巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

8 B! r# [7 d( ]　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。

　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
* d) j1 X; B: w人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
/ V" l0 N) K$ A% c# O3 [' N& F一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
4 p* H% O2 p% u# M9 E秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
) e/ }$ I, m' o. ]  Y) Z的貢獻。
# k7 F! J& V  _! R# l
　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
3 @: h, I$ M) K1 L' F  P4 k的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
( a7 A) \" K" q5 U板書。
1 E  T5 c$ \% J7 n- `
　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
1 z$ U4 M/ G- a+ W. V, f/ j工程的研究，這是當時其他國家少有的。
8 _) K$ ~" A. ?/ ^8 A
　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
/ o6 S1 C3 u$ A8 k/ o土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
" E( N3 y+ f- u2 W及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
; m( q' G, v. T5 E6 _& m* G了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
7 p$ Y0 I6 c! G& P板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
6 E4 P3 s4 Z8 J8 o- i6 }! L9 ]載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。

" S( A% n# _5 k- K2 R　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

5 a" E! d9 }( G# r8 R0 }, L　

" n) k2 C: `0 ?+ _6 n1 U2 D: e巴比侖人的記數法

; J: V8 U6 i8 Q7 P, z7 p/ M* `　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
4 W" b4 ~' v* A' w: R1 \( o進位。
* s/ P/ Y: w0 D7 L; N3 y
3 K* I0 G! `( q& \1 r# X% C　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。
- \  v- R  N" [1 E( H0 D
　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
; g- ]+ F: _. @$ V, T1 Y- B5 ^助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

6 g& E/ i) o! j$ ]" a　　　　　　

  E2 v' t( w8 O* O  ]; e　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
* Z. D" W: \; |6 m) g稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
! l) q+ m7 f8 K( u5 B! T; B了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
! E3 s# H/ {# Y9 ^- G1 c( E% r9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
5 j* T9 C* f4 j0 I5 d; A; x上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
$ u9 g0 ?) d( O0 r. h  g1 |
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
$ B3 w' D% ]. p! @7 V
　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
, i9 {  W8 R  ]/ j: o9 f（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。
$ |+ F% q( @2 Z9 R$ b, J* G
　
* V5 Q0 Y4 F% K; ^( b
! M1 a( ], q$ w7 Q" V, |* D　

# M3 F7 v& M7 {  e　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
  _- B5 D; h. ^. _時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
4 i" b$ o# ~0 `; V
; z3 ?( v; _3 C: i$ J  e6 h1 E* ], j　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
* Z1 t9 G/ V5 X1 w$ R- E: s* z0 D五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。

8 X+ q" y  r! {  K　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　
0 }! `& O! c! Q
　

　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
3 K$ ~- c6 w6 Q' k* ?4 g出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

, g) N# {7 R$ P6 g- m# N　

　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
% J: ~8 ?; |9 m4 I$ A
　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
' x! i! m1 Y3 D+ X6 g! a5 m
　　可是接下來的卻是這樣的符號：
8 n/ Z4 D- M3 L& r3 N5 w
' r& E$ e* p$ }　　　　
# v; Q) p) V: c+ N　　如果我們前面知道的符號是寫成：

% @* {  n5 k, U# F  ?　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
+ K* `4 R( d# p6 o
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

# b) `7 j( y! v' Y$ G+ d　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
+ U$ z1 i/ c0 A$ w9 I( g7 ]% [就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

, K" o  t" |" o  I% G　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
: Y+ y+ r( x2 q9 w8 s+ ?看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
4 q% r. F! r0 Q4 \! x1 |# ~
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
/ k* r3 d7 U( l$ t! Q8 [
* T* }  L9 {0 B　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

+ p' C$ t6 B9 I% n# w0 e; `　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
6 S* x# U/ W" g* h9 l
　

: E' N* s4 ~4 i" x$ B3 v7 X* D! j巴比侖人怎樣進行除法運算？

　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

' T, a# f3 u- j* `9 U2 h* \2 30 16 3,45 45 1 ,20
( H/ R/ q5 ]4 o; a% h( f3 20 18 3,20 48 1 ,15
5 v  Q7 Q& T! d. X& M# l4 15 20 3 50 1 ,12
  Z! M% p# K% A* f5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
! V5 Y5 m4 S$ E* I' j% m10 6 32 1,52,30
7 k+ d8 G: T- C12 5 36 1,40
15 4 40 1,30
+ f; c7 L" O5 s' ]% X
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

! A5 o( B* I* n0 L　　　　　　　

# D# e* W7 N8 J, {3 i: ]　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
, o4 J& \2 O" ~6 _對應 2,13,20意思就是：
2 ~2 _0 n5 c. q& L$ }3 K
% Y" h+ i/ E  x* y+ u　　　　　　 　
( \4 L$ x5 g( j! |9 C2 k$ @
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
0 H# l4 I1 H0 }/ m數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
& ^. K& z" r$ |: p/ q& m
3 V. Z5 |4 E7 f　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
9 K3 ]' b# q5 F: A式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

) d$ t! W8 K! {% [　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
% W, l% ^; f; ~4 N9 U化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
3 E& b! P  `+ e7 R' H" j
9 x/ P( y0 D! x" o% m7 a' ]8 e　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
; U4 s; d8 @0 f. S' I* ^$ H0 o$ [/ I決，這時候「倒數表」就很有用了。