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看着车牌忽然想到一个题目,几次变化使之连续

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发表于 2010-6-27 15:46 |只看该作者 |倒序浏览
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看着车牌忽然想到一个题目,细一想还挺难,不知道是否属于数论分类
# y  N6 V7 W9 m# f4 o  N# S. e2 w4 m7 s
2 B+ R  I. n! F$ D0 Q
/ b  \% ]1 j: G( E比如车牌398276,需要两次变化:把2变成4,3变成5,就成为完全连续的数字了。推广开来,一共有n个不重复的整数,最大不超过max,问需要最多几次变化可以使之全部连续。
3 u% p* M4 b; B# q. |
1 x) N: D1 b" C9 m0 U4 R0 E例如上面车牌:n=6个不重复整数,最大不超过max=10,需要最多3次变化使之全部连续。
zan
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    已经能够确定的是:如果 x > (n * (n-1) + 1),表示密度太‘稀’了,这种情况下必然是移动 n - 1次,也就是说保留一个以外都得移动。
    # L) D+ K- h: W$ K1 Y& M+ G- g3 g4 h& B8 q
    另外发现一个简化公式 n - (n*n/x)。用这个公式计算的结果在一些情况有少量误差。
    + z& t0 U( K0 q/ i我也没有标准答案来判断误差,只是用随机模拟的方式,对指定的 n x 随机几百次试验确定最有可能的值,以下是代码,效率一般,但n在1000以上几百次模拟也能在几秒内搞定:7 ~4 F0 P4 O* n( k# u

    ( J# n! D5 L+ z/ o
    ( Q( K3 m, v% P0 N, F+ ~1 [C#code:
    6 S# {: ]( U8 w& j8 ?  s                private void button1_Click(object sender, EventArgs e)& b9 y2 V1 x5 X  l( g9 ^
                    {
    : d! Y  V! Z, d; B            //新的描述:编号 1 -- X 的停车位,随机停放 n 辆车,无论当前车辆怎样的位置,最少让多少辆车重新停放
    % a5 i3 C! E0 d5 ~7 u' x            //          就可以使所有车辆连续停放
    : I1 F* M; Q$ C* g$ u) W; U& x            ( ]; l% u/ v7 y1 ?9 d. w
                int n = int.Parse(textBox1.Text);3 N, H" V, n3 l" D- m2 d, b
                int x = int.Parse(textBox2.Text);, C* Q0 x" \% j4 R
    , k: W! ?: w* ~, V5 r
                //500次随机模拟的最接近数字,对比公式计算* b1 q: L8 Z+ |8 ~! R8 _5 @2 r& ?
                int maxValue = 0;( r" D6 c& c1 ], d% U8 }
                for (int i = 0; i < 500; i++)
    . ~) \2 b( L+ E1 P            {
    2 h5 ^# p. Z1 Z2 Y+ `- R                int value = randResult(x, n);
    " F: m8 x) D- z- j                if (maxValue < value) maxValue = value;
    ; s( w. c3 J1 I                lbMsg.Text = i.ToString();
    , V. b& Z4 P8 Y* q  X6 s                lbMsg.Refresh();
    6 k% H8 C  o! X7 I            }
    0 A" S9 m6 M2 `+ `! i1 z            textBox3.Text = maxValue.ToString();
    : E' ]. Q' H9 Y; g
    & M" h& d; l. N% L+ L/ B7 m$ _            //这是公式计算的结果,据观察大部分正确,少数误差也不超过 3  :)
    7 ^, Y6 S$ M2 ~) l5 _+ U            double newValue = (double)n - ((n*n)/(double)x);- m5 d' g7 c; O- e! F
                textBox4.Text = newValue.ToString();
      _$ e' p2 ^$ X+ G8 v7 y* L' d$ O                }
      z( N6 b7 K2 z6 M7 ]1 i. a+ z9 s. e& s
            private int randResult(int max, int n)
    7 I/ o- n7 h" X4 }5 s        {
    $ {/ U, D; a8 l  ]/ l" K            if(max <= n) return 0; //error, u4 ^) ?8 Q7 P. y
                if (n < 3) return 0; //error" }! A6 J# F% B
                if (max < 3) return 0; //error! \* x- f' y6 S2 L1 a+ R( H

    7 E( q7 k4 e/ N( W6 F1 Z            int[] lib = new int[max + 1];, d1 e7 l/ p2 g, V" G, y) O
                //随机产生数字来填充* X" ]4 V  J$ T# [& `7 m
                lib[1] = 1; lib[max] = 1;
    6 s( K  c0 D& F0 S( l5 b            int count = n - 2;
    6 @# i5 V) K0 P% @" z            Random rand = new Random();
    1 s3 y! g6 b! g/ z            while (count > 0)
    ; R4 j# Y4 ]& y6 ^2 P3 K% D% C            {( e# a) D1 R- D, a' ~7 i6 I! w
                    int rnd = rand.Next(1, max);
    ; j3 E/ A; }/ v8 ]( `0 l4 k                if (lib[rnd] == 0)
    0 J0 u' h2 ?, h, J0 c                {& x& r5 T  `( [! U: L
                        lib[rnd] = 1;
    / R& D3 s4 a4 J6 f- y' l& L' K: S$ y                    count--;* n5 ^) p; C) f, b/ j
                    }5 r) c/ Q6 }9 y1 |. n
                }
    ( x4 t' t4 ~2 F: U            //循环检查最密集区域,也就是需要移动最少的区域
    ) S& {  u$ H8 {5 }$ F8 t            int min_space = n;
    ( l3 X/ u/ i& q9 k9 i7 i/ A            for (int i = 1; i <= max - n + 1; i++)
    / N4 |2 E% b7 H8 I            {" g- v5 ?$ r0 `. Q9 r& z- f
                    int space = space_count(lib, i, n);
    # K! R& K' T8 z2 }6 X" D                if (min_space > space) min_space = space;  i9 p9 M0 h+ n( g' K
                }
    $ G. _) j) n' O# j7 p. G            return min_space;9 Y) `* c* ^6 W$ A- _$ o: h7 C6 O5 A
            }
    5 s- Y( c3 K& u" v6 i
    * R6 x1 z# g7 R7 |        private int space_count(int[] lib, int start, int n)% }- J7 N: B' ]4 z6 k. p
            {   //检查数组start后面n项数据里面有多少个14 a' d1 _# l8 p: |: m
                int count = 0;8 C' ~, X, f" F
                for (int i = start; i < start + n; i++) if (lib[i] == 0) count++;
    # |+ ]9 D4 L0 \3 m* d            return count;: b: h; o& I+ Y, x* v" `
            }
    1 L% ~& t* [! ^" _7 I" u
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    ) s0 }; S8 J% W" M. C. r+ ?7 M" V! i0 z& m/ N7 o6 E
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