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签到天数: 208 天 [LV.7]常住居民III
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时至新春佳节,寒假已过半,今又收钓杆。就来说说证明四色猜想的理念以及是如何严谨而简明的。 对于“三证”(巧、试、简),其理念是:根据四色猜想的限制条件与国家个数,利用肯普或德.摩根的相关结论和数学归纳法等给予其严谨简明的初等证明。可以说是一种思路两条途径,即《试证...》与《简证...》(《巧证...》中仅“其位置有m个选择”的论断不严谨,导致其证明有漏洞。快到一年了,可《科学智慧火花》仍在处理中,疑似就此欲弥补),他们来源于《巧证...》,是对《巧证...》的弥补与完善。下面以《试证四色猜想》为例,重点说说该证明是怎么做到严谨而简明的,以便读者易于理解、评论。
' L h/ t, F! H9 u( N- | 众所周知,对可用数学归纳法证明的命题,初始值易验证,归纳假设也易给出,但怎样利用归纳假设推出当n=k+1时命题也成立,虽说这一步是一个模式化的过程,一般来说是困难的,特别是对四色问题,毫不夸张地说,那是难于上青天(由于很难找到一些突破点,即恰当的切入点,历史上数学家的一些做法有任意爬高之嫌,其思路与设计的方案看似优良,影响至今)。否则,该问题也不会从1852年至今还没有书面证明得到数学界的普遍认可。: @: p. w3 ~" F( K
为了消除《巧证...》中不严密的论断,该论证引入了引理1、2、3,引理1、2由肯普提出并证明,利用他们不仅便于论证,且只需证明只含有“五个”构形的情形(《简证...》的重点是“四个”或“五个”构形的合证);引理3是“圈”着色的最优原则,利用他的目的是使重点论证的三个步骤(本质上是两步)规范化,在规范的着色模式H下,将地图上的国家一分为三,即模式中的国家,模式外的国家,模式内的国家,着色也分三步(突破点)。
, s: w# j/ b U4 o0 k (1)n的初始值是12,对这些国家的着色,先任取一国作为“中心”国,构建着色模式H,含着色;其次,对模式外的国家缘着着色模式按符合四着色要求逐个着色;再次,对模式内的一个国家着色。这样,就使得着色具有规范性和规律性,不至于着色无规律可寻,或只满足于着上色就了事的“粗糙”验证,而对于后继论证毫无用处。+ I* u6 F# i+ V. l/ |' I8 C x
(2)假设当n=k(k∈N,k≥12)时,四色猜想都成立。本来这样就可以完事,但强调了在引理3的着色模式H下,按(1)的程序和要求对地图完成四着色,并具体做出示范,这就做到了规范化。0 M# _# D4 i& k3 V- p
(3)为了能本原地利用归纳假设(模式中与模式外的国家个数是k-1),因此,在推证当n=k+1命题也成立时,模式内必须得有两个国家,且必将他们视为一个国家,而不改变其构形(关键突破点,简单。人们所采用的思路与方法繁多,但都不同于此。在探究过程中,即使偶尔“遇到”类似情况,也会擦肩而过,一般也不会这样去想,这是历史上人类智慧的一个遗憾。获得“两证”的思路与方法,主要源于理念新,思考到位,善用前人的成果。人们要弄懂“两证”,首先,要不惧权威,克服心里障碍;其次,要彻底弄懂数学归纳法递推的本质与模式化的过程,故在递推时必须要“凑成”归纳假设的“模式”;再次,除验证初始值外,要认识到其图形可以不画出模式外的国家,其实根本就无法画出,这如同我们无法写上用数学归纳法证明某等式成立中的“省略号”所表达的内容一样)。在此,用反证法解决了这个问题,将k+1个国家“变”为了k个国家,使论证可继续下去。由于“中心”国的选择具有任意性,为了降低难度,使目标性更强,因此,中心国的两个国家中必选一国有5个邻国的(突破点)。在当模式中的国家个数m是奇数时,若“真”的遇到了模式内有一国无法着色的情况(也可用反证法证),可通过调整着色模式予以解决,这时恰好原模式内的另一国的邻国个数是不小于6的偶数,以此作为中心国,重新构建着色模式,且恰到好处地将原模式中余下的两个国家中的一国与新模式中的T国视为一个国家(突破点),这样,就可合理的逼走原模式中的色3或4至原模式中的另一处,使原模式内的两个国家都能着色。详见《试证...》。第二种情形不难,略。
% Q2 r4 @6 C0 o 对同一个问题,在同一理念下,人的思考有个不断发展完善的过程。术业有专长,学习无止境。一年来,在网上见过为数不少颇有见地理论水平极高的“四色”研究者(含官科和民科,如官科有:北大的、中科大的、天大的、西北工大的等),愚欲向他们学习,但苦于专业性太强,愚的图论、拓扑等专业理论知识是一张白纸,其繁杂程度也难于接受,故目前只好借助前人的相关结论,另辟蹊径,降低高度来思考四色问题。依愚一孔之见,该问题已经过160多年大规模的探索与深入研究,在历史长河中,一些大数学家企图用图论、拓扑或组合等予以解决问题,其思路与设计的方案不胜枚举,可迄今为止仍未破解。历史事实已表明,若无新的理念和方法的创新(创新需要灵感、睿智与“机遇”),即使有相当的专业积淀与高度,欲完全按传统的思路与方法来寻求破解四色问题,恐犹如在黑暗中远征(现在官科就有几百页的证明,谁来审查?谁愿意审?审的时间会有多长?......)。
4 H9 i! { C, V' V/ O4 _ 目前,“三证”已齐聚中科院《科学智慧火花》,只能长期等待,看他们到底怎样处理。
, v' @ {8 a. o' R; i 2015年02月
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