对四色猜想的研究与回顾

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      时至新春佳节，寒假已过半，今又收钓杆。就来说说证明四色猜想的理念以及是如何严谨而简明的。      对于“三证”（巧、试、简），其理念是：根据四色猜想的限制条件与国家个数，利用肯普或德.摩根的相关结论和数学归纳法等给予其严谨简明的初等证明。可以说是一种思路两条途径，即《试证...》与《简证...》(《巧证...》中仅“其位置有m个选择”的论断不严谨，导致其证明有漏洞。快到一年了，可《科学智慧火花》仍在处理中，疑似就此欲弥补)，他们来源于《巧证...》，是对《巧证...》的弥补与完善。下面以《试证四色猜想》为例，重点说说该证明是怎么做到严谨而简明的，以便读者易于理解、评论。
      众所周知，对可用数学归纳法证明的命题，初始值易验证，归纳假设也易给出，但怎样利用归纳假设推出当n=k+1时命题也成立，虽说这一步是一个模式化的过程，一般来说是困难的，特别是对四色问题，毫不夸张地说，那是难于上青天（由于很难找到一些突破点，即恰当的切入点，历史上数学家的一些做法有任意爬高之嫌，其思路与设计的方案看似优良，影响至今）。否则，该问题也不会从1852年至今还没有书面证明得到数学界的普遍认可。
      为了消除《巧证...》中不严密的论断，该论证引入了引理1、2、3，引理1、2由肯普提出并证明，利用他们不仅便于论证，且只需证明只含有“五个”构形的情形（《简证...》的重点是“四个”或“五个”构形的合证）；引理3是“圈”着色的最优原则，利用他的目的是使重点论证的三个步骤（本质上是两步）规范化，在规范的着色模式H下，将地图上的国家一分为三，即模式中的国家，模式外的国家，模式内的国家，着色也分三步（突破点）。
      （1）n的初始值是12，对这些国家的着色，先任取一国作为“中心”国，构建着色模式H，含着色；其次，对模式外的国家缘着着色模式按符合四着色要求逐个着色；再次，对模式内的一个国家着色。这样，就使得着色具有规范性和规律性，不至于着色无规律可寻，或只满足于着上色就了事的“粗糙”验证，而对于后继论证毫无用处。
      （2）假设当n=k（k∈N，k≥12）时，四色猜想都成立。本来这样就可以完事，但强调了在引理3的着色模式H下，按（1）的程序和要求对地图完成四着色，并具体做出示范，这就做到了规范化。
      （3）为了能本原地利用归纳假设（模式中与模式外的国家个数是k-1），因此，在推证当n=k+1命题也成立时，模式内必须得有两个国家，且必将他们视为一个国家，而不改变其构形（关键突破点，简单。人们所采用的思路与方法繁多，但都不同于此。在探究过程中，即使偶尔“遇到”类似情况，也会擦肩而过，一般也不会这样去想，这是历史上人类智慧的一个遗憾。获得“两证”的思路与方法，主要源于理念新，思考到位，善用前人的成果。人们要弄懂“两证”，首先，要不惧权威，克服心里障碍；其次，要彻底弄懂数学归纳法递推的本质与模式化的过程，故在递推时必须要“凑成”归纳假设的“模式”；再次，除验证初始值外，要认识到其图形可以不画出模式外的国家，其实根本就无法画出,这如同我们无法写上用数学归纳法证明某等式成立中的“省略号”所表达的内容一样）。在此，用反证法解决了这个问题，将k+1个国家“变”为了k个国家，使论证可继续下去。由于“中心”国的选择具有任意性，为了降低难度，使目标性更强，因此，中心国的两个国家中必选一国有5个邻国的（突破点）。在当模式中的国家个数m是奇数时，若“真”的遇到了模式内有一国无法着色的情况（也可用反证法证），可通过调整着色模式予以解决，这时恰好原模式内的另一国的邻国个数是不小于6的偶数，以此作为中心国，重新构建着色模式，且恰到好处地将原模式中余下的两个国家中的一国与新模式中的T国视为一个国家（突破点），这样，就可合理的逼走原模式中的色3或4至原模式中的另一处，使原模式内的两个国家都能着色。详见《试证...》。第二种情形不难，略。
; a5 b, F6 O' a6 y9 b: T6 [7 |      对同一个问题，在同一理念下，人的思考有个不断发展完善的过程。术业有专长，学习无止境。一年来，在网上见过为数不少颇有见地理论水平极高的“四色”研究者(含官科和民科，如官科有：北大的、中科大的、天大的、西北工大的等)，愚欲向他们学习，但苦于专业性太强，愚的图论、拓扑等专业理论知识是一张白纸，其繁杂程度也难于接受，故目前只好借助前人的相关结论，另辟蹊径，降低高度来思考四色问题。依愚一孔之见，该问题已经过160多年大规模的探索与深入研究，在历史长河中，一些大数学家企图用图论、拓扑或组合等予以解决问题，其思路与设计的方案不胜枚举，可迄今为止仍未破解。历史事实已表明，若无新的理念和方法的创新（创新需要灵感、睿智与“机遇”），即使有相当的专业积淀与高度，欲完全按传统的思路与方法来寻求破解四色问题，恐犹如在黑暗中远征（现在官科就有几百页的证明，谁来审查？谁愿意审？审的时间会有多长？......）。
3 @" O2 _7 F+ g! M/ L) z$ S! z/ @      目前，“三证”已齐聚中科院《科学智慧火花》，只能长期等待，看他们到底怎样处理。
                                                                                                                                                    2015年02月
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