由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
# u7 y. D/ T( S8 m! [. o
; u! ~& e/ f: Y/ q6 O% s8 w

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
% e) u9 S. c$ H) g0 ?; ?  |     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
* U9 B" T4 A3 p7 V0 |                  
; }  c# x- c4 l' m$ B没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
/ m$ H9 v* x9 }                 
* ]) q! F* K) s! `2 S9 m4 }% s   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
( M& g8 D7 O% I( G; P) s6 {   定理3 若
9 M/ ~# d1 c. q            
1 n2 \; ^& {& K" @则用直尺和圆规可得
& e7 ]% Y/ g2 e( Q; w& i; n. q3 F            .          (1)        
    证明  
在∠AOB一边AO上,取
& J  A! d1 n) _% r& N            
) l* h( t& e0 _; _2 y3 S' c以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
9 ^  D  Z8 G# H; G) Q7 |以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
, w. T* u7 d3 H- b* N0 U             (4)
6 U- B0 N7 r, b  v2 r3 [! ?所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
& F) t* T; q7 z1 K( E* B2 Z7 U, _* a        CD=EG=GH=HK,
' t( w* M9 R/ {# s5 P根据(4)式知K
$ q, J7 L3 A4 n$ C2 [、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
  D: ]5 Q  |  R3 d/ q2 D+ Z        .
即
       .       (6)
9 J1 E* I8 {2 A1 ~) r1 n由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
$ f, T" L- r; ~6 E9 H若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
# ^7 W" B/ q8 W6 e7 A/ K( V                         尺规三等分任意角的逻辑原理
1 \9 n+ {9 Y" q2 {) D# s4 i                        苏小光
  ?/ N0 d6 {- \4 h                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
7 f+ t* ^9 D# a0 w     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
" V! K) j, g7 v  \/ _5 H) n                  8x^3-6x-1=0
6 p5 t' T7 I- s0 K, x没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
# i0 T3 j6 ]; p) ?8 Z2 {                 l=NR\pi /180 .
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
: v, w" @  G# O   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
, l. g0 X+ U$ s0 [            
, g3 I; t* o, p+ ]9 U* m则用直尺和圆规可得
! o* a3 t9 n+ N9 r       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
. b4 U' d( ]5 d! y4 y/ {9 B. ]    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
" w8 J' H7 X% F& i            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
* p: d- W7 @) U OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
9 H; x( r0 A" d. D1 s% c+ T( u) p          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
" B: U1 j, t* k9 O' _* y* f+ S* d0 D+ k        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
0 |: L; P  S& [- k即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
! B  y/ X. N$ |由(6)式知(1)式正确.证毕.
0 r9 Z+ {  m8 W3 q: r4 S    本文的理论基础是
2 W5 B* V* Q& o0 }1 k- P# C            \pi = l /2R
& K: {2 B) P  h3 R$ D# }若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
" I, W- z6 ]) M# s) w, ^

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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3 [5 @# m- N6 \. L0 D) N' X
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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