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分享微积分与极限理论: guogool 2014-2-5 09:53; 无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是 “ 研究无限的学科 ” ，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程光辉的起点：数学无穷发展的萌芽时期早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。在我国，著名的《庄子》一书中有言： “ 一尺之棰，日取其半，而万世不竭。 ” 从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的 “ 割圆术 ” ，并阐述道： “ 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。 ” 可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以 “ 割圆术 ” 为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于 3.1415926 与 3.1415927 之间的领先国外上千年的惊人成果。在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。首创风波：芝诺悖论虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说，对于只熟知有限概念的人们来说 “ 无限 ” 这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。阿基里斯悖论：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的 A 点，但甲到了 A 点，则乙已进到 A1 点，而当甲再到 A1 点，则乙又进到 A2 点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。这显然违背人们常识的芝诺悖论，因与无限问题密切相连，就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。芝诺悖论就这样一直困惑着人们，问题的症结何在呢？崭新一页：微积分学的诞生随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题 …… 初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗 …… 并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。风波再起：贝克莱悖论通往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。 1734 年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的 “ 贝克莱悖论 ” 。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为 “ 无穷小量究竟是否为零的问题 ” 就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念，在当时数学界引起了一定混乱，从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。出路在何方？发明的世纪：十八世纪微积分产生后，一方面在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论，也就是说，正确的（尤其是在几何应用上是惊人的）结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。在对微积分的取舍上到底何去何从呢？ “ 向前进，向前进，你就会获得信念！ ” 达朗贝尔吹起不顾一切奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。因而数学史家把这一时期称为发明的世纪。光辉乐章的不和谐音微积分产生之初，对基础不牢的指责，以及由此引发的争论，一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在十八世纪，它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的十八世纪后，数学建筑扩大了，房子盖得更高了，而基础却没有补充适当的强度。十八世纪粗糙的，不严密的工作导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。无穷级数 S ＝ 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1……… 到底等于什么？当时人们认为一方面 S ＝（ 1 － 1 ）＋（ 1 － 1 ）＋ ……… ＝ 0 ；另一方面， S ＝ 1 ＋（ 1 － 1 ）＋（ 1 － 1 ）＋ ……… ＝ 1 ，那么岂非 0 ＝ 1 ？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被的后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到后，令 x= － 1 ，得出 S ＝ 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1……… ＝ 1 ／ 2 ！　　由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性 …… 都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就民成为数学家们迫在眉睫的任务。重建微积分基础十八世纪富有成果然而欠严谨的工作，导致数学中出现了暂时的混乱局面。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于 1820 年研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明，使微积分学有了较坚实的理论基础，同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一，他的极限定义用了描述性语言 “ 无限的趋近 ”“ 随意小 ” ，不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的 “ε-δ ” 方法和函数极限的 “ε-δ” 方法，把微积分奠基于算术概念的基础上，获得了圆满解决。其二，他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系，这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。康托尔的不朽功绩：向无限冒险迈进十九世纪，由于众多杰出数学家的努力，微积分工具被改进为严格的分析体系。同时由于严格追问微积分的逻辑，德国数学家康托尔把无穷集合引入词汇，从而发现了无穷集这一数学新词汇，开辟出一个广大而又从未人知的世界。康托尔以其集合论的成就被誉为对 20 世纪数学发展影响最深的学者之一。他从研究 “ 收敛的傅立叶级数所表示的函数存在不连续 ” 这一事实，提出无穷集合的概念，并以一一对应关系为基本原则，寻求无穷集合的 “ 多少 ” 关系。他把两个能一一对应的集合称为同势，利用势他将无限集进行了分类，最小的无限集为可数集 a ，即指与自然数集等势的无穷集。进一步，康托尔证明实数集的势 ca ，一切实函数的势 fc, 并且对任何一个集合，均可造出一个具有更大势的集合，即是说没有最大的势。鉴于此， 1896 年康托尔根据无穷性有无穷多学说，制订了无限大算术，对各种无穷大建立了一个完整序列，他用希伯来字母表中第一个字母阿列夫来表示这些数。于是，直至无穷。无穷集合自身又构成了一个无穷序列。所谓楼外有楼，天外有天了。这就是康托尔创立了超限数理论。康托尔的工作，在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其它都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作，称 “ 康托尔走进了超限数的地狱 ” ，更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为 “ 雾中之雾。前后经过 20 余年，康托的工作才最终获世界公认，并赢得极大赞誉。罗素称赞说： “Cantor 的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。 ” 希尔伯特称其超限理论为 “ 数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。 ” 康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中，无穷集合是被看作一个现实的，完成的，存在着的整体，是可认识，可抓住的东西。他的无穷集合理论令世人耳目一新。中途的辉煌极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上，而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来，实数论的融贯性就归于集合论的融贯性，归结到集合论，看来数学绝对严格的目的要达到了。 1900 年在世界数学家大会上，著名数学家庞加莱郑重宣布： “ 现在我们可以说，数学最终的严格性基础已经确立了。 ” 表达了数学家们欣欣自得的共同心情。尤其通过康托尔的工作，数学家们找到了营造数学大厦的基石：集合论。而他的无穷集合，也就成了数学家们的伊甸园。这样，从微积分诞生之日起，数学家们历经 200 多年的艰苦努力，终于迎来了辉煌的胜利。一波三折：罗素悖论的提出及解决正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了数学界。 “ 集合论是有漏洞的！ ” 这就是， 1902 年，罗素得出的结论。罗素构造了一个集合 U ， U 由所有不属于自身的集合组成， U 显然存在，但 U 是否属于自身呢？无论回答是否都将导致矛盾，这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，然而它却动摇了整个数学大厦的基石：集合论。 “ 绝对严密 ”“ 天衣无缝 ” 的数学，又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。原本已平静的数学水面，因罗素悖论的投入，又一石激起千重浪，令数学家们震惊之余有些惊慌失措，这就导致了数学史上所谓的 “ 第三次数学危机。 ” 危机是由康托尔研究的无限集合引发的。危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。 1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称 ZF 公理系统，使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上，从而避免了罗素悖论的产生，在表层上解决了第三次数学危机。柳暗花明又一村：无穷小重返数学舞台 17 世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学，用了无穷小量的概念，但因对其解释含糊不清，出现了贝克莱悖论，导致数学史上的 “ 第二次数学危机 ” ， 19 世纪，柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论，使微积分理论严格化，从而避免了贝克莱悖论，圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时，极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为 “ 消失了量的幽魂 ” 被排斥在数学殿堂之外了。 1960 年，美国数理逻辑学家 A 鲁滨逊指出：现代数理逻辑的概念和方法为 “ 无限小 ” 、 “ 无限大 ” 作为 “ 数 ” 进入微积分提供了合适的框架，无穷小量堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，被认为是 “ 复活了的无穷小 ” 。这样微积分创立 300 年后，第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史，无穷小分析法 ―― 极限方法 ―― 无穷小分析法，否定之否定，微积分学基础获得了进一步发展。实无限、潜无限认真考察无穷在数学中的发展历程，可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念：实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指： “ 把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。所谓实无限思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，实无限在数学中统治了三个世纪。 17 世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体 , 一个对象，正因此，早期微积分又被称之为 “ 无穷小分析 ” 。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于 “ 无穷的交响乐 ” 。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以 “ 无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到 ” 的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪六十年代， A 鲁滨逊创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其，在康托尔的无穷集合论中，体现的也是 “ 无穷集合是一个现实的、完成的 “ 存在着的整体 ” 的实无限思想，这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成 “ 双峰对峙 ”“ 炮马争雄 ” 的局面了。那么，无穷到底是实无限，抑或是潜无限呢？两种无穷思想在数学上经历过 “ 江山代有才人出，各领风骚数百年 ” 的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊路同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开 “ 两虎相争，必有一伤 ” 而走向 “ 平分秋色，辉映成趣 ” 了。当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。如同我们所熟悉的 “ 金银盾 ” 的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是 “ 一面是金，一面是银 ” ，数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限，但对无穷的认识只能是 “ 无穷既是实无限，又是潜无限 ” ，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无限，另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是 “ 非此即彼 ” 而是可以 “ 亦此亦彼 ” 的。潜无限作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定，是否定之否定。诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论：实无限、潜无限只是一枚硬币的两面罢了。 ―― 这倒并非是哲学的玄奥思辩，而是辩证法为我们上的生动一课。结语 “ 数学是研究无穷的学科。 ” 数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说，人的认识总是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。并且在数学中，无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。从数学产生之日起，无穷就如影如随，伴着数学的发展齐步前进。尤其当微积分产生后，数学与无穷的联系就更紧密了。恩格斯说： “ 莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。 ” 诚如恩格斯所言，从唯物辩证法角度来看，数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃，就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。微分和积分实质上都是一种极限，而极限过程就是无限过程。因此可以说，微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑，另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。然而 “ 无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。 ” （希尔伯特语）因为征服无穷的路毕竟是这样地难行。在数学无穷发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论是一次次出现：芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，建立的极限论、实数论、 ZF 公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除，矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义 “ 一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。 ” 然而其一揽子解决方案在 1930 年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白：任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途是漫漫无际的。然而数学中没有不可知！经过一代代人的努力，人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度！; 539 次阅读|0 个评论

分享印度数学家遗留神秘函数猜想被证实: 月下客 2014-1-10 20:04; 印度著名数学家斯里尼瓦桑·拉马努金（ Srinivasa Ramanujan ）曾在临死前写下源于他梦境的神秘函数，并称对此函数的特性存在强烈的直觉。经过 90 多年的时间，研究人员近日表示，他们证明了拉马努金的直觉是正确的。美国 Emory 大学数学家肯恩 ? 小野（ Ken Ono ）表示： “ 我们破解了他最后几封神秘信件中的问题。对于数学领域的研究人员来说，这个问题存在了 90 多年。拉马努金是一位自学成才的数学家，出生在印度南部的一个村落。他的大部分时间都在思考数学问题，这导致他曾两次从大学辍学。他曾给数学家们写信描述自己的工作，其中包括最杰出的英国数学家哈代，后者发现了拉马努金的数学天赋并邀请他赴英国剑桥大学合作研究。在剑桥期间，拉马努金发表了 30 多篇文章并被选为英国皇家学会会员。 1920 年在他临终之时，他在写给哈代的信中写下了模仿 ? 函数，或者称模形式的神秘函数。与正弦函数和余弦函数这样的三角函数相类似， ? 函数存在一个重复的模式，但这种模式比一个简单的正弦曲线更加复杂和微妙。 ? 函数同样是 “ 超级对称 ” 的，这意味着倘若将一个名为莫比乌斯变换的特殊数学函数应用到这个函数里，它们将不变。因为它们是如此对称以至于这些 ? 函数在很多数学和物理类型中，诸如弦理论，都非常有用。拉马努金认为，他发现的 17 个新的函数当写成无限求和的形式时，这些新函数将变成类似 ? 函数的 “ 模拟模形式 ” ，但却并非是超级对称。拉马努金，作为一名虔诚的印度教徒，认为这些模式是娜玛卡尔女神给他的启示。拉马努金还没来得及证明他对这些函数的直觉猜想就去世了。 90 年后，小野和他的研究小组证明了这些函数的确模拟了模形式，但并不具有模形式的典型特征，比如超级对称性。模拟模形式的阐述能够帮助物理学家计算出黑洞的熵或者混沌程度。在发展模拟模形式方面，拉马努金远超前了他所处年代几十年的水平，小野说道： “ 在 2002 年数学家只能查明这些方程式属于数学的哪个分支而已。拉马努金的传奇，比他去世时任何人能够预想到的还要重要的多。 ” 这项发现发表于上个月美国福罗里达大学的拉马努金 125 会议（纪念拉玛努金诞辰 125 周年）上。; 465 次阅读|0 个评论

分享华人数学家首次证明存在无穷多有界素数对: 月下客 2014-1-10 20:02; 据《自然》杂志网站报道，来自美国新罕布什尔大学的华人数学家张益唐教授日前证明了一个弱版本的孪生素数对猜想：存在无穷多个之差小于 7000 万的素数对。从而在解决孪生素数猜想这一数论著名猜想的道路上前进了一大步。对于长期从事孪生素数对猜想研究的科学家来说， “2” 是最终的答案，即存在无穷多个之差小于 2 的素数对，然而他们正在庆祝的却是这个数值从无穷大降至 7000 万的结果。虽然目前并不从事这项研究，但是加州圣荷西州立大学的解析数论专家 Dan Goldston 教授评论到：这离最终目标只有 “ 三千五百万 ” 了，每缩小一段范围，都是在获得终极答案的道路上踏上一个脚印。素数是指只可被 1 和其本身整除的数字。当数字很小时，素数很常见。但当数字逐渐变大时，素数出现的频率越来越低。平均意义上说，两个相邻素数之间间隔将变的越来越大。但是孪生素数却是个例外，两个相邻素数之间差距为 2 。例如常见的孪生素数： 3 和 5 ， 17 和 19 ，或者 2003663613×(2^195000)?1 和 2003663613×(2^195000)+1 。孪生素数猜想是指存在无穷对孪生素数。这个猜想由古希腊数学家欧几里得提出，被认为是最古老的未解决的数学问题之一。到目前为止，多种尝试证明此猜想的方法都不甚奏效。一个重要的里程碑是 Dan Goldston 教授及两位同事提出的：存在无穷多个之差小于 16 的素数对。但是哥伦比亚大学大学数论专家 Dorian Goldfeld 教授指出这个推论是建立在尚未证明的猜想之上的。在最新的研究中，张益唐教授在不依赖任何未经证明猜想的前提下，发现存在无穷多个之差小于 7000 万的素数对。虽然 7000 万貌似一个非常大的数字，但是任何有限界的存在，不管数字多大，都意味着相连素数之差并不是一直增长的。而且从 2 到 7000 万的跨越与 7000 万到无穷大的跨越是不可同日而语的。 Goldfeld 教授称这是一个令人非常震惊的结果。张益唐教授于 5 月 13 日在哈佛大学向若干专家介绍了他的研究成果。这项研究工作看上去使用的是标准的数学工具，这就导致了许多人去思考为什么张教授能成功而其他人却失败了。然而数学年刊 (Annals of Mathematics) 的审稿报告指出：文章的主要结果是一流的，作者在素数分布问题上给出了一个里程碑式的结果。审稿专家非常乐意推荐这篇文章发表在数学年刊上。 Goldston 和其他得到复印本的专家都认为这篇文章给出非常好的结果且没有明显错误。就其本人而言，张益唐教授是从自去年七月在一个朋友处访问时获得的灵感开始这项工作的。他希望文章使用的数学工具可以将 7000 万变小。虽然 Goldston 教授并不认为沿着这条路可以一直减小到 2 从而证明孪生素数猜想，但是他说证明存在一个确切的界本身就是个巨大的突破。他说： “ 我过去一直怀疑我是否可以活着看到这个结果。 ” 在进行一些微小的整理之后，张教授将在本周重新提交这篇论文。; 729 次阅读|0 个评论

分享华人数学家破译孪生素数猜想影响或超1+2证明: 月下客 2014-1-10 20:01; 张益唐是个对数字 “ 极其敏感 ” 的人，他能把大学同班同学的出生日期背得 “ 滚瓜烂熟 ” ，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。　　同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受过这样的 “ 待遇 ” 。但他发现，七八年前张益唐突然 “ 消失 ” 了。因为，从那时起，他再没收到过张的生日祝福， “ 给他发邮件也没再回过 ” 。　　 5 月 16 日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词： “ 谢谢 ” 。在接受中国青年报记者采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向他发去邮件道贺。　　 5 月 14 日，《自然》（ Nature ）杂志在线报道张益唐证明了 “ 存在无穷多个之差小于 7000 万的素数对 ” ，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的 “1+2” 证明。　　在此之前， “ 年近 6 旬 ” 的张益唐在数学界可以说是个名不见经传的人。　　多年前曾与张益唐接触过的浙江大学数学系教授蔡天新也以为 “ 他早从数学圈消失 ” 了，蔡说已经 “ 近 30 年没他的消息了 ” ，没曾想 “ 他突然向孪生素数猜想走近了一大步 ”—— 　　素数是指正因数只有 1 和本身即只能被自身和 1 整除的正整数， “ 孪生素数 ” 则是指两个相差为 2 的素数，例如 3 和 5 ， 17 和 19 等。而随着素数的增大，下一个素数离上一个素数应该越来越远，故古希腊数学家欧几里得猜想，存在无穷多对素数，他们只相差 2 ，例如 3 和 5 ， 5 和 7 ， 2003663613×2195000-1 和 2003663613×2195000+1 等等。　　这就是所谓的孪生素数猜想，它与黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样让无数数论学者为之着迷。　　数学家需要做的，是一个证明！　　然而，人们甚至不知道它的 “ 弱形式 ” 是否成立，用《数学文化》主编、香港浸会大学理学院院长汤涛的话说就是 —— 能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数，在孪生素数猜想中，这个正数就是 2 。　　张益唐找到的正数是 “7000 万 ” 。　　尽管从 2 到 7000 万是一段很大的距离，《自然》的报道还是称其为一个 “ 重要的里程碑 ” 。正如美国圣何塞州立大学数论教授 Dan Goldston 所言， “ 从 7000 万到 2 的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到 7000 万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。 ” 　　此前， Goldston 及其两位同事提出，存在无穷多个之差小于 16 的素数对，给这项猜想写下一个重要里程碑。但是，该推论尚不知如何证明。　　 5 月 13 日，张益唐在美国哈佛大学发表主题演讲，介绍了他的这项研究进展。《自然》的报道称，如果这个结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。换言之，张益唐将给孪生素数猜想证明开一个真正的 “ 头 ” 。　　有人打了这样一个比方，张所做的工作，相当于 1920 年挪威的布朗证明了 “9+9” ， “ 开启 ” 了哥德巴赫猜想的证明，接下来科学家们陆续证明了 “7+7” 、 “6+6”…… 直到 46 年后的陈景润证明攻下离 “1+1” 一步之遥却或是最难的 “1 ＋ 2” 。　　今天，沈捷正在武汉参加国际数学模型与计算研讨会，他告诉记者，他从会上获悉的评价是 “ 这可以说是华人数学家有史以来证明最好的结果。 ” 　　张益唐在北大的研究生导师、著名数学家潘承彪听闻这一消息后 “ 十分高兴 ” ，他随即给蔡天新发信并附上审稿人、美国科学院院士 IWANICE 的评价：证明无误、非常漂亮，相信不久会有很多人把 “7000 万 ” 这个数字 “ 变小 ”…… 　　根据加拿大滑铁卢大学统计与精算学系助理教授王若度的说法，世界顶级数学期刊《数学年刊》（ Annals of Mathematics ）将准备接受张益唐作出证明的这篇文章，审稿人还评价 “ 其证明是对的，并且是一流的数学工作 ” 。　　学界沉浸在一场重大发现的狂欢中。　　与此同时，人们却惊讶地发现，除了这篇自然报道，不管是通过哪种搜索引擎，都很难找到有关 “ 张益唐 ” 个人的信息 —— 　　 “ 张益唐，华人数学家。 1978 年进入北京大学数学科学学院攻读本科， 1982 年读硕，后在美国新罕布什尔大学任教 ” 。 5 月 15 日，也就是自然杂志报道发出的第二天，不知在哪位网友的编撰下，这位被称作 “ 一夜成名 ” 的科学家有了这样的百科介绍。　　当天，北京大学官网证实了这一信息，并称 “ 北大数学科学学院 78 级校友张益唐在孪生素数研究方面取得突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式 ” 。然而，针对张个人经历的介绍也是只言片语。　　很明显，张益唐从北大硕士研究生毕业， 1992 年在普渡攻读博士学位后，这位数学研究者去干了什么，则鲜为人知，甚至 “ 连他现在是哪国国籍我都不知道 ” ，沈捷说。　　即使是在衡量基础研究的论文阵地上，张益唐也显得异常 “ 低调 ”—— 在国际数学领域重要的检索系统 Zentralblatt MATH 数据库中，他名下只有两篇文章，一篇是 1985 年发表在国内的《数学学报》上，另一篇是张 2001 年在美国时发表在《 Duke Math 》上。　　这也被一些学者分析是 “ 张益唐到目前仍然没有拿到美国大学终身教职 ” 的原因。今天，新罕布什尔大学向中国青年报记者证实了张益唐的教职为 “ 讲师 ” （ lecturer ），并已经在该校数学系 “ 待了将近十年 ” 。　　美国的 “ 讲师 ” 说白了就是临时教学职位， “ 收入比起同资历教授（包括助理教授）差很多，教学任务也远远比教授们重。 ” 王若度说， “ 从科研上来说，则是完全得不到任何支持。例如我所在的学校，讲师往往由不具有博士学位的教师来担任，教学任务是普通终身教职系统内教员的两三倍。 ” 这意味着，张益唐的科研时间 “ 很难得到保证 ” 。　　 “ 他就是执着于攻大难题，不肯干小的。 ” 张益唐的另一名同班同学、著名作家王小东说， “ 我认为他是唯一一个数学天分比我高的同学。曾十分坎坷，现在终于有了成就！ ” 　　这一点与沈捷的印象一致，他和大学时住在其隔壁宿舍的张益唐是 “ 非常要好的朋友 ” 。据他回忆，当时，不管是上课还是考试，年龄比他大 4 岁的张益唐总是 “ 领先一截 ” ， “ 他很爱自学，我们难题解不出来，都找他 ” 。　　沈捷说，他虽然很有才华，但更靠自己的汗水，如果说一个天才做出这样一个成果，或许是碰巧，但他不一样， “ 他可是一直在做这个！ ” 而且， “ 他读书很多，对历史很有见解 ” 。　　至于经历上的 “ 坎坷 ” ，则是去美国以后的事了 —— 　　沈捷回忆，在普渡大学攻读博士时，张益唐师从一位代数几何方面的华人学者， “ 他其实最感兴趣的还是 ‘ 纯数字 ’ ，就像数论，但他之所以选择这个专业，我猜想多半是因为出国前不太懂国外（在专业上）的安排。 ” 沈捷说。　　然而，在作博士论文时， “ 不服输 ” 的张益唐还是选择了被称作代数几何领域最难攻破的 “ 雅克比猜想 ” 。　　最终，他做出一个 “ 结果 ” 来，但 “ 并未发表 ” 。沈捷告诉记者，在他的印象里，张益唐最终拿到了普渡大学的博士学位，但博士论文 “ 因为自己不满意而没有发表 ” 。　　那年是 1992 年，是沈捷眼中张益唐最难熬的一段时间， “ 找工作四处碰壁，就因为没做出短期的好成果来 ” 。　　沈捷记得，张益唐毕业以后，把全部家当放到房车里，便开着车去多个大学一边求职，一边 “ 讲这个结果（指雅克比猜想的成果） ” 。其中一段时间，张益唐还来到沈捷当时任教的宾夕法尼亚州立大学。 “ 他住我这边的那段时间，我能真切地感受到他追求 ‘ 完美 ’ 的性子，有一位教授评价他做出的是雅克比猜想证明中最好的一个，但因为其中一个细节未完全搞清楚，就被他看作是 ‘ 一般的成果 ’ ，死活不愿意发表。 ” 　　当时，包括王小东、沈捷在内的同班同学还知道的一件事是，曾任他们数学系主任的著名数学家丁石孙 “ 非常看重张益唐 ” ，并 “ 力邀他回北大 ” ，但张最终还是没回来。　　沈捷后来了解， “ 有人说他是要面子，我觉得他是不甘心，自己觉得没做成一些成绩就回国，太不甘心。 ” 　　他并非陈景润式 “ 性格孤僻 ” 的数学家，沈捷告诉记者： “ 他尽管有一点自负，毕竟很聪明，但是他待人很亲和。在我看来，他除了太痴迷于数字，其他和我们都一样。 ” 　　事实上，在今年 5 月 1 日，新罕布什尔大学就在其官网登出了张益唐要发表孪生素数这一成果的消息，上面写着：经过多天数学界的持续关注，张益唐更愿意回到他此前 “ 不为人所注意 ” 的状态。　　 “ 我其实是个害羞的人。 ” 张益唐说。; 351 次阅读|0 个评论

分享德国数学家德乐思教授获中国科学技术国际合作奖: 月下客 2014-1-10 19:20; 2 月 14 日，德国数学家德乐思教授（ Andreas Dress ）在人民大会堂荣获中国科学技术国际合作奖。该奖项授予对中国的科学技术发展有杰出贡献的外国人或者组织。德乐思教授曾是上海计算生物学研究所所长，该研究所是中国科学院和德国马克斯普朗克学会合作共建。德乐思教授因他在建立计算生物学研究所方面的杰出贡献被授予此奖。白皮肤蓝眼睛，头发花白，衣着随便，中国科学院上海生命科学研究院计算生物学研究所有位可爱的德国老头：读起书来，手持放大镜在厚厚的书丛中一页页摸索，眼睛 “ 贪婪 ” 地紧贴上去；生活在中国，吃食堂、听京戏，爱读中国历史书，心中的偶像是中国明末数学家、天文学家、农学家徐光启，清明节还会去徐家汇的光启公园 “ 扫墓 ” 。他就是上海生科院计算生物学研究所的第一任所长 Andreas Dress ，中文名叫德乐思。德乐思教授早期是一位著名的数学家，曾因创立了利用图论研究周期拼砌（ periodic tiling ）的方法而名扬世界数学界，后来兴趣转向计算生物学。 2005 年，时年 67 岁的德乐思教授受中德双方的聘请来到中国，组建并领导以新兴交叉学科 —— 计算生物学为研究领域的合建研究所。在中国的 5 年，他远离亲人，心系中国科学，开展了广泛的国内国际学术交流。建所之初，德乐思利用自己的学术声望和专业影响力，组织近 10 次大型国际学术研讨会，邀请国内外近 200 位计算生物学及相关领域的知名学者和专家来到中国开展学术交流，并快速催生了一大批科研合作项目。在他的带领下，研究所在 Science 、 Nature Technology 等杂志上发了 100 多篇 SCI 文章，在由国际顶尖学者组成的学术委员会评估中，受到高度评价。走进德乐思教授的办公室，书桌上一台 29 英寸的显示屏显得很奇怪。原来，酷爱科研的他曾因眼底出血几乎丧失视力，为了便于处理邮件和文件，特意配置了一台大大的电脑显示器。探讨起学术问题来，蜚声中外的大科学家从不摆谱，邮件一定及时回复，学生有一点努力就要表扬。他还乐于给大家调制家乡红酒，然后一边往嘴里扔花生豆，一边聊科学。难怪所里的年轻人喜欢称他 “ 我们所的外国老爷爷 ” 。 2010 年，退休离开中国时， “ 老爷爷 ” 特意带回去一套仿明家具， “ 希望坐在德国家里也能时时感受中国风格，就像回到了自己科研生涯中的第二故乡 —— 中国上海。 ”; 个人分类: 数学|472 次阅读|0 个评论

分享澳大利亚19名数学家组团赌博狂赢24亿: 朱世奔 2012-9-23 07:59; 简介：图为“庞特俱乐部”成员之一澳大利亚塔斯马尼亚岛的职业赌客大卫·瓦尔士。俗话说“十赌九输 ”，但令人惊讶的是，澳大利亚19名天才数学家竟组成了一个名为“庞特俱乐部”的“高智商”赌博集团，利用 ... 关键字：澳大利亚数学家赌博图为“庞特俱乐部”成员之一澳大利亚塔斯马尼亚岛的职业赌客大卫·瓦尔士。俗话说“十赌九输 ”，但令人惊讶的是，澳大利亚19名天才数学家竟组成了一个名为“庞特俱乐部”的“高智商”赌博集团，利用他们对数学的专业知识，在世界各国的赌场和博彩业疯狂赌博！而在短短3年时间里，堪称“十赌九赢”的他们竟总计赢取了超过24亿澳元(约156亿人民币)，令他们全都摇身变成了超级富翁！直到不久前，当19名数学家在赌场上的成功引起澳大利亚税务局的注意、并指控他们逃税高达9亿澳元后，才终于令这个神秘的“高智商”赌博集团浮出水面！ 19名数学家组建赌博集团据澳大利亚《先驱太阳报》、《悉尼先驱晨报》、《每日电讯报》7月8日报道，这个神秘的“高智商”赌博集团名叫“庞特俱乐部”，由19名澳大利亚天才数学家组成，年龄均在47至50岁之间。据悉，澳大利亚媒体仅披露了其中部分人的身份，包括一名以香港为基地的49岁南澳大利亚扑克高手大卫·斯泰基、以及3名澳大利亚塔斯马尼亚岛的职业赌客大卫·瓦尔士、乔治·马马卡斯以及泽尔吉克·拉诺嘎杰克。据悉，这19名数学家中的大部分人，多年前在澳大利亚塔斯马尼亚大学修读数学专业时就已认识，此后就成了关系密切的“铁哥们”。2004年，这19名数学家竟组成了一个“高智商”赌博集团，利用他们对数学的专业知识，在世界各国的赌场和博彩业疯狂赌博！靠数学知识演算“逢赌必赢”秘笈令19名数学家惊喜的是，虽然他们所掌握的那些高深数学知识在现实生活中似乎派不上多大用场，但竟然出人意料地在赌场上显现出了巨大的威力！据悉，19名数学家参与的大多是赛马、赛狗以及21点之类的赌博项目。而每次下注之前，他们会利用自己所精通的专业数学方法对各种中奖的概率进行推理演算，从而研究出某种“逢赌必赢”的秘笈！据悉，从2004年到2006年期间，19名数学家每年投注额达20亿澳元，而在短短3年时间里，堪称“十赌九赢”的他们竟总计赢取了超过24亿澳元(约156亿人民币)，令他们全都摇身变成了超级富翁！令人羡慕不已的是，过去几年来，这个“高智商”赌博集团里的所有成员全都过着无比奢华的生活，他们不仅住着价值千万的豪宅，而且豪宅内甚至还有私人艺术馆、私人保龄球场！奢华生活引税务局注意逃税9亿澳元遭秘密调查然而，正所谓“树大招风 ”。不久前，“庞特俱乐部”这19名数学家在赌场上的惊人成功以及他们的奢华生活终于引起澳大利亚税务局的注意，并对他们展开了秘密调查。让调查人员倒吸一口凉气的是，尽管19名数学家总计赢取了超过24亿澳元，但他们却几乎从未为这些巨额意外收入交过税。他们逃税金额可能高达9亿澳元！澳大利亚税务局指出，由于“庞特俱乐部”的赌博行为带有专业性质，因此不适用澳大利亚法律的“赌博收入免税”条款。法庭文件显示，税务局对“庞特俱乐部”的14名成员查帐后发现，该集团多年来一直通过各种复杂的手法逃税，企图让当局以为他们获利不高。此外，这19名数学家还故意销毁赌博纪录，或者运用计算机加密软件，让司法机构难以起诉他们。据悉，目前“庞特俱乐部”中至少3名成员——澳大利亚塔斯马尼亚岛的职业赌客大卫·瓦尔士、乔治·马马卡斯以及泽尔吉克·拉诺嘎杰克正在接受调查，并收到了巨额税单。尽管3人均称他们并无任何隐瞒收入、偷税行为，但澳大利亚税务局已分别向法院对这3人提起诉讼，并要求他们必须补缴9亿澳元税款。据悉，如果税务局胜诉，将首开澳大利亚向“专业赌客”征税的先例。; 个人分类: 新闻|365 次阅读|0 个评论

分享丘成桐投身数学不为稻粮谋: 逸兴揽月 2012-6-28 09:06; 华裔数学家丘成桐解决了一系列数学猜想和重大课题，于世界数学事业推进裨益至巨，以他的研究命名的卡拉比——丘流形，在数学和理论物理研究上发挥了重要作用，年仅34岁就获得了世界最高数学奖——“菲尔兹奖”，成为声名绚烂的华人数学界领袖。可是丘成桐当初选择学业时，数学却是没人愿意沾边儿的冷寂课本，学子们纷纷投身能赚钱的工程学，甘于苦径跋涉的丘成桐则难免有些傻气的，佶屈聱牙的非线性偏微方程极为深奥，听课的学生都跑光了，空荡荡教室里仅剩丘成桐一人悉心研读。丘成桐回忆道：“老实讲我当时很用功，做学问不用功不行。我早上八点多到办公室，到晚上十一点多才走”，“上课分好几个地方，我常常从一个地方跑到另一个地方，有时候连吃饭的时间都没有。”埋首枯燥乏味的拓扑学、几何、微分方程、数论、组合学、概率等艰深课题中，锲而不舍研索长达20多年，屡败屡战不轻言放弃。痴心于学术不为稻粮谋的丘成桐，与钱袋膨胀而才学萎缩之人相比，其荣枯休戚，自是不可同日而语。丘成桐为培育更多数学人才，乃至放下数学大师身段四处奔波募捐办学育人，将募集到的上亿元人民币全部用于教学，自己兼职讲学20余载却不要分文报酬，应邀讲学的所有差旅费都是自掏腰包，将节省下来的个人钱财包括讲课费、稿费300万美元皆慷慨捐献，还捐献50万美元的图书及6万册书籍。; 个人分类: 名人逸事|378 次阅读|0 个评论

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