由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
( b6 z8 E/ Q4 M1 v' x

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
& a3 d; w8 p5 I7 \                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
3 x( ~$ G- Q2 X, g                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
  \: A- Y5 x/ ?8 W    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
1 E3 l" N/ X3 c' ?                 
3 W" A% \* ]2 P5 q$ k   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
' _' {. {6 b, w6 b7 j   三) 问题的终结
   定理3 若
            
( f( n, I, ^# T3 ~: E1 a3 I则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
    证明  
6 H  N& q/ s: `: c0 @在∠AOB一边AO上,取
            
1 R' R* X# E2 e. `) M以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
: Y5 \2 C5 t$ g, b9 f在AO上取点E,使
  p; s/ v$ a; {- Q            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
% R% Y& N7 _: M        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
" R, T1 T/ [) R# B9 Z/ D$ `" L5 w0 j1 A" q        .
即
" S  D# X& g( r6 _( c       .       (6)
  z1 J, j; S! }2 U% Z% a# A由(6)式知(1)式正确.证毕.
1 d9 k" e" [8 M2 B/ N5 u9 ^9 g9 N    本文的理论基础是
, b0 F- e$ R: r2 n/ V( s* _         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
9 \/ Y. R1 W. O6 m, J9 M

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
5 o5 n3 ~$ W) C4 V' R                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
2 t7 P: X  X9 Q$ f7 A0 j                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
9 y- [7 E5 A" k+ g     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
/ _/ K5 J, Y, O# ~- o+ C0 E1 `                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
+ o. I. Z. G3 o8 g* ?4 i" P    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
: o" o2 Q$ P# D, r3 E) }2 K2 l                 l=NR\pi /180 .
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
$ K8 H9 R, G2 a% O. A   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
% u+ O1 [+ f2 h8 v2 m            
7 w  v/ k* @2 a* O4 D6 y: U  {1 l则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
- x5 j, H9 k# w4 x( c  u# t& d' p在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
# ~- O$ ]# S+ b& j" }. U根据定理1,有
; D) \: w9 k# i9 @5 m& ]    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
- @0 Z/ j0 G( H) ]9 G6 y6 w$ h' w" \/ q在AO上取点E,使
! }3 p+ `8 g% x6 y+ r4 O) d OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
. _; B; w; r7 x. B$ P以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
5 k3 }& a  H/ d/ n* i  ?9 F3 G所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
% b# I; ?1 b6 z0 E2 B根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
' o* `3 c0 @7 ^" }1 V            \pi = l /2R
% A' s& L* }5 M; L9 N若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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8 s- j  e, M) ^% `1 @  o, D5 y8 B3 v
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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