由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
) K4 h7 Y2 V" M. Y2 P' U

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
9 b& L7 H  {6 z7 D1 A/ s1 U                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
8 {0 d# |- s; ^' F5 T, u                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
2 G2 e/ X. _$ X* I9 q; ]    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
6 [, d- f2 b. i5 f                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
* \' j  s  i' V- @+ E   三) 问题的终结
   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
, d' f' T3 ~, \8 E( P, e: K  t    证明  
0 G+ `  d/ h( ]7 X在∠AOB一边AO上,取
            
/ N; [6 c! e; h: y( g6 _以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
- {) q4 j3 m) j% D! U所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
! O  H  z) C2 @; L5 B" i1 R根据定理2,(5)式,有
$ E4 o, V: f" t3 N( w7 k: a        .
+ v0 {4 q( }& N9 H3 M# \  J* z即
       .       (6)
8 Q. I, ~$ U; @6 f$ u由(6)式知(1)式正确.证毕.
! {1 ^: R9 k1 D  r! l$ \' c4 z9 d7 m    本文的理论基础是
         
) X9 `4 ~% P8 K7 t- Y/ l若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
$ D& M! m* v  }2 S* _# {6 ?! G+ k/ L                        苏小光
                      2011年2月20日
# V+ B7 M, o% @0 `     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
! E* i) L- U& [4 c* B) [没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
0 I7 W4 R* G* C3 ~& z6 i5 u* {    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
6 `1 k8 r7 J" g+ Q. [                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
7 u0 ^0 I9 U+ W在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
- c7 X6 X: F: |7 `    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
, A  C! `; ^5 j- b根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
3 T# t* x! `9 ^1 g8 h3 a* O        CD=EG=GH=HK,
( z$ a; N$ D( B7 p根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
- I  y8 o$ L! y( d8 {4 C4 e3 c+ T即
, y3 r; f0 q" u           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
3 l0 B+ j9 H: [+ U( p* N由(6)式知(1)式正确.证毕.
3 u( X# ~# l" x0 K( \6 w/ [    本文的理论基础是
" H$ A5 t4 r+ }! N1 {# U2 ?            \pi = l /2R
5 u. S; u/ Z( L5 b) [, a- c若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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; r% R/ x9 Z7 O) N( B没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
* L! w& X4 M* p* R8 i7 ~

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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