证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
/ n* ?1 M; u5 w0 ?3 f(mod q1)
( Q& }/ P- J- h, ax ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
(mod q1)
% q; m  a1 c0 Rx ≡q2-r2
0 a$ ]3 p4 i8 G, x( W( E(mod q2)
( J( p3 [  S8 L3 y小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
2 P' \+ N( ?+ I2 l. Y9 L' G证明：
, @- b% [, U7 C# E9 y1 I: E根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
0 ~# M3 _7 W/ d, z) fx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
9 V0 f9 a* b: s- z) J# P则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
8 v+ [" h, n& ?$ M/ v7 C& J∴
: B. y, G5 R6 u, s6 {1 T* \$ ~2 _x1+x2< 2q1q2,
∴
1 b: ^/ c$ X; W) _% ia1+ a2 =q2
3 ^" v% r  _# i: P8 b，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
: O( I- |7 v- }: `" H$ cx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
1 O: B( t# n- ?也只能一个为奇数，一个为偶数。
& S( l! b5 o# |定理得证。

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