证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1

4 ?) n9 J* v! Y4 h: z. Y/ t, [( g(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
  z, n% Y4 ?8 G, l2） x ≡ r1
  G" z0 }0 |% L. }' c; f, B(mod q1)
4 Y% N# Q( I# e+ |% r8 tx ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1
: ^. d! z0 ^' ]  t  y0 V
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
/ {0 i6 ~$ O. w& |(mod q1)
x ≡q2-r2
' |' n& c7 X/ d" {- r  L(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
( F1 r6 m, h3 _4 y" f7 y证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
1 b# f- o( }+ i0 Y: ?. L令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
) [( c* ?( W0 N$ a. F8 T8 Xx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
- R1 k' [4 i( i7 f4 ~) Z则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
& o2 y) g4 @# R& n; o0 ~a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
  N9 ~, A. F# G1 }7 J; {∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。