证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
; w4 V. Z1 A/ h1） x ≡r1
5 @' S+ P  G0 j; j
(mod q1)
x ≡ r2
: z8 s, K  h  r! M' V(mod q2)
! ~" \+ s. H0 o% a, e9 b6 w% i2） x ≡ r1
+ X+ F# J" @" H, c(mod q1)
x ≡q2-r2
0 \. L" H5 i% \: }- x(mod q2)
3） x ≡q1-r1

(mod q1)
6 y6 L6 K: d3 S5 ]x ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
" I. N/ B4 w: p( h& A8 F根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
( K  F6 ]/ y1 `' P0 {; F' C令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
' E7 r* W! x& l, W3 J! {+ E/ Tx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
" M. C+ l+ N  I# _5 |x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
( U- `$ S& l+ D; a; o! Jx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
9 ^, p) _! }$ k# y3 l$ Fa1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
2 V2 n/ H( r" K∴
* ?8 u) I  e% F6 p. h9 Oa1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
# l+ z( m5 N9 @- |: p5 Z定理得证。