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"N皇后问题"是一个著名的组合问题,其目标是在一个N×N的棋盘上放置N个皇后,使得它们彼此之间无法互相攻击。在国际象棋中,皇后可以在水平、垂直和对角线方向上移动,因此在棋盘上放置皇后时,需要确保任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
+ R/ G9 M* a7 K 具体来说,N皇后问题的规则是:
! }1 h# ^( V% q y. g1 { U/ |( p- P: u) i+ a3 H
1.每一行只能放置一个皇后。
4 l, g) j1 |$ X 2.每一列只能放置一个皇后。
& |6 V# C# a& B0 g. f( @; A7 v 3.每条对角线只能放置一个皇后。! N, m1 Y- d$ \3 U/ q
T0 u U6 Z: l3 a3 A
N皇后问题是一个经典的递归和回溯问题,它的解法要求找到所有满足上述规则的皇后布局。问题的难度在于确保在放置每个皇后时都满足约束条件,同时要考虑到适当的优化以提高算法的效率。' X3 i; q1 \ h
解决N皇后问题的一种方法是使用回溯算法,通过逐行放置皇后并检查是否满足规则,如果不满足则回溯到前一步重新尝试。这个问题的解法通常会利用递归和回溯的思想,以及对棋盘状态的合理剪枝,以降低搜索的复杂度。
8 Z; M% P. T0 q N皇后问题是一个经典的组合问题,也是算法设计和递归思想的典型例子。clear all: E u l9 @; c
clc 复制代码 这两行命令清除工作空间中的所有变量,并清除命令窗口。
* [& s- @( `/ H% Q$ o5 C %n皇后问题n=8;
7 B w0 O\" E- K* y' u6 n. Z3 J! L4 [ 复制代码 这个注释指出代码是解决N皇后问题的,并将n的值设置为8,表示棋盘的大小为8x8。chess=zeros(n,n);
6 \7 J5 H. L/ _5 m; f- v: a row=zeros(1,n); %记录n列被占用的情况! l6 Z! Z& V' ?3 b% ^! ~9 r2 A
main=zeros(1,2*n-1); %记录主对角线的使用情况5 b+ J3 m) J6 z5 f0 B* v
deputy=zeros(1,2*n-1); %记录从对角线的使用情况
/ P5 I6 }5 M\" x( A) l' o3 F7 q5 y, a ~ number=0;
5 [! Y9 {\" t1 b2 s2 @0 `5 G [chess,row,main,deputy,number]=justtry(1,n,chess,row,main,deputy,number); 复制代码 在这里,矩阵和数组被初始化。chess是一个NxN矩阵,表示棋盘,最初全部填充为零。row、main和deputy是用于跟踪特定行、主对角线或副对角线是否被占用的数组。number是解的数量计数器。然后调用justtry函数,传递初始参数。function [chess,row,main,deputy,number]=justtry(i,n,chess,row,main,deputy,number); 复制代码 这一行定义了justtry函数,它接受当前行i、棋盘大小n、棋盘chess、有关行和对角线占用的信息(row、main、deputy)以及当前解的计数number。它将在处理后返回这些变量的更新版本。
: N6 U9 q6 X. ]$ p for k=1:8
9 {8 J6 y0 [/ S
0 B$ e' S G) W7 k 这开始一个循环,迭代处理当前行的每一列(k)。. D' u, d% V2 j \4 _) @% X5 J. u. r
if row(k)==0 & main(i-k+n)==0 & deputy(i+k-1)==0
$ j% Q; l. M5 l
' M; | N8 s6 j3 I 这个条件检查当前列、主对角线和副对角线是否没有被占用。如果为真,则考虑在此位置放置皇后。 chess(i,k)=1;
. n0 x, V$ n# ? row(k)=1;* J' @( q, d, B, `
main(i-k+n)=1;4 s/ U a& Y* ]+ A2 A/ ?
deputy(i+k-1)=1;
5 S4 L5 m$ {\" w0 E2 j$ `! x 复制代码 如果条件满足,就在当前位置放置一个皇后,并更新相应的数组(row、main、deputy)来标记占用。& t8 g' [/ W+ Y/ ]* H
if i==87 R% N* H; J" J
* R: ] x. M; B 这检查是否已经到达了最后一行。如果为真,说明找到了一个解。 number=number+1;
- D. U0 x- W8 M8 W- k6 @2 P0 f7 ^ chess 复制代码 解的计数增加,并打印当前的棋盘配置。8 F2 ]$ i9 ~' ]2 |
else
( z6 @/ E! P( T( X4 t % y2 o+ \8 q( p9 [/ j2 Q* l. \
如果不在最后一行,函数继续搜索,通过递归调用自身处理下一行。[chess,row,main,deputy,number]=justtry(i+1,n,chess,row,main,deputy,number); 复制代码 用更新的参数递归调用函数处理下一行。
* p% p! S1 I: X9 x end2 L- L, t- Y9 V( h4 w5 h' x
5 G9 d, R- K: k8 y 这标志着对最后一行的条件检查结束。 chess(i,k)=0;# t/ d3 N5 x. i; s\" c
row(k)=0;
# s7 _5 H/ P x6 i$ u7 C7 k+ T$ V main(i-k+n)=0;\" l5 u$ x3 g, M. Z9 M/ X
deputy(i+k-1)=0;
6 z$ j' p. a) z\" y) q 复制代码 这是回溯的部分。如果在递归调用中找不到合适的位置放置皇后,则移除放置的皇后,并更新相应的数组,以回溯并尝试其他可能性。8 S( Z+ q0 S: G0 k
end
: S' x! c. x( y: v end* l [: n7 @3 \4 u
( {5 t4 }% c3 _' T- Z 这标志着循环的结束和justtry函数的结束。循环迭代所有列,尝试在当前行找到可以放置皇后的有效位置。
2 ~3 b( j/ P5 O. i end* F% J2 C4 o* s- E0 y
1 h" t. }- ^4 V 这标志着主脚本的结束。整个过程由使用初始参数调用justtry函数开始。找到解时,它们将被打印出来。
0 M/ g8 A' G; H' K; [3 v 9 G' z7 P: Q! W4 V3 o
7 |& z4 D @4 O 4 E1 ?' C i% R3 ]2 O7 [
3 z& d- G: L) z1 ~( S+ J
n皇后.rar
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zan