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2009年,中国大学生数学竞赛(通称为“全国大学生数学竞赛”)开始举办。该比赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。/ X" h" o& I1 h0 A4 I: W
竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。5 r3 t; V9 Q" F/ t! D! ]/ [
竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 1 ?( |, ^ g2 l3 K- s
/ ^* l% [/ n# r! ?
(2009年首届全国大学生数学竞赛) 3 h6 C7 h5 S, P# A) g
- Q6 ]. o( v% b 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。
9 ?$ e r- ]1 r" i$ e
; [/ P& _" B9 N. j3 Z- W 一、竞赛的性质和参赛对象
& N" M' n4 c$ ^: [9 g, f
6 y! m' d: g E8 @5 J “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。
; X: V+ L7 ~# \# `% h$ Z+ W% N+ [) `; U F7 h
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1 p% q! S# F5 E8 i7 y
& i, `. k0 R8 k7 E* R 二、竞赛的内容 * i; r7 H0 r, ?+ X0 V( W# B
' l }5 K0 e) A( {! E “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
; Q$ ]1 ]# B: d" n' j& m, W& F6 d
0 }' U/ T, r& R; d4 o. H (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下:
8 V# R% H) h3 e/ w& O9 R W# O' m
$ q% r% Q/ q W& i' f1 p Ⅰ、数学分析部分 / m1 J+ d# x' W2 I$ _" N: K
1 t3 O" ~3 W. ^
一、集合与函数
' `7 T" ?2 Q- E- }) v' s7 j6 U: O; ~
; I' j' n! ?# q2 w; w8 ~ 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 8 k+ l: k+ I& w# z
' {+ W" D. Z' A! z: v 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广.
" v9 r: X+ n1 r! X9 t% d$ L. w8 ] E6 F1 v" c
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 8 M+ ]% c, ^* h' y- M- B
* v( h6 I9 ], k5 O
二、极限与连续
5 b% f3 Y7 E9 q W, F2 l
- \+ q# P9 F" |/ W5 R. A/ Y 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).
6 L) I) ?$ U% O# Z. t( }) f! G6 b! L/ m: S h1 h
2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用. # M) L' E ~9 w' s$ \( g
' t* q- X" C* K. A0 H
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系.
% a, y- z _, e) O" q( @1 N6 v! U4 V r
4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).
( t+ ]' Q' u& }4 F* k; U0 R" W, \5 A6 ^6 N
三、一元函数微分学
% Q. f3 d# C; V& k0 U* O9 \ ?2 E9 c* n% |1 b
1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 4 l- A6 t1 B y \
# k8 T" ^* a/ S/ Y5 G3 B( |& U 2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
8 g3 g0 H2 J1 d" X* v" N
6 T( E% Y, _9 K: A 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.
& N; x/ I. B& h& h8 k' a3 [" N6 s$ F8 S% K- ~' u6 r+ k- m
四、多元函数微分学 * V! M4 ?* z. z( M2 G. S4 O1 b0 m5 H
! U$ W6 y9 }% z! |9 ~ 1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式. n6 r0 C0 h8 _( X, G) B' D
+ E+ c8 t7 n: S. ?. B% J( Z 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.
, d( n5 X' s, @; M$ f
5 O& w1 e8 {* z( D' R 3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).
9 D: ]5 N3 M3 [* m) L3 V
( l) @* x1 t6 U- }9 J1 H9 a7 j 4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法. _% a2 r/ R7 O( I5 {4 [$ A
) b. i4 C4 }" a4 J7 T3 z8 i
五、一元函数积分学 % z) ^5 f+ j( N- v2 }" |
1 t$ w9 r, Q) o2 H$ ^% L+ N' j 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型.
: W( A9 g% s, s) d4 L7 P% H" {* a. \6 m6 q% o, O
2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类. , t; v5 U" F$ z5 l# `4 |
+ Q+ o* N: v k' g; l& j* \* G) Y
3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 7 }7 s: C, {0 [* P m w
0 G. T: d/ m! R8 x8 P 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
) m7 @6 a, H/ j6 g/ T+ `. ~# X( ^) {
5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用. ) |. s9 w4 s* _, z7 i8 j
6 g! y+ {1 ]9 a1 @ 六、多元函数积分学 9 E2 I3 P3 w$ T2 Z" E6 E& I
/ g8 v+ N) k1 L. Q8 W6 g$ C/ y' k
1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).
8 h/ p6 h$ A0 x; `5 W" H& R/ g6 P
2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换). ! g2 k" E7 t# L
/ R: \7 @9 p# T# c
3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).
# ^. |7 e; M+ q( x9 L9 R9 w) G$ {& R" S! c4 F3 T7 p
4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.
6 @" B% g/ E' F1 |- h: W+ Y8 a8 D8 `1 q, E0 N$ {1 t
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
& K; {1 i4 Y5 r
8 m8 l! n I, M: n8 `! x" X, j9 d7 d 6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件. 8 \, {* [$ w6 V* x# L
9 q1 d6 j' b- m! G 7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系. # x) \4 [9 H4 z& h- X& A7 L1 n
7 S0 [5 o% l: s% m: o0 m7 B/ x6 Y7 T: @
七、无穷级数
2 y) K, l1 ~( ?% \/ m) K& z) V
( h7 M3 X" P2 Y 1. 数项级数 1 M3 K* L& Y+ K r
7 \1 U+ E: V7 ~: M* t$ n 级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.
4 Y9 U" A& E' t& v0 W% @& H* U1 g& ^
2. 函数项级数
/ Q- p+ p8 y d7 J h# m
" s$ r! p, N, e8 Q5 A! U8 x5 f 函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用. $ m$ _. O1 u: n- x# r
" d" q' G( x. n! y2 i 3.幂级数 1 o& ?. }3 N' R+ v% L: N
' f. ^8 k' t! ~ [
幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数. : e/ _( \3 A7 s8 f6 B
5 i9 I- h' l. _4 k5 m& y$ ` 4.Fourier级数
) Z* z0 P( d& V# ~0 S* Z
! y) _5 \) m o* ~ 三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理. ) G) \; V- ]$ a: Q% | h
8 f- r% K0 u) x Ⅱ、高等代数部分
, e& i! \+ b: k W+ m9 y S+ {: S; C/ o3 q1 ^* x
一、 多项式 s9 M! j% ?! w, p0 k1 _
/ m8 x2 p# ^( V Q. j 1. 数域与一元多项式的概念
! j5 |, a! k6 } Z+ C7 O U
5 o* `! t# ^: ]4 q 2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
2 U" x+ s, k f M5 @" q7 d/ h1 Q( ~4 A Y
3. 互素、不可约多项式、重因式与重根. . @( v. @2 g, O1 x2 i1 |
8 h8 a5 X; \+ Y8 o* N# I 4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质. , l8 K2 U/ B( `( Z! x
& B* e, p, f3 @# J
5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
$ Q6 Y% p( G1 `" J
9 v) Z0 P0 J, s/ l0 f 6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根. 0 k/ A9 n8 u; V; ~. A
7 I2 ^! A, Y- ~ 7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
0 n4 l) `1 z- P2 y4 K' O0 [! a
; e Y# p1 k6 n a, }' Y j, s& } 二、 行列式
6 ?0 b: J2 V: p9 u/ N& _7 U" e; o
6 P" V& d8 U$ H( n f4 m 1. n级行列式的定义. 3 \/ f' s( ~8 v
& U4 m1 C8 ~ f. J 2. n级行列式的性质.
3 s8 O/ q1 @; q f; U. K. Q5 Y5 j! X9 e9 G$ k" ?' V3 ~& K
3. 行列式的计算.
' r/ T, O5 L+ J, {
( z# }7 X, R7 P* O- K 4. 行列式按一行(列)展开.
+ v O0 Y' ?9 g$ |* x3 N+ V1 @# x, B/ Z
5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理. 7 Q0 h; `+ \) w7 Q% I
8 m& W" J8 u0 u: K4 M1 o# }$ E
6. 克拉默(Cramer)法则.
/ ?/ B& I: r/ A/ |5 O' p- x7 C
; w+ c( i. N7 e: X, ^0 o 三、 线性方程组 . }2 w: Y* a( j3 x% n& F7 S
4 ^+ F! h' q: l" o# B! \) C/ L 1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解. & a' d$ T+ v& e/ E
5 {4 }, t' ~* s4 [9 f 2. n维向量的运算与向量组. ( h+ I9 H) r- ?" N
8 S2 k! O6 ~3 c1 T# {0 @1 `
3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
5 Z* r7 W2 \, X& s% ~5 ]7 M- W& A8 o! Z8 A: Z7 l
4. 向量组的极大无关组、向量组的秩. ( R3 i: ~0 |, ?; k
$ x8 g& X5 W0 [4 D, T; [' Z. J
5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系. ! T( v0 \; |) ? g; h2 h" H0 G- w
* T$ y3 l5 U! l 6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构. 9 k Q( C1 Z& o7 i4 v
5 N" d$ o/ d1 G& I
7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
) T. Y) G# d* f$ p$ p s
. O7 t( `) w( P, X: p" k 四、 矩阵 2 u: ? y3 V# {1 Y' ]$ s
1 S; a" c: l6 `+ d 1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律. 0 w* ~8 u5 p$ p1 p3 u \+ G
+ }5 ?6 I, |8 }! s
2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
7 x0 v: j2 R K! c3 w: Q: X5 b1 _9 C- A+ \# x
3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件. 8 _" b% |: Y n* M
9 I! C1 j% c, `" v
4. 分块矩阵及其运算与性质.
& p6 t, d) i/ P2 [, v( T( {6 T& x- x
/ `7 T' Z w) s* b 5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
" e- |8 q; ~6 ~" ?8 y. S- D" T$ L3 V, Q+ ^
6. 分块初等矩阵、分块初等变换.
' w) ^9 p1 ]2 k0 T( T9 F, f
1 }! i- J3 U: J0 k' x/ G 五、 双线性函数与二次型
8 Y& g( u- q# e+ j& N1 f& R4 u( c
1. 双线性函数、对偶空间 8 B" G2 m+ O; N/ \4 u' Q
" \! ^: _) P6 A% w8 W
2. 二次型及其矩阵表示. - Q6 q' X5 P: ~0 n7 x
K9 v% P7 r" g8 X! o
3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法. 6 Z# T/ Y& X' W- ?) ~- L, b+ E
& @" P: v1 }/ m4 t 4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
" q& [# Z; J1 _, V# t1 c) n7 ~$ } Y0 Z/ |: [: {3 U# d* s
5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵 * o; |: X( x4 U/ Q
' X4 N: n+ W# e* W/ |: q+ h% D- I 六、 线性空间
2 f3 k5 d: r. S8 q# X& _) R- X
4 v3 c* K! w) Q. d3 ` 1. 线性空间的定义与简单性质. 8 |! q1 B/ p4 k3 ~8 K
' F/ p9 A, B. U8 p! l 2. 维数,基与坐标.
4 W3 N( [) R: \. R3 _2 V' }& `6 l, `" I0 H# h3 X1 t
3. 基变换与坐标变换.
. ^6 e/ w$ Q. T$ V# M3 f3 t% r) m% [/ I, c, R# z
4. 线性子空间.
! l3 M# M: q3 \6 G/ j, S6 F( S& n; w& D& R; ]
5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和. . |6 d' C2 x$ v* i9 S% o6 k" Z
. M$ ?7 p* O7 @' S, K
七、 线性变换
3 k. W# r6 r- C. ~- t. \( F4 x% |% a# d8 J3 U5 Z, |
1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵. # F" v0 A2 Q& @% J
' u: J/ y' @& O9 o7 W4 l# b3 g
2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
# O0 S0 R/ G% P" K# `7 R: C) I9 W) q5 ]2 Y0 i
3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理. 7 [. ~) _, ?; [1 t7 v! U) J4 i
3 |2 D; }# `) s' U 4. 线性变换的值域与核、不变子空间. 1 \0 a c: p) H9 @: I- o, x1 X
$ Q* }% C4 c$ ]8 j s" X 八、若当标准形 % Y3 s% t7 q( l$ e. l5 _
o4 w& u# J1 g2 p8 E
1.矩阵.
! s+ H( {0 ~% o! c3 v% M: x
% x8 W1 E& B$ O; u/ I 2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件. 2 Y9 q d" u$ |3 x B
, v, L! ?! x7 n' K; S/ B3 e, N w% T
3. 若当标准形. ! W% d: f5 E! D7 ?: L# W
# Y% d: ]6 o# Y8 |% O 九、 欧氏空间
2 ]" }* K8 N& ]2 q: Z4 w
/ g! }; ^1 u6 R6 i 1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
* w6 f7 }! k9 N* q& A$ V, b
: h6 C' f3 A( s5 n8 i. R% r! G 2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法. : z) F4 ]# O3 j" N
: ^: e! s; X3 d( T
3. 欧氏空间的同构.
) r7 }1 z" O- K: U) n* D6 m7 u
' a' p1 H I6 @; A 4. 正交变换、子空间的正交补.
. `0 `9 g$ Q+ b
( O* }- u( S r* r& k# H. n 5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.
, p( E7 O% v* ~8 t8 b
% j; P, p: z: k; A2 W% M 6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
" e7 J+ T$ U! a0 Y& V
4 P) o- o. ~4 u! [8 x 7. 酉空间. 7 g8 Z+ i( h5 X9 q, u1 L+ n
/ [5 X% R+ Y# l! W7 g% h+ L5 H
Ⅲ、解析几何部分
* [% R9 S! x" T: [- U4 S2 l
# J4 @% T$ w8 G0 ^ 一、向量与坐标
# y! Z, u% e# O! [
, F% g$ w! E' g9 h9 R 1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
$ u% a- [+ p2 r/ Q
6 C5 @( ]; h3 M6 u' i 2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
# d9 p3 j0 {$ |7 ?& i( h9 D, g& t4 m3 H) S
3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
; O _' I5 r) ]) B& t5 w( D8 S- g/ L g0 l8 S& M
4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
5 U( S) G2 n3 n! V
8 V# o; I |. d8 f# ]5 l% G/ q2 X 5. 应用向量求解一些几何、三角问题. 1 Q, E9 U" ^/ m' U0 Y
+ u/ h1 W3 F, i
二、轨迹与方程 ( w, b( B* X3 M# |( x) t& U$ @
- |) }4 d" T H2 |5 o2 i) S
1.曲面方程的定义:普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. / ?1 _3 `# t" g/ X% u. E$ s
6 F' y! j2 J. Z, E+ V
2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
, c+ L, N" m. Y. [
! [6 M7 _) {4 z- ?- e# l' e. R 3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
: M% k( ?( G2 l! J. A
9 r$ I1 e* ~0 s; w2 k 4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程. ! m( K2 s# p# c# V/ F( ]9 Q5 o
$ i" g" T3 k; `( X
三、平面与空间直线
: ~/ r6 w0 v3 b$ v$ G
5 V1 }. b, m; W 1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义.
v- _$ Q: C2 R/ v3 j9 w6 D6 z4 l0 l* g# Q8 G
2.从决定平面和直线的几何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程.
. a! P3 l- A) Y* X
5 k% Z, Q0 s/ w% H 3.根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系. * q* g2 t+ t& J+ f# D, m u
4 Z& w# V6 U0 a" ]1 _& q2 A# l8 w ]9 r
4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程. - V! U1 U. [; s" c3 ]1 y/ `( x
3 B# g: c% J3 ^
四、二次曲面
! Z" \) W' n, {1 W
, L+ K9 j! _9 F2 t' A5 P# P6 w 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程. ( F9 W: n, W6 ^. ]: |" y- A
! H: l) I! A3 V! A6 L- z. b7 C% m7 m# R
2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
, u5 p! [5 P9 d, L k5 G! M$ W/ d- H. s" A2 s- L6 S7 R& |- \9 I: w1 c- b
3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
1 q3 _, u# E' m( R
9 c5 D u' z F3 H, v$ o( l" X 4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题. 9 ^$ T A$ q% C4 t
* x8 N/ X. c& J4 c0 ^
五、二次曲线的一般理论 . m$ n) ?0 b3 F/ t
+ u$ D4 ~0 d5 b
1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. , j7 H/ T' @ V
0 [4 g! n5 D! P2 q3 Z
2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点. : L) p3 b8 g! c* e8 C
/ r8 E3 Q. u F! W. g& x$ O
3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径. ; Q& z1 ?9 Z w" d$ M
3 M- L( W- |9 F: U1 T$ N+ T 4.二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根.
8 E H5 W3 [/ t9 S, b
7 _ k* u" S- f2 ?- r$ i 5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
& F, h% V& ~- \% W+ s5 N, A6 `; W a- z
(二)中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:
- O/ O$ I/ y: Y: Y$ H# h k% ~0 C. ]" Y
一、函数、极限、连续
t% }: `9 {9 x, ~
" i5 H& y& x: g 1. 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 5 J/ `5 j6 u/ j. c4 ~; ^- _& q& U
5 c) O: S! z- J/ g1 T$ {
2. 函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性. 4 N( K* _9 J: H8 P7 {% i
: S5 N& V3 i- q3 k' v( O$ E' M& E# r 3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 8 } `: w9 O( \5 z r; x
7 A+ [2 ^( G6 L& w0 |. [3 I; V
4. 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 1 x( }2 `* R0 ?: E
" j) F6 ~. }5 r% {) ?/ [' h
5. 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
3 ~* Q! ?1 D6 X2 }0 M3 F! {- q1 @% @7 U2 ?& j
6. 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.
& \8 s* E( R0 g y- {
: q" s" k8 o) m1 b. j$ h7 h5 D, A 7. 函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型. % n& r6 `) H3 O* |7 Q7 Q$ ?6 p
: ^; S7 }' F9 ]- y9 `
8. 连续函数的性质和初等函数的连续性.
! O4 B. ~% q% Y7 |; ~6 C+ ]& E! y6 C1 q! l$ {5 [: u. T
9. 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 8 |4 E1 Q4 w, G2 r
6 ]5 _ n" R7 F$ M6 p 二、一元函数微分学 ; E; [; E, R* G
' }& y: x2 r1 @1 q% u4 a. ]
1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. , O+ V5 M0 r* D9 B- d+ X
' E; D4 I* q3 z" A \" a S; d$ t 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
, O# ~6 c9 ]7 @
' j& f3 n; B0 N3 n, F* ^$ d9 z# _ 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
& r/ K. ~8 R2 a9 }5 Q) P
8 F; V# c, N" Z 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
* y3 ], k! i' r( \* X/ Y. p6 C& G) T$ z% v" H! w# e# m
5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
, {/ R; H$ h/ }* Z, T" P
5 M3 \* P5 f. H( t 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. : O t+ L C& t6 |5 x/ B
- |4 c+ [+ c; L4 Z3 ?: }; v4 h7 ^ 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 6 {9 _% m a9 D3 v& J2 K
; ?$ r; v/ p# q! n 8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
- I# z# S9 j& z; Y2 q" p; e; N/ v% o8 b( v
9. 弧微分、曲率、曲率半径. ; R2 y- `! ]2 N8 N7 J
5 S; w2 b+ E5 A$ c 三、一元函数积分学
; {6 Y7 K( { T8 g* S( \* k3 o7 M5 T7 J J0 V
1. 原函数和不定积分的概念. ; P$ J# u* |: ] W7 k
$ `! C4 B0 E8 t" B8 j! X 2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. # k/ s- U" u5 d( S
5 Y6 A! Z1 D: Q0 e 3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
# U2 q" X( }% K; G( C- ^
, q, w2 \0 k: B; \. Y 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.
- F$ K5 _1 G/ U. [6 @1 M1 `& Q$ E' V7 ?! D* _: _: r
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 8 p1 p4 ^& h' Z& l, X( d+ ~
+ g' i1 g/ }: i1 N( h" W
6. 广义积分. . H- q) T! I8 I8 ^! c
; l$ `2 F5 P: E& k1 c) v 7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值. ( J9 H2 K' T% t0 W4 r. l v+ T( D
/ n- D7 G' b: R6 I. G4 f5 Q1 o 四.常微分方程
3 _0 t" v! S. W! z- E! p D- V5 \' A0 H! {/ q
1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
& H& o7 v1 ]1 s. o) \; Q
! h6 E. J: k! T- {! `. z 2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.
5 j5 ]7 i& T0 w. I/ S
8 _9 y) A2 y; s N! p" ^- t4 G 3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程: . 8 R4 o* ?& T8 ~- J5 S/ ~" P
2 D" Y7 s0 P" R m
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
+ j( G. k( a4 Z* B- O! v
2 d* P! E; [* L. c" l 5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
2 k' s9 B0 h1 a% j. }. b I2 |. ~2 M
6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积
$ p+ |: l- M+ ~9 V; W
% `. q' l/ i( s7 q' _7 x' e 7. 欧拉(Euler)方程.
, Y' d6 J, J/ u# Q' s1 ]/ p C( }4 x I
8. 微分方程的简单应用 + ?% n3 S* R# n7 s; Y* {
% L# A4 h$ l/ j8 i 五、向量代数和空间解析几何
& T! r" T& }/ `
+ A! ?# L S U0 p& D0 P 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
8 C3 M- l% Z$ B4 W( D8 s- [' m, s$ l
" ?7 } Y* d0 z& S2 H 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
- [* R$ a3 @$ X8 K ^0 u/ n, Y* G9 Z* ? H& @# K- u) N- l1 T
3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 5 P# `4 m$ v* C7 x
$ j% x$ d4 @0 P2 z- t6 N
4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. , w9 E9 J$ e7 {4 k* \) R) ]
8 m% h, Q& i/ x1 C3 u E9 i 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
8 ]; M+ |& [6 T4 T0 n) t. }: U1 z" b# n, A
6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形. " t1 b4 J$ k& |9 k+ U# F4 p" F- ?
) A" X6 \) U: X 7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
$ T, k" f2 d9 u& N. V' @ l$ E1 K, i) ^/ R* O8 w
六、多元函数微分学 & A7 o; @7 K }3 A
7 q6 b$ q- X U. k; J 1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.
- C8 ]% s3 X& [# p5 t& _/ q( ^) t; S8 t) S( I+ d
2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. ' I t8 y* Q5 A
; d* P" Q! |6 y7 r, m
3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. + L; W, X) K) |! H( Z
% w6 F6 Z9 I7 w 4. 多元复合函数、隐函数的求导法.
& A* [+ D" k0 s+ F- L
& O4 i0 N+ D" m+ { 5. 二阶偏导数、方向导数和梯度. * o: A! P& c( C
: r4 N! S% `4 X1 @- i/ h9 a
6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. % v$ @' y4 X5 F8 r% C
1 K' P, l7 k; Y4 @" U/ y 7. 二元函数的二阶泰勒公式. 6 b. S) E+ B& }4 U1 ?/ |8 V; X! u$ r: ^
& s1 o% X, d; g6 W
8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.
. ?7 _ [, ~3 U5 a# P; b: T
4 n0 Y1 |! p4 A% C 七、多元函数积分学 ; r7 f6 v6 N$ @$ i/ M
0 c0 R+ j0 F) `2 Z
1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). ! ]% [2 j w% M) g" X9 Y+ K
9 M6 M4 o2 j( E" Z
2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系. % i5 L* \2 V. A9 Y' R, Z
- U+ ?/ s0 z; T9 q 3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. 4 [3 z ^2 s: X% }# ~
# r9 o8 j" m) K( N+ E) }
4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
9 k1 A; X" o! D, B$ S+ e
3 z! m' y- t6 L; _ 5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
: ]$ s( N. E* P y Q; \2 d8 j8 U
6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
$ a; N- ^2 Q7 b( ?, x7 h! q2 M- V6 K/ |+ y' |( Q6 G+ r# q
八、无穷级数 $ z& v" t' M6 }) M0 ^( o8 V5 g
4 Q! }: h/ Q5 _# k9 V
1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
% Z, L4 l6 F6 a i
1 m+ d# {0 z2 N 2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. 3 y- @8 O5 z5 O
- i: A' I# K+ e2 x, [- N& A
3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
5 P" Y6 @! ]+ E: G P0 e/ ~8 I* B. `1 Q, O, _. A
4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.
% q9 x* a; W2 m) {2 W3 f1 f
, V# M+ I) ~! }& C4 r 5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.
. k1 a, r: J! M6 F2 i$ @% |( l5 \3 e+ S
6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. : J5 i: }8 c2 F2 n1 b
: A% k% S* Q2 A" r5 B% q 7. 初等函数的幂级数展开式. 3 X Z0 s) m/ O& q3 Y
, }+ ?; K7 r5 o1 C. L' y5 V 8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
& m' v$ N: J F* f- m+ p4 u# T, H; t! S6 _ K
大家加油啊!拿这个奖很容易的!
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