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分享 20岁生日: 高敏200799 2012-8-1 01:24; 0 个评论

分享生日概率问题: 伍上 2011-8-4 00:30; 假定一个人出生在一年365 天中任一天是等可能的，且任意两个人的生日是相互独立的。在此基础上我们考虑下面的问题。问题1：有n 个人，至少有2 个人同一天生日的概率有多大？(n≤365) 直接考虑n 个人至少有两个人生日相同的事件A 很复杂，那么通过考虑对立事件 A.. ，也即没有人生日相同的事件的概率 P(A .. )=........................….................... ........ 那么至少有2 个人生日相同的概率 P(A)=1‐P(A .. ) =1 .. ........................….................... ........ =1—A...... .. ........ 问题2：有n 个人，至少有3 个人同一天生日的概率有多大？(n≤365) 此时即使考虑其对立事件，也即没有3 个人同一天生日的事件A .. 也很复杂，因为 A.. 包括了没有人同一天生日的事件A1 和恰有两个人同一天生日的事件A2，故 A.. =A1+A2 且 A1..A2=Φ 但是A2 包括了可能只有一对两个人同一天生日，也包括了可能有2，3，4，… 对两个人同一天生日的可能。事件A2 的概率并不容易计算。从而有n 个人，至少有3 个人同一天生日的事件A 的概率不容易计算。更一般地考虑下述问题：问题3：有n 个人，至少有m 个人同一天生日的概率有多大？(m.. n，n≤365) 由问题2 的分析可知，要想通过数学计算得到精确的理论值值，是很复杂的。但是对于独立重复事件，事件发生频率与概率可以任意接近，只要实验的次数充分大。但是我们不可能也没有必要抽样调查，因为抽样调查需要对不同的群体进行大量的抽样调查才能得到频率的近似值，费时费力。由此我们想到了通过计算机的随机模拟方法获得事件发生的概率的近似值。也就是通过蒙特卡罗法得到概率的近似值。下面说明可以通过蒙特卡罗法给出事件的概率的近似值的理论依据。 Chebyshev 大数定律：设ξ1，ξ2，…，ξn，…是由两两互不相关的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限的方差，并且他们有公共上界 Dξ1.. ..，Dξ2.. ..， … ，Dξn.. ..，… 则对任意的ε .. 0,皆有 lim...... P..| .. .. Σ ξ.. .. ...... .. .. .. Σ.. E ...... ξ..| .. ε..=1 记有n 个人，至少有m 个人同一天生日的事件为A，且事件A 发生的概率为P, 由示性函数: IA=.. 1, 如果A 发生 0，如果A 不发生令ξi=IA 故ξi=0 或1。（i=1,2,3,…） ξi 1 0 P(ξi) P 1‐P 由分布列可得，Eξi=1.. P+0.. ..1 .. P.. .. P (i=1,2,3…) Dξi=p.. ..1 .. P....+(1‐P).. ..0 .. P....=P(1‐P) 所以，Dξi.. .. .. 由计算机产生随机数的方式可知，{ξi}两两相互独立，且方差一致有界。故满足 Chebyshev 大数定律的条件，从而由计算机得到的频率与概率可以任意接近，只要实验的次数足够大。但是我们不知道事件发生的概率的大小，无从给出置信区间。下面是实现代码（MATLAB 程序） function =birthn(n,m) %n个人中有m个人生日相同的概率，调用下面的birthn1函数 y=0; for i=1:100 y=y+birthn1(n,m); end y=y/100; end function =birthn1(n,m) %n个人中有m个人生日相同的概率 k=0; for i=1:1000 A=floor(rand(1,n)*365+1); B=tabulate(A);%统计矩阵A中各个数字出现的频率 x=max(B(:,2)); if x=m k=k+1; end end y=k/1000; end 对于问题“有n个人，至少有两个人同一天生日的概率”，我们可以得到具体的理论值用Pn=1 .. ........................….................... ........ 计算得到的理论值：（m=2） n 5 10 20 23 30 40 60 Pn 0.027 0.117 0.411 0.507 0.706 0.891 0.994 与通过蒙特卡罗法，得到n=5,10,20,23,30,40,60;m=2 时相应的概率值：（m=2） n 5 10 20 23 30 40 60 Pn 0.02702 0.11603 0.41064 0.50696 0.70721 0.89163 0.99453 由此可见，可以通过蒙特卡罗法得到有n 个人，至少有2 个人同一天生日的概率的近似值。下面分析问题：“有n 个人，至少有3 个人同一天生日的概率有多大？”难以计算其理论值。但是可以通过蒙特卡罗法得到n 取不同的值时相应的概率值的近似值。通过蒙特卡罗法得到：n=20,30,40,50,60,70,80,90,100 时，m=3 时相应的概率值： n 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Pn 0.0080 0.0281 0.0674 0.1265 0.2059 0.3064 0.4164 0.5341 0.6461 固定m=3，随着n 的增大，相应的概率值是递增的，故相关系数大于零。下面进一步研究m=3 时，随着n 的增大，相应的概率值Pn 是怎样变化的。描绘出散点图：线性拟合图：拟合函数:y1= 0.0083 x ‐0.2355 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 data 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 data 1 linear 二次函数拟合图：拟合函数：y2= 7.553e5 x2‐ 0.00080x‐0.0139 三次拟合函数图：拟合函数： y3=‐6.195e‐7x3+0.0001870x2‐0.006758x +0.07605 四次拟合函数图：拟合函数： y4=‐1.245e‐8x4+ 2.369e‐6x3‐6.148e‐5x2+0.001547x‐0.01553 用这4 个回归方程预测n=110,120,130,140,150,160 时相应的概率值 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 data 1 quadratic 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 data 1 cubic 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 data 1 4th degree 110 120 130 140 150 160 Pn 0.74498 0.82916 0.89121 0.9356 0.96392 0.9826 Y1 0.67375 0.75640 0.83905 0.92171 1.00436 1.08702 Y2 0.81221 0.97794 1.158786 1.35473 1.56578 1.79194 Y3 0.77132 0.88799 0.99746 1.09602 1.17994 1.2455 Y4 0.74080 0.79641 0.79487 0.71304 0.52478 0.200973 （注：Pn 是通过蒙特卡罗法得到的概率值）由上面的列表可知：上述4 个多项式回归方程只能预测自变量取值于的响应的概率值，其中δ..是某一个大于零的实数，（i=1,2,3,4）。对于远离的点，上述4 个多项式回归方程并不具有可靠性的预测。对于次数大于4 的多项式回归方程，作同样的分析可得同样的结论。由此可知，不能用多项式作回归方程预测n 取不同的值时相应的概率值。故对于问题“有n 个人，至少有3 个人同一天生日的概率有多大？”很难用一个多项式作回归方程预测对于不同的n，相应的概率值。从而对于固定的m,(m=3,4,5…)问题：“有n 个人，至少有m 个人同一天生日的概率有多大？(m.. n，n≤365)”是不能用一个多项式作回归方程预测对于不同的n,m 相应的概率值。下面分析对于固定的n,问题“有n 个人，至少有m 个人同一天生日的概率有多大？(m.. n，n≤365)”。很明显对于固定的n，随着m 的增大，相应的概率值减小。为了得到一个更加明确的关系，下面通过蒙特卡罗法得到n=100 时， m=2,3,4,5,6,7 得到相应的概率值Pm m 2 3 4 5 6 7 8 Pm 1 0.64516 0.06272 0.00348 0.00018 10‐5 0 描出散点图：这些点用光滑曲线连接起来，图像y=a+b*ecx 的形式。用MATLAB 作拟合得： y=226.904-225.884.. e....................... 下图是这个函数的拟合图 2 3 4 5 6 7 8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 由此可见函数y=226.904-225.884.. e.......................近似一条直线，由点在函数两侧分布可知，拟合的效果并不好。用最小二乘法线性拟合得到的效果图：拟合函数是：y= -0.155446428571428 x+1.02176357142857 由点在函数两侧的分布可知，拟合的效果并不理想。用二次函数作拟合拟合函数是：y= 0.05711x2-0.72656x+2.2211 2 3 4 5 6 7 8 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 data 1 data 2 2 3 4 5 6 7 8 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 data 1 linear 2 3 4 5 6 7 8 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 data 1 quadratic 因为随着m 的增大，概率值是减小的，而拟合函数在区间并不是单调递减的，故拟合的效果并不理想。用三次函数拟合：拟合的函数是： y=-0.008124x3+0.1790x2-1.2790x +2.9523 。拟合函数 y=-0.008124x3+0.1790x2-1.2790x +2.9523 的导数的图像是由此可见拟合函数y=-0.008124x3+0.1790x2-1.2790x +2.9523 在区间上并不单调。不符合随着m 的增加，概率值递减的要求。所以拟合效果并不理想。用四次函数拟合 2 3 4 5 6 7 8 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 data 1 cubic 3 4 5 6 7 8 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 2 3 4 5 6 7 8 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 data 1 4th degree 拟合函数是y=-0.005430x4+0.1005x3-0.5836x2+ 0.9164x+0.8019 因为随着m 的增大，概率值是减小的，而拟合函数在区间并不是单调递减的，故拟合的效果并不理想。对于次数大于4 的多项式回归方程可作同样的分析可知拟合的效果都不理想。从而对于固定的n,问题“有n 个人，至少有m 个人同一天生日的概率？(m.. n， n≤365)”不能由多项式或者形如y=a+b*ecx的函数作回归方程预测相应的概率值。综上所述，对于变化的n,m，问题“有n 个人，至少有m 个人同一天生日的概率？(m.. n，n≤365)”并不能用多项式作回归方程预测相应的概率值。到目前为止，解决这个问题的一个最为有效而且简单得方法是蒙特卡罗法。; 2102 次阅读|0 个评论

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