由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

数学1+1

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                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
8 U( C8 @6 N. ~$ N                        苏小光
                      2011年2月20日
% g' i) q6 n, S  c     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
0 i0 y: L6 g# I. h# m4 _8 i1 O                  
" J1 K' Q& g5 b' A9 |" k没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
7 D+ r) d- Q& J    二)  预备定理
/ f; P  m" w* R5 s    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
& H. T! i5 ^! y& I0 n            
; y9 ~" ^9 u6 g% D' D  \则用直尺和圆规可得
% _2 S1 v7 u6 d/ r% M8 N            .          (1)        
! D4 M0 S6 u/ t5 }5 {0 v$ i5 ?    证明  
2 i6 `) g  P8 q5 b5 `在∠AOB一边AO上,取
. S- I$ E/ |" b            
. Q% _9 H8 t0 y. J* }1 _0 D以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
7 C# P3 o% {0 ~0 O( e根据定理1,有
* E  a1 K( X0 ]- F% h  \                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
, s8 h; r% X4 i: u: J: F; Q1 Q9 _% o9 u以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
  M2 ^* X3 a  k, v( ?: p7 K0 I% z根据定理1,(2)式,(3)式有
5 F6 J+ t5 u7 W! k  c9 h             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
% \8 E8 O8 ?; f5 }8 M0 x根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
, k, q( j4 w" F/ {/ f/ L5 Q即
! q* `8 p; U/ k. v) ~7 |       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
) t6 \9 ^0 E6 E1 [! R2 d. q6 x2 P         
0 a- c- W. w1 @1 Z若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
8 X/ P) P2 {7 A                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
( i: U) J- n. U- Y- e     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
: l; c7 U8 E+ D8 ]' j# q5 s6 D! G1 z                  8x^3-6x-1=0
* i8 F0 b; r9 s) C5 x没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
  K6 D1 j% q/ A: s; t7 e    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
& B. i7 A1 n; S                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
% q- V! y( m1 P  |, R   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
7 @+ t  Q$ a; {; P9 s. G            
1 s9 E( Z9 z. O+ @; I; n则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
/ |2 Z+ b+ W* ~) D1 k在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
( s8 Z, V3 t: w  H: p2 v以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
. K, N5 f* }) l5 ?, W在AO上取点E,使
5 I; Z( x  A9 U9 |( D! ?: ^3 f OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
% z+ J0 O" v5 `* T以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
  j; C; p3 P( o1 Y$ i7 O4 s所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
8 b" {: u* n) K4 u; [" M        CD=EG=GH=HK,
7 \0 W+ Y) r9 ]* E* }( K5 H% b根据(4)式知K、F共点,所以
; D+ r8 K% Y2 r        EG=GH=HF,         (5)
6 Y* g( o/ F3 g5 h: t根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
- E' x8 q# J3 ^% }由(6)式知(1)式正确.证毕.
: t3 \( x9 r: K5 ?: T5 ?    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
( e# U& P: m) Q  p若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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