数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

& @0 H/ M, H2 O( Z

裸狗问题：

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

. s$ Y0 j, X% E; p2 D

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

" V4 o% Q! J. M. b, P5 ^0 V

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

5 `4 W& T/ o0 [7 \$ w& a! p+ C

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

' ^% M( N& A( k) b4 d D

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

: V: V1 ~! h$ u% [) ~; ~: q3 \

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

' |, d2 j2 P9 o5 f" c9 y

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

+ v. U" V; u4 g7 ^

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

考虑下面这个无穷级数：

D) a9 y$ I% A% |, m

　　1-1+1-1+1-1+……

4 s" f( i7 q/ y: B+ p 4 o; s7 S m1 G8 N2 w7 l/ h

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

) n6 _/ y9 s# a1 @1 L3 ?) V$ P

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

: g8 c$ Z1 ?! m) S6 l" ^0 i7 G3 T! P

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

' r0 u u: G6 J9 N" j

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

1 @( k6 R7 m, \$ h2 K

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

! \( m* y& z% m7 E5 _$ o- z# ~ # X! m9 x" @" B8 p4 U, y

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

$ M2 q5 o$ T4 U6 ]7 n, J

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟