证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
! z, g  g! A6 i% e8 N4 vx ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
! w4 K1 q- Z9 K! o9 ]8 v* L小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
  a/ Q) S# J* x6 ?证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
+ @2 X, s% M! P, I; ^  I. ]5 |则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
3 x8 }# A$ g5 T, q∴
' Y% _! F) G; b. Jx1+x2< 2q1q2,
* X6 v. W/ ^, Y0 E, L# L4 t∴
a1+ a2 =q2
9 X3 G/ w! \7 u, I( G，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
1 d0 b; H! p/ M& W% T∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
: d% [5 b& p( W8 @1 a; x1 C∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
0 ]- ]1 ?! Q$ g$ ~( j$ l1 w, B∴
* j4 S* X4 N$ r- f: M' b+ T3 xx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
- a7 O- c) i1 R5 V' f' W也只能一个为奇数，一个为偶数。
3 s$ C  z# G! k5 ~定理得证。

azqw

看看看看。

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