证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
8 q/ M; [* I3 i5 H. vx ≡ r2
+ I/ E9 G8 ]  z3 D$ o) U) z+ d(mod q2)
8 R0 A! u! B$ q2） x ≡ 0
3 t. R8 y* C$ q(mod q1)
. F+ _" M* ~- e2 g$ bx ≡q2-r2
% v) w4 B& L8 F' D3 v" T(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
* r: x. ^# x* H. u) M# Z证明：
6 Q/ [. U; m" l! `根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
" R! ~7 K& F* P+ b& W令方程组1）与2）的解分别为：
4 T  U: Z; Z! @0 t& C0 s$ J8 @* px1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
* ^3 o7 m3 V4 [  `% R) A即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
  a/ Q+ [& [& G6 \4 k) U7 ]5 V∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
9 p8 h: v$ u: e; ^/ ]" n# e4 }4 D- Hx1+x2< 2q1q2,
4 ^& [' n) j5 G5 ]! ?( H, D7 ~∴
( p, @9 w* d, j1 i, T5 B! a- Za1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
% t2 F: g: U: i. {5 [∵ q2为奇素数，
+ z* O) i' l8 J; {% U' D∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
' h* D# R. C, s" E7 [6 k0 f∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
# ^% j3 v. o1 ix1=a1q1=b1q2+ r2
& i5 \% F6 P2 e2 w( K/ Z& Xx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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