2);
复制代码
- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
$ i4 o5 g, L' b6 \) R, y$ _求解最短路径
  1. P1 = zeros(1, n);  
    ' I: J- a& [* L0 _  i* @
  2. k = 1;  
    $ R* ^( r5 o# i3 ^: h* q
  3. P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中  9 A: H/ ~5 x8 E6 L7 Z\" f& z* [7 e
  4. V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组  
    * n; n. `\" D. l# E0 l7 {
  5. kk = k2; % 当前节点设置为目标节点
复制代码
- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径,初始化为全零数组。6 d$ t- r5 h8 f! A" c. X
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。
4 a- R9 J; C4 }9 J4 O
8 m" O; W3 Y$ y: e8 E! b[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]+ k; A5 @- t7 s) ?7 K) b& W, [# S
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]
  1. while kk ~= k1  * S* i4 A7 r2 ~% h; D
  2.     for i = 1:n  % x  u$ u7 l  F$ M/ s
  3.         V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);  ) ?$ K$ C+ t& a+ X  _
  4.         if V(1, i) == U(k1, i)  
    * p: F* Y6 g$ a3 ?3 }
  5.             P1(k + 1) = i;  
    % _3 V7 Q$ X, d. O) H+ t$ E
  6.             kk = i; % 更新当前节点为前驱节点  2 |6 I( E0 J( [\" }# \
  7.             k = k + 1;  
    , u0 C1 Z& F% M. a. m% a
  8.         end  
    2 m8 A) z5 p2 }5 b/ i, ]  [' o
  9.     end  6 [# }& U2 E; o# F2 m
  10. end
复制代码
+ \' d; D, @/ }& [
  • 通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯,直到找到起点 k1。
  • 在内循环中计算 V 数组,能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。. n$ G% u/ f3 c
完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]
  l0 w! i- Q# n7 a; c5 G
  1. k = 1;  
    4 U3 D8 w) H/ b$ g) q% y2 s% L3 v
  2. wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引  2 A! h3 _# u! g; v: k
  3. for j = length(wrow):-1:1  0 e4 m) H' f* ~- \
  4.     P(k) = P1(wrow(j));  * j$ |  v3 @  k4 U: Q# x, G8 x
  5.     k = k + 1;  
    ; h* j8 @/ I1 W  x9 x4 C( q: x
  6. end  
    ' p0 X& ]& `# d5 \2 Y5 U( }\" H
  7. P;
复制代码
  • 提取路径 P,通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
  • 注意这里是从后往前填充路径,确保路径顺序是正确的。
    ' \$ O! Q5 F3 Z1 e
总结
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言,n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能,使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度,并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径,但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。
[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
6 W8 H( b; N( r" h. q% R
. M3 E' }0 a# a. y, L
# ~+ W( H+ ]" C8 }; K' D* {
[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]
; ^* Y1 E* z- ~5 Y9 S/ @7 j

8 {& f8 C9 d9 x: Z8 h
8 d: j% {8 C/ }5 y7 Q+ L

n2shorf.m

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