线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

                                         
7 O5 y: \4 f# r" P          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

2 ~/ F& E# j! j2 N/ a7 Q* F例题：

7 S* P! e, Z9 J8 \" A! j  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
' y- T8 j  B3 J' C: g  E
& z: T5 v$ c& n解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：

6 S5 Z' O/ X8 ~. `+ W
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
- X% }% Y3 a8 Y1 \* s: @
然后将已知约束关系整理如下：
6 C. |6 _. X8 f7 f* h" X( }
6 d* p, I! n& r* k可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
# t- @8 ~; E! E; yMatlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
" }$ ~, \  N' g    zeros(1,8),ones(1,4);
# C) F$ {; k3 }1 Z& d    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
9 l) S, N7 F7 f4 F! k" {8 `" x    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
) n% J, {7 v, m$ z    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
* X- b6 T" o) i8 T- G/ r: s    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
' o3 P% Y2 c2 sbeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
2 i$ s( r: U1 F6 K6 N, N题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85
' d. |7 H$ m6 @" ^2 \0 w
* Q( i3 u! ~/ Y% g, Z, ]6 W  l

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