由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
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数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
8 B2 x% _6 s) G: T( V  r& \                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
7 ?; ~; S( i) \) _0 L     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
; Q! S' G+ A2 L    二)  预备定理
4 @' O" n8 L# Q: E    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
+ ]8 Y1 R$ Q' }7 d1 j& {7 Q   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
. X) x6 ^4 a* K            
) v. s& w2 Z7 i5 w9 b& s  D则用直尺和圆规可得
) K# |9 v5 P1 t            .          (1)        
' e6 `! e$ }3 M# |) u    证明  
$ S. E/ {: T# d; f8 y. l3 ]$ t+ D在∠AOB一边AO上,取
            
8 y& @2 m; H) h6 y以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
% X; q0 f$ T$ E% \            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
0 j% f# L0 j' n" ^9 N根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
$ I# v. S  L% ~5 Q: {0 h& O根据(4)式知K
* c9 ^8 E/ E8 ^# I' ?* j/ H2 O2 d& M' c、F共点,所以
$ a  e( L1 G) g0 M, c0 K2 [2 c        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
) N% t( n' U: ^+ {        .
5 @' y4 b. [; V! O, H: j即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
1 r7 Z+ V* r: z8 x2 d若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
; b: N  w& m$ H0 z/ }

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
: N* V/ R: t( M9 T                        苏小光
- X% Z% u- N( I                      2011年2月20日
# q2 Z- ?, ^9 ?* _( `$ |     一)  问题的提出
9 D/ e( a5 {+ Z9 X4 ?4 Z: [$ f6 |     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
/ W1 ?; r$ t$ l, }! Z( t2 z, z                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
( P6 f+ y! t9 t" _# ?# B: v    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
# f: J7 q, e5 }' z* U! V                 
3 O- G* \! ]. ]4 x+ C. @" A2 e   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
8 j  r7 Y4 V  e$ X   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
6 G' J) `4 U) s/ K0 @       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
' [/ |: ^* S1 N9 F* J3 {% q* R    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
& u5 v+ I! q2 D- y* ?, H          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
8 L7 c! \$ l& J- w) u* s8 ?所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
) @5 W, d. x# I$ i$ a9 F0 D9 [3 W根据(4)式知K、F共点,所以
/ V  T. b. v5 T4 W( f- z        EG=GH=HF,         (5)
* c! z- @2 b: i$ e根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
; Y* z0 e9 j( ~, v# L, m) K0 m由(6)式知(1)式正确.证毕.
" b5 {: H. a6 ^- S    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
) P( o7 B6 n, A# a( |+ ~若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
6 E$ z. b( D3 @- _. b" q

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

回复 wujwu 的帖子

没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
0 d; g3 W0 W: g, \$ ]+ e+ Q9 ]+ E

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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