证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
& V) ]4 U; t; R- L若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
/ t9 y2 Z- K) j( c4 {1） x ≡r1
* A/ R( t. _# `0 m
(mod q1)
x ≡ r2
9 [& o3 a+ [+ v$ v(mod q2)
2） x ≡ r1
$ |2 d( M4 L3 A" }(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
1 @6 c5 C1 d- q/ B- I7 Q/ \* j3） x ≡q1-r1
. Y4 o0 B# M/ B! [9 H- b' |3 A, [
(mod q1)
; F+ K' j8 e5 k. px ≡ r2
# Y; I, t1 W1 k) F- b(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
# L9 N' d# n  N1 d) b1 k% }证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
8 m4 g( E. c" n, }  S令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
5 a. t9 @# n, ?x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
" D9 G) d" |* F5 h+ D" Lx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
. Z$ n$ V6 A0 W7 u% z即
0 k$ o+ O. c* {' s0 w* aa1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
9 J9 g' `: r4 _; {5 V1 W* y  V7 \( L∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
9 h% u1 \& T+ D: i$ k- M同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。