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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 # s/ o! e' z: r4 |; a
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 & L# e* `; s% _$ N8 P7 D
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
: F& T# _9 `% u& B, {+ l- i3 m6 Y( D
for i = 1:n 5 b& Q& M5 w( ?; [( j
for j = 1:n
& U; q7 r; R% z* f
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
, _+ a3 I5 k/ ?( n% _* ?
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); ; R9 Y( ~5 `1 x
end + r3 m2 H: H+ k( A; M4 d9 O& @ S\" |
end / d- d! c) c! H; M8 X1 P9 k
end
+ `3 R9 X2 j1 V! o% ?, B, B. J
m = m + 1; Y6 k1 Y/ @8 ~' G. l
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
6 c# E- j5 u8 U8 M
k = 1; . h- |- w( I2 n. `* M
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
r) y! w) q2 ~- Y6 Y4 ? \4 F
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
6 `, v\" R\" }- I+ Z4 _
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
1 `: J* o9 ], \% y1 ^: G
for i = 1:n 5 {* a! B% a* E; n( K! m4 c
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); + }\" y' P+ _- D8 |* A) ?6 u
if V(1, i) == U(k1, i) . L. d* @/ g& V4 }3 |
P1(k + 1) = i; + ~ ?' B\" x9 p _! `
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
o: l* D\" i S
k = k + 1; 5 G' }- }& P! O/ u
end 7 g# E! p% X4 _( y! i
end 0 Z* y8 ?( t4 [( B# |8 L( h b
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
1 q% J, B+ `: ? H* A2 r

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 8 O4 |% R3 Z& E' {6 J
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 : {* i( t% g: Z n2 F9 t
for j = length(wrow):-1:1 2 \- l4 g& g5 A, k* x4 `\" V: O
P(k) = P1(wrow(j)); : a n, K, q, y: u+ Y\" X. E6 p
k = k + 1;
5 r7 e. N t# p\" M\" J$ c1 D
end \" m- g7 Q- n% y& n
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
; |1 V+ b* W% j

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]