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证明素数对称分布定理的五个引理(三)

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李彦修        

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发表于 2009-4-4 09:31 |只看该作者 |倒序浏览
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引理1.5
& V) ]4 U; t; R- L
q1 q2为奇素数,则以下同余方程组

/ t9 y2 Z- K) j( c4 {1 x ≡r1
* A/ R( t. _# `0 m' T0 \2 f5 b+ f1 N- A; W
(mod q1)
. g' p- a' c4 |% _8 o
x ≡ r2
9 [& o3 a+ [+ v$ v
(mod q2)
5 c' S  _. T4 k5 ^3 S, ^6 F
2 x ≡ r1
$ |2 d( M4 L3 A" }(mod q1)
6 l( w: f# v) I/ B0 s
x ≡q2-r28 ?9 P" Z, M# m$ r, I# T1 X
(mod q2)

1 @6 c5 C1 d- q/ B- I7 Q/ \* j3 x ≡q1-r1
. Y4 o0 B# M/ B! [9 H- b' |3 A, [! x3 Q( }% c/ B" [9 B+ F: {
(mod q1)

; F+ K' j8 e5 k. px ≡ r2
# Y; I, t1 W1 k) F- b
(mod q2)
' D! B9 _( w+ W. V( D' H
4 x ≡q1-r1 8 Z  ^7 Z# u; {9 ^* C
(mod q1)
% f' g* |( ^/ [" L6 D. W  z* r
x ≡q2-r2# W. o  f0 R/ h0 \
(mod q2)
2 [2 J- o# ^# b' Q& l5 |
小于q1q24个解必然2个为奇数,2个为偶数。
# L9 N' d# n  N1 d) b1 k% }证明:9 b: t  {2 {0 ~' [/ N* q2 {
根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
8 m4 g( E. c" n, }  S令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:+ @7 Q! i( F4 N  M5 L: R
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
5 a. t9 @# n, ?x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2# w3 y# O7 w! b1 F3 G
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2  F# B2 `5 A+ G4 n/ V* X0 b3 t/ u: \
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2* U/ P7 }- \$ R

" D9 G) d" |* F5 h+ D" Lx1+x4=
a1+ a4+1q1=b1+b4+1q2

. Z$ n$ V6 A0 W7 u% z
0 k$ o+ O. c* {' s0 w* a
a1+ a4+1= q2b1+b4+1= q1

9 J9 g' `: r4 _; {5 V1 W* y  V7 \( L/ r6 I# t) O9 i# L& b
a1
a4 b1b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1x4总是一奇一偶。

9 h% u1 \& T+ D: i$ k- M同理可证x2x3也总是一奇一偶相对的。1 P4 W" q7 m; A; r$ D5 i
即是说,x1x2x3x44个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。% u% i% F. y$ `7 Z) I1 y  E
定理得证。
zan
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