证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
' [1 L5 G5 g7 l3 G1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
9 }, E+ b! k5 \5 t) h(mod q1)
8 i2 w: O2 D& x) U! G! s" ^' xx ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
- m* A; O$ w1 y证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
5 k3 z3 ]# R, I& c2 m) a# z/ ?令方程组1）与2）的解分别为：
1 e; i/ s" j) H/ Qx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
3 _9 ?" o. g. t即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
8 c1 x& j. h" A∵
6 b0 Y; J# Z. ~# s) F5 }( gq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
∴
7 |/ d/ |; x6 J  G8 K5 M& f. xa1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
3 B4 T9 O1 }( H6 J( w# @" W2 \∵ q2为奇素数，
  W( X5 }7 I# G+ z5 H6 Y: x4 Z∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
5 h% @' b  O% O∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
8 F) @9 b5 u  i+ J" J' q∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
9 s* S8 |$ E; ]: Y1 L∴
8 U1 s3 ?" q& u9 I: Hx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

看看看看。

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