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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。
& a! V3 d# C! T问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。: @/ a$ A0 o5 e3 `
一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:5 b; U3 _8 b2 l5 h* Y
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink); W/ d+ N. h. A4 j+ q' F% d% O
n = size(capacity, 1);
0 W# t9 k& \8 j9 `- d5 J% v* b: l7 @( I4 z% _5 c$ j6 _
% 使用最短增广路径算法9 x" w1 Y% e0 T, ?* J
[path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);$ q/ u% A& p9 ^2 M+ V- R- v
. c) I2 p, G! N4 D % 初始化流矩阵6 _. ]8 j% l7 d) Z1 I% }- O) E0 `0 g+ c
flow = zeros(n, n);; p- O" h- x& l' {/ u8 a, O
: d6 S) n# x1 B! E# ^6 A % 增广路径循环. Q# {9 t3 I! Y
while ~isempty(path)
4 a' l4 |8 ]- @! k/ J % 寻找路径上的最小剩余容量" ?8 @' m/ l5 d3 Q; _1 P
minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));/ i9 _% }+ B) `
7 ]. P1 M5 m6 R! H % 更新流矩阵和剩余容量% |- L- ^7 x: S
flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;! K9 v9 [: [' h0 S/ x- }
capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
6 C! h6 D# A( N9 ^ capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
3 P9 V' p6 S) \! {. @
9 n. Y3 u) f0 w0 t! } % 重新寻找增广路径
8 J* x+ l1 w$ p9 _9 `, w [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
5 Y0 @* o. b0 \ end
+ a: k. w+ z0 T6 K! H/ o4 J5 ?7 ~; G, ^# y" Y4 X( h# `
% 计算总流量
4 P, d/ k4 E! F8 c8 t maxFlow = sum(flow(source, );& j2 \( n9 k% [% @
end% f* M; \# L! B6 C
. S* m% |) U- l% A6 Y sfunction [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)% H" j! o0 i8 P" b9 X, [
n = size(capacity, 1);
% t& k7 ?% H& W7 F$ V1 n distance = inf(1, n);
: f9 O3 t/ N1 [4 i# F6 Z* a l parent = zeros(1, n);
: z$ v, L4 {) `( G distance(source) = 0;
# I! \3 @/ O: @6 X8 S
2 f* `7 t5 W% r" T+ @2 Z+ d& N % 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径9 j1 C/ `6 d% ]
for k = 1:n-1# m; k! g7 P8 [* t& ^1 J
for i = 1:n4 j/ A9 l: C( V9 _$ J; z6 K
for j = 1:n2 y: w) }: O- D
if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
; Q7 [9 J, f( w$ N& x; X distance(j) = distance(i) + cost(i, j);4 A8 |6 s+ R; R( ~8 c- l; z
parent(j) = i;4 O% e5 z- `/ y5 L) D) e
end* y! w" @0 w! S
end
" a% q" y! T$ D6 R) i end3 J5 P- F+ B9 f( a
end
9 R/ J# h0 e3 W
. G; _) _3 A7 }9 j- R7 z& z % 通过 parent 数组构建增广路径: P, z1 B- C+ Y# u
path = [];/ f1 f9 s+ g8 z4 H7 Z
current = sink;
# p( X- H: C) N4 S while current ~= source: b6 s# Y9 M& f0 R' n
path = [parent(current), path];
7 |9 |, o# a- E, v# ?8 T$ C* c current = parent(current);
3 s" _# V$ r6 d, P# ], l' \, a# V) b end0 D( r6 Z% q/ L* N0 d8 n* U
9 [ Q4 V+ o" ~ F- i
if isempty(path)# N y1 h& i' i5 Y
minCost = inf;4 B% R4 O' h) ^8 s' l
else* V( `9 S' k( |- N' g. a: X' B
% 计算增广路径上的最小费用
! }1 S) R# f/ R. } minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
7 `6 x/ d2 ]+ \ end
8 v/ a* K4 A, s8 S2 v$ k5 l3 R' [end
7 d" N( ?+ Y" y* \# P
& J* t* @8 S/ t# i+ T, ?这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。# C" k' L$ X' K) M
7 e L+ O$ ^7 u( p9 V' P
6 Z+ K" v; K& V3 C3 c9 W! m: r |
zan
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