证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
" L8 P2 E6 E; g: X) U1） x ≡r1

(mod q1)
  e9 z+ K1 m- V6 }2 S% p  Bx ≡ r2
  N' \8 R- N' Z. B(mod q2)
; t# H8 U* l: a; q* W2） x ≡ r1
(mod q1)
+ l- `) @1 L# O9 ]8 E5 \+ Tx ≡q2-r2
  s5 u6 {$ y2 V% l(mod q2)
7 g# L: _) g) \' g7 Z3） x ≡q1-r1
8 k: E# h0 B  J( x8 U% c
(mod q1)
x ≡ r2
: N, G7 i3 ^3 \  c+ g: n(mod q2)
9 v/ x' e0 _5 B$ }2 g: p. k4） x ≡q1-r1
, s5 l* n! b9 D" a(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
# t: G& c/ s0 c: u  t- ^3 x3 G证明：
0 [6 H6 [3 J# n+ \  l- @根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
( e% B; j! C/ O% qx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
2 v& ]. w! z4 M1 Gx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。