巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
; t' V2 w3 i. U$ x河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。

- b7 D) _6 R8 u3 G　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
- F' W( p, _6 c( F5 P5 v1 E% _" R現在的禮拜日。
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　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
& ^2 G. {' _4 g( F! h) }十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
- }2 o6 l& w( R! }; G0 ^  w" B+ F& G的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
" e" F. z: c; X+ x  {' r+ J，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
1 [- \/ x7 O9 D' x; W- D, Y工程的研究，這是當時其他國家少有的。

( |- I/ T! _& o, y　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
  v# [* _) q3 f  J8 N5 d. J. w土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
9 j, L, S& e/ x4 V" f& ?土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

) N6 O' I6 T2 a% r. P* [" ~4 D　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
5 G! C; w. ]7 j9 E" Q, y比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
: m2 R0 {: h0 f除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
  q. D4 ^# _. N- `高。
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　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
: b( F% y0 z8 `$ i5 J6 z: c裡就談談他們這方面的貢獻。
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巴比侖人的記數法
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/ @& y. `4 l( P5 n　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
4 ?1 R+ b& z7 ~( P. b助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　
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2 w9 l2 t* l# z　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
' [" D# o% C6 g' ^& n9 C稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
4 M7 M+ g9 t! T6 o+ Z是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
7 M6 ?! O, n3 ]1 E' y3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
7 J8 H) o  a2 V' G1 w+ B（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
7 @# ^. o( Q# m! W法。
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' n$ b3 n& G, r5 y" p: n　

　

& [* `7 f* P: \0 z( Y: ]& O　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
6 j! M- M4 t2 Y8 V7 x5 u: E
# x6 H; ]  U8 o4 L1 q$ X　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
2 R- |6 C) A/ k星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。

　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
5 Y5 Y8 |" u$ O; D  J3 W3 [吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

2 K- L3 `4 _- d4 a" W8 F: m# i1 e　
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1 y4 o" \9 @+ j- J! g, |　
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　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
9 {8 d( T! g- N1 T" y. ^出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
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& V# W4 c8 g( N& ^. Y/ P　

8 ^$ ~4 r& C" S- t; h* q6 r1 R  O　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
, |% N# d3 l2 e0 Z7 g% G5 p
　
! d+ t  e% V* Z% K
很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下來的卻是這樣的符號：

　　　　
8 T1 J! g$ D  ~4 h; \# L$ [　　如果我們前面知道的符號是寫成：
6 ^" D! ]( @( L
1 K" p7 N5 r8 u1 s4 \% R7 _. U9 [5 O　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
8 P" T( G9 X9 m% p將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

4 p2 Z3 e/ _( C1 V" i3 H　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
: B, ~1 E9 ?7 _2 m他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

! i/ ]4 b& j' @$ M2 `4 R9 V7 g" q% F　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
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　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

' G$ N, `8 V/ y! c5 C$ J( d　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
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, E* V2 K& ?" J$ n* q1 M7 E5 i2 I/ [　
6 ?6 E) a, [: U3 b" \/ \+ T. B) ~) E
巴比侖人怎樣進行除法運算？

2 e8 O3 B6 U  p; K　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

& d8 ~/ E" Y6 ^% I( a9 q% v2 30 16 3,45 45 1 ,20
( v! b7 J: J5 r" b3 20 18 3,20 48 1 ,15
8 `- R# d6 z3 o; P% V5 w4 15 20 3 50 1 ,12
  @6 [4 O6 u+ `5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
) }* p4 V) M' p- L& d6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30

7 d& B2 j6 Y. o4 \; H4 Z　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：
0 \3 n- `5 y; P! a$ a
9 ^/ x& V$ v9 ^　　　　　　　
) a: T5 a3 _, T8 B2 h2 ~: b6 L
! c- u& \' P* a8 L: O3 M( d: ~+ |　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
" V: W% \5 r8 A9 P  e  b( F對應 2,13,20意思就是：

　　　　　　 　
7 ?5 a' v  H( {# Z) B
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

5 k" Z8 P4 `3 V; }+ o: Q( {. l　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
+ s, n( f& p3 g7 m  l% g數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

$ O- c% k; T$ o4 y; }$ s( [% }　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
  v  x; p  J$ f* t  ?1 I2 @8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
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　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
( A; n. E, W, I" {
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
& `6 A1 n& C) B5 f4 d( D5 T' x$ La ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
( R9 v4 C" H% o2 B1 v& T化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

3 I$ w2 N# w/ M. \　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
& w: B7 t/ u, E9 p4 b決，這時候「倒數表」就很有用了。