任意角三等分

徐成龙

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任意角三等分法（1）

如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。

（一）三等分直角的启示

如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。
则∠BAM=∠MBN= ∠A。

: X' Q  v4 }+ T, v, @4 s) G（图1）

证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC
( g2 b' r' V# c$ O. E2 Q∵AC=AM
: b" M& T# J4 ^∴AK= AM
∵∠AKM=90°
; s6 r& _8 k3 G4 D8 u) _' w* f∴∠AMK=30°= ∠A
∵KM//AB
# A/ R9 Q0 \& B9 o* q∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A
（2）在△BAM中
0 ]% Q# U7 g; W8 t- _! x! ?) Y/ T9 M∠ABM=∠AMB= =75°
在△MBN中
, \9 c3 y3 o( ?! ?) {% h" l∠NMB=∠AMB=75°
' u% o7 [2 g) R% w6 X∠ABN= =45°
& ?: ~; M+ s2 j! M! z0 s4 X9 ?: Z( v∠ANB=180°—30°—45°=105°
# ^! P* K3 m* I  Y( A* c- I∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
∵∠NMB=∠MNB=75°
/ j, x5 A4 z: ?3 Y9 @∠ABM=∠AMB=75°
' U4 n  ]/ ^# K( S$ X# w∴△MBN是等腰△
+ d  r$ c8 q: ?1 N. z% W# J∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A
- `+ P1 g9 t$ W∴∠BAM=∠MBN= ∠A
  O" h6 ~0 D7 k) {7 m2 O3 S通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。
直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？
8 z0 q: D, k; F4 z

- d" |( ?2 q  Y( B' y

9 A# \$ ^1 O& K0 n

未完待续......

4 p- s. ~, H6 Q8 I/ r6 B$ C8 ]/ q

蓝色忧郁

只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的，只有那些特殊的角可以三等份

RoyalYun

虽然这些图很精致，也花了心血，但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题，其本质在抽象（近世）代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张，后一个问题涉及π（圆周率）的超越性。在抽象代数学中证明了，它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄，大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少，如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式（也是抽象代数学研究清楚的）、初等函数的不定积分（如概率积分）未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程（如Riccati方程）不可积等。其实，认识到了这些不可能的问题，也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费，二来可以另辟蹊径，发展更有效的工具。比如，对5次以上的代数方程，就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程，而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。

15920368411

强悍，佩服！

bua1s2d3

& \8 H% M% w: J( B6 `一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
% ]. s2 J; ?0 H　　
　　 在处理尺规作图的内容中有：
# ?( K' d$ f* q/ W4 u  j　　 三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
6 O" ]. R9 n0 O- I/ q　　 二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　
/ {/ ~1 `# ~+ e* _6 l　　 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。
　　 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。
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haoyongle

先支持一下

haoyongle

看来我懂的还很少，很少……