巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
6 M: z# d: V% W河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
2 j5 T! G7 G% k% D6 _亞和伊拉克。

% u3 `, B. v- X  j: Y　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
! l8 U: R# G6 V9 Y7 q5 Z% j  F一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
3 n7 U. \& [9 S# y0 S6 C3 m
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

1 j. f' Y' I. V1 L+ _7 A2 a3 {7 o　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
: C7 k6 ]0 g" A的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。
! {+ H1 x5 x- P
- Q# H. C) B: m' ~: U1 Y2 X$ d　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
- G1 h0 D) v2 W6 X+ [，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。
5 B  u/ T! I' i
4 x- p' D) L+ F　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
) P. u" s8 Q+ }2 Y& W  t  N" ]. {& D這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
2 k5 g5 ^6 E) a) F及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
' n- B" b& y3 `- t: F. v7 f# ?5 M了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
) n% M/ Q$ ]. p* u  C4 d) C微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
+ g1 |5 a" T, M板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
9 B5 F. ?9 X' S* ?7 T- b# x載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
, s+ c3 [7 J" Z/ b4 R# H, s! B1 Q- v高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。
8 p. K. Z/ h' f& _; i; I: }
　

巴比侖人的記數法
( l2 I* w* h* [. G- ~. W! V
　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
  d$ d5 y7 m' f* J' {6 @$ O2 _進位。
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　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
8 q0 H2 T7 T, {- A( b- v0 p/ X「逢十進一」就是基於這種原理。

9 Q+ k5 p8 Z3 r' c4 v6 z　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
2 H5 Y; H) u1 O) j$ n! O助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
. y* ^: T: l2 {+ c! U5 c9 K糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

( x3 k9 L( x# r- t: D　　　　　　
3 G( q  Z! m6 \( v: j) [1 S
' ]1 H0 \) i3 z4 x/ H　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
+ w  @0 k' _: D+ {了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
1 W4 R" u* A, x& k" W0 N是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
/ n- Y. ^6 j. ~( P5 a/ w! X上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
. c6 D" O1 `, m* x
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

4 ~4 ?% i  D8 A' f　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
" [, `+ a: {4 Z（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
. X2 j0 ^$ B" R) \3 |$ x法。

　
1 ~, N8 m3 a8 `  J
　

　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
. I4 O8 v# S$ x' I! q時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
4 C1 Q$ R  ~! L/ z( u/ }
4 `" ^( h' L8 e0 J0 S) n　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
0 X+ `$ f+ V$ e, R1 l五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
) Y- t2 b2 y) f, h' V$ W# n9 {星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
( K3 E/ W, @! h等等，我們現代還是繼續採用。
: W1 d+ l0 W7 S) |0 k' j$ @
; l. b7 z, J( c) O- S! G$ i　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
. `4 L# u& Y) \3 Z; j+ p) n" O吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
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4 M, ^* r% w/ j- B
5 f9 ]( k3 }1 J0 P; {+ H& z% I3 {1 F　
+ N  e# d: \! a" R9 y4 o. ~( G  ]' n
　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
$ `) \# |8 ]3 U3 M
0 x2 F1 E2 r3 R9 c- T　
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4 B0 a0 V8 i8 o7 j) d　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
" z  \" [# b5 L9 w+ o. n1 X% ~2 e前五行是形如：

　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

( R. i5 E& w$ T! ?; _8 l" t, D　　可是接下來的卻是這樣的符號：

　　　　
. B* f3 ^' ^) }6 }, G- P+ L　　如果我們前面知道的符號是寫成：

　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
2 V8 M# g. m7 y" Y( D4 f
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
6 {! s% q/ f& ~$ r1 U# P) @　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

2 V1 _2 n! [9 U# }, o+ D; K; ~　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
! D. O" t2 m8 d% i就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
7 [# U- Z! f. g: t) T將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

% Y) q/ o% _) X( o8 Z5 \　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
7 z; \; N* d+ \7 @  X5 l5 h/ r, x$ A
0 r, _9 `+ t' G* ?6 S　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
* i0 T: q* \( a7 u5 h看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
6 C3 J+ I/ g/ L$ N
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
& q: `  ~; M* T; z7 a; b& K8 [
4 u$ b$ [& f7 a, G: O. F　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
9 Z3 ]' [) y# Y+ O) z# |
7 j' J6 s3 s, `0 O4 W$ X　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

　

巴比侖人怎樣進行除法運算？
7 M0 {6 d* E3 C' r9 a. @; f
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

# s! R2 c% k/ K& C7 ~* k2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
, `( e, Z4 |' b# [  Z  W8 G4 15 20 3 50 1 ,12
/ y' d7 b$ G6 S5 S! _' C5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
* U* J2 r) d# j, A: @' z  W12 5 36 1,40
# K0 i9 w6 A( n( ~$ Y, H15 4 40 1,30
+ e( k6 k, {) l
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

5 \. l, c/ I  L9 }( Q; v+ S　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
; y4 }' _; g; e, y. S對應 2,13,20意思就是：
3 u, X; A2 {5 ]
) M% {6 }: c, H1 d- U7 M　　　　　　 　

# i- z% W, ?  L6 ?- B8 s% S. R. m　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
& v; N* t; N3 D$ |+ n/ a% z這是什麼原因呢？
' x. s; M# F4 z9 e2 d: t
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

* @; U( L# m$ ]9 C9 P+ r　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
8 @* _0 N, p4 \. N3 B4 g
' Y( N+ G: J! Z) P; H　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
% r( B9 R) Z+ ]  }: h1 J0 pa ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
/ {3 }; g7 A  \, Y# ]化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

+ [' _1 Y1 b$ R+ A2 ^/ d. E5 c　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
- ~# f7 |5 N5 F" Z( V0 ]+ z) a7 r# `、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
: o% ^" o) ?! n! M  S決，這時候「倒數表」就很有用了。