选择排序

韩冰

<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。
$ [- g, t; K5 b" J, V
/ D3 [/ u6 ~9 U& ]选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。
/ D- z+ q1 P" v+ _, C2 L7 j0 R  i
选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。
+ O2 H0 g5 Y7 x! {9 v  B4 F0 Y8 w" k
* Q! ]% j: n5 Z! Y5 P可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
) e6 ~" e8 |: G; N
" d) P7 M5 ?( [% }. c$ F程序14-7 寻找第k 个元素
( |! I) e# ~, @# [4 k4 m7 z
4 B7 A% T1 h% w" jtemplate<CLASS T>

T Select(T a[], int n, int k)
( B) m' N! }6 j8 b. R& W, N
{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素
  r' H# k, W+ R* B: ^
// 假定a[n] 是一个伪最大元素

, h3 P2 B3 y# @- U2 [% D, E* Hif (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();
6 p8 E* F" }8 O$ Y2 K4 A  _9 K2 P
return select(a, 0, n-1, k);

. i+ `$ ^! Z$ u7 `: s}

template<CLASS T>
1 t% @& a4 _7 d; r6 n1 G' E6 m. I
' W) J0 t4 c2 o# R* M. `- rT select(T a[], int l, int r, int k)

2 M3 `* y- N% |5 n4 ?{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素
9 D2 Z* {+ s# E/ w- i8 x
if (l &gt;= r) return a[l];

+ s; v; K, N2 z6 _0 e* O; ]3 Bint i = l, // 从左至右的游标

3 J# X; s+ {# x! t; w; T: F/ r5 Ej = r + 1; // 从右到左的游标
* K. X& f. ^" `3 C$ H9 M
T pivot = a[l];

1 T6 _& g" z+ {  W// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换

' V0 H. U: }" ~, m& Wwhile (true) {

2 v. Q# o+ s7 J8 ?- ]do {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素

i = i + 1;
  x, K" x4 f; {( e
& U) j- g  R8 d' `. j} while (a &lt; pivot);
, k' H# |9 x* K
do {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素

j = j - 1;
0 C! j, @# |' B- N
8 `8 V# h* L4 f! V) w} while (a[j] &gt; pivot);

if (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象

: E% S4 `4 j; HSwap(a, a[j]);
8 Z. _- V6 @$ m: p' T+ Q* ^5 g
}
' R& {4 [, d6 l+ `, U5 }
if (j - l + 1 == k) return pivot;

7 {$ [3 H+ y/ @/ S. ^// 设置p i v o t

8 D" n, q; x. ~+ J0 e# A  N  Ua[l] = a[j];

$ v1 z% s$ `2 S* Oa[j] = pivot;
' w( j" I! o2 Q8 C3 T  |* \
// 对一个段进行递归调用
6 R, u" v# a/ }( b1 y
9 l* c) C6 S8 Y0 G) Iif (j - l + 1 &lt; k)
" Z" U% e0 j8 r  x! Y. i: o5 R6 X1 p8 |+ M
return select(a, j+1, r, k-j+l-1);
4 U7 M' _. W. o
else return select(a, l, j-1, k);
) ^; O( ^5 C$ Q9 Q
}

4 B" u- y6 r" j' J程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。
% p8 ]* [; n/ F6 M1 o: ^
& Y+ m7 S% z# J5 h% }例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。

& l% }; T! Q# z7 b  d, o% Y如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。

8 \0 o- U' m& z7 [$ c) e定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：

1 P5 Y$ _, s, w1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。
7 {; O+ c+ }. J  h8 i( S6 I
1 d- g9 i" n; E9 \  a2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。

证明这个定理的证明留作练习2 3。

根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：
% r, U- n2 e- f% J! [
* g% N; p+ }8 z9 L在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。

当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>