诡数（副题：一种以周期性和模长为特征的新数学形式的探讨）

徐智敏

# L. c; T) O0 M& E论文中符号以附件为准：
# T' P7 o% I: f: H4 n* U
6 E+ I! p, _8 [8 v作者：徐智敏

一、摘要
& o) v4 P# {" Z1 x8 W4 g本文提出并完整建立了一种以周期性和模长为特征的新数学形式的概念，称之为诡数，取它两模量因先后次序不同而形成的表面相等，实质不相等，显得结果诡异之意。
诡数与实数有互逆的关系，同时诡数与复数也可能有互逆的关系。诡数还有特殊的座标系表现形式。
二、相关术语与记号
1.相关术语：诡数是一种未为人们所认识和研究的数学现象，它可以对一些实例进行数**算，或提供一种数学工具。如摘要所述，它系取它两模量因先后次序不同而形成的表面相等，实质不相等，显得结果诡异之意。
% c" ^9 Y3 Z2 s2.记号：在这里我们先设置和采用一些在诡数运算中会用上的记号。“gui”是表示诡数的符号，“gui(A)”和gui(A′)是诡数，“〒”表示单一诡数运算内所得的值都为绝对值，但诡数减诡数所得出的诡差值，容许出现负数，它表示相减的两诡数方向和位置不同。“||”、“→”和“|→|”则分别是现有数学界通用的表示区间、向量和向量长度（模）的符号。
1 t0 D- G  G; g三、论文内容——主要定义和一般性定理
# G- n. Z7 G) s      定义1  诡数是以周期性为特征的一种数学形式，并且每个周期取整数时是以1起，以n止的数学形式，n∈N,N={1,2,3,…n}。
      定义2  诡数是以计算模（绝对值）为特征的一种数学形式，它所得的诡数解不能出现负数。若有gui(A)=|→a1a2|=|a2-a1|=〒(a2-a1)，a1>a2，则有a2- a1<0，但在诡数中gui(A) =〒(a2-a1)>0。
      命题1  诡数表面是等式，其实它没有相等的情况，一旦出现相等的情况，那么它的结果就不再叫诡数，而只能叫实数。
      定理1  设座标系中有点a1、a2形成的模|→a1a2|和|→a2a1|，在实数范畴内|→a1a2|=|→a2a1|。但在诡数范畴内|→a1a2|≠|→a2a1|，因为它们被周期截分了，a1、a2点的先后顺序因分别落在不同的周期上，而使模值出现了异常的变化，出现新的解（图略）。这从先后次序不同的月份和星期的变化周期上可看出来。若有|→a1a2|=A，则|→a2a1|≠A。在这里引入诡数符号表示诡数与实数的差异性，并便于它们的运算，则gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(a2-a1)，得gui(A) ≠gui(A′)。
2 {$ N. d/ R; o2 H' `9 D0 ~' g: N        证  gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(a2-a1)。设a1>a2，其中gui(A)在同一个周期内，gui(A′)在两个周期之间，因而有a1-a2≤a1，a2-a1=n-a1+a2≥a1。例如取n=7，a1=4，a2=2，有a1-a2=4-2=2<a1，a1′=7，a2′=6，有a1-a2=1<a1；a2-a1=n-a1+a2=7-4+2=5>a1，a2′-a1′=n-a1′+a2′=7-7+6=6>a1′。其中n=n1=n2=n3…nn…，即n∈N,得gui(A)≤a1，gui(A′)≥a1，其中gui(A)= gui(A′)= a1，为诡数转化为实数的情况，诡数有gui(A)≠gui(A′)。得证。
      再设a1<a2，其中其中gui(A)在同一个周期内，gui(A′)在两个周期之间，因而有a1-a2≤a2，a1-a2=n-a2+a1≥a2。举例略。其中n=n1=n2=n3…nn…，即n∈N,得gui(A)≤a2，gui(A′)≥a2，其中gui(A)= gui(A′)=a2，为诡数转化为实数的情况，诡数有gui(A)≠gui(A′)。得证。
      命题2   在诡数周期n的变化过程中，模|→a1a2|和模|→a2a1|的其中一段必定在一个周期内，另一段在两个周期之间。这是诡数出现和存在的必需条件。
      定理2   因每个周期的整数点由1起，以n止，当a1>a2时，gui(A)= |→a2a1|=|a1-a2|=〒(a1-a2)，gui(A′)=|→a1a2|=|a2-a1|=〒（n-a1+a2）；当a1<a2时，gui(A)= |→a1a2|=|a2-a1|=〒(a2
-a1)，gui(A′)= |→a2a1|=|a1-a2|=〒（n-a2+ a1）。
( R8 I, \7 h" w  n- I3 ]      证  当a1>a2时，若gui(A)=〒(a1-a2)，有gui(A′)=〒〔n-(a1-a2)〕，即gui(A′)= n-a1+a2；当a1<a2时，gui(A)=〒(a2-a1)，有gui(A′)=n-(a2-a1)，即gui(A′)=n-a2+a1，得证。
" h% v' R7 W( M$ O      推论1   诡数因模不相等而存在。模不相等引起诡差。诡差是诡数存在的必要条件。诡数必定存在一个诡差。
6 z- \) }, J$ S) {' z      定理3   从定理1和定理2可知，当gui(A)在同一个周期内，gui(A′)在两个周期之间时，gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A′)= 〒(a2-a1)=〒（n-a1+a2），或gui(A)=〒(a2-a1)，gui(A′) =〒(a1-a2)= 〒(n-a2+a1)。若a1>a2，有gui(A)≤a1，gui(A′)≥a1，若a1<a2，gui(A)≤a2，gui(A′)≥a2，gui(A′)- gui(A)，或gui(A)- gui(A′)所得的解
      Limf(x)=C,
                X→n
即为诡差。
1 ?! s7 c8 t1 o+ i0 H4 e0 P      推论2   诡数因是以周期性为特征的，其中出现的模会因起始方向不同而出现不同的值，所以它的座标系有别于实数座标系。
      推论3  在诡数座标系中的X轴作延伸线段，当且仅当在诡数范畴内，永远存在一系列连续的周期n。
      定理4   设a1和a2在座标系的轴是周期性出现的两个点，它们所落的每一个周期都至少有n个点，并且n≥2时有正整数解。
      证  有任意正整数点a1和a2的模之和是n，gui(A)+gui(A′)=〒(a1-a2)+〒(a2-a1)= n。当n≤2时，n=﹛a1，a2﹜=﹛0，1，2﹜，有零和最多两个正整数。若a1=2，则a2=0，只有一个点，周期不成立。若a1=1， a2=1，则只有唯一一个正整数解。若a1<1， a2<1，则没有正整数解，所以n≥2时有正整数解得证。
      定理5   设诡数每一个周期有n个点，当n≤1时，没有整数诡数解。这由定理4可推知，证略。
      定义3   在相同数周期系中，每个周期的模都保持为n。若有周期系n∈N,N={ n1，n2，n3…nn﹜，则n1=n2=n3…nn= n。（图略）
      定义4  在相同数（有规律）周期系中，两诡数的模值之和总等于n。
      定理6   设有诡数gui(A)和gui(A′)，它们的模值之和gui(A)+gui(A′)= n。
2 h  T$ Z3 H0 d# \+ V  _      证  诡数每一周期总由两模值组成，若gui(A) = n- gui(A′)，总有gui(A′)= n- gui(A)，反之亦然，因而有gui(A)+gui(A′)= n- gui(A)+ n- gui(A′)，2n= 2gui(A)+2gui(A′)即gui(A)+gui(A′)= n，得证。
5 a  [- j2 g9 @/ l* H      定义5   在相同数周期系中，同一周期内若有gui(A)+gui(A′)= n，两周期之间必然也有gui(A′) + gui(A) = n。
& h% w" _; r# w' M) ]+ [+ Y) l8 Q  |      定理7   设相同数周期中有数值相同的连续周期，其两诡数分别定为gui(A)和gui(A′)。
证  若每个周期有n= gui(A)+gui(A′)，跨周期总有n′= n- gui(A)+ n- gui(A′)，或n′= n- gui(A′)+ n- gui(A)（后式表示模值出现的顺序与前式不同）。令n′=n，即有n′= gui(A)+gui(A′)，得证。
      推论4  诡数可以转化为实数，实数也可以转化为诡数，它们互相可以是对方的逆运算。
" U: t+ J3 j% o      定理8  以n≥2的偶数为周期的任一区间诡数，在周期的半值和全周期值之间，都必定会使诡数的值转化为实数。
! N; Y0 S) j9 @; u      证  设诡数一个区间周期的半值为n/2，则a1=n，a2= n/2。有gui(A) =〒(n/2)，gui(A′)= 〒(a1-a2)= 〒(n- n/2)= 〒(n/2)，因此得gui(A) =gui(A′)，诡差消失。其逆变化是实数转化为诡数。证毕。
      定义6 在变化数（非规律）周期系中，各个周期的绝对值围绕n而变动，变动范围为n±n′，有∫f(x)dx=F(x)+ n′。我们用以计算日期的一年中不同月份的不同天数就是一个例子。（图略）
      定义7  在变化数（非规律）周期中，两诡数的模值之和存在不定值。若有gui(A)+gui(A′)= n，n∈N,N={ n1，n2，n3…nn﹜，则可能有n1≠n2≠n3…≠nn≠n。
      命题3 诡数中，特殊周期系的各个周期变化可不具规律性。
      定理9   设任取四个周期n1，n2，n3，n4，其围绕n增减的n′值分别定为n1′=13，n2′=25，n3′=6，n4′=17。有n1周期为n+13，n2周期为n+25，n3周期为n+6，n4周期为n+17，那么n1= n+13，n2= n+25，n3= n+6，n4= n+17，则n+13≠ n+25≠ n+6≠ n+17，得n1≠n2≠n3≠n4。
7 m0 r1 X5 L8 x! E$ L# N9 |      推论5   由于诡差的存在，实数的加减法运算规则有时不能直接运用于诡数。
9 v# H  y: j: V      推论6 实数的乘除法运算规则一般适用于诡数。
      命题4  两诡数相乘所得的积，表示诡数的张势，积越小，表示张势越大，诡差也越大。其中张势与诡差内涵几近相同，但张势只取正值，诡差容许取负值。
  ~7 H  b& |& u- {, V! c1 B      定理10   设a1>a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(a2-a1) = 〒(n- a1+ a2)，周期为n=7，其中A=﹛A1，A2，A3，A4，A5，A6﹜，A′=﹛A1′，A2′，A3′，A4′，A5′，A6′﹜，若诡积gui(A1)×gui(A1′)＜gui(A2)×gui(A2′)，有诡差C1>C2；若诡积gui(A2)×gui(A2′)＜gui(A3)×gui(A3′)，有诡差C2>C3…。
      证  若a1>a2，当a1=2，a2=1时，gui(A1)×gui(A1′)= 〒(2-1)（7-2+1）= 〒(1×6)=6；当a1=3，a2=1时，gui(A2)×gui(A2′)= 〒(3-1)（7-3+1）= 〒(2×5)=10；当a1=4，a2=1时，gui(A3)×gui(A3′)= 〒(4-1)（7-4+1）= 〒(3×4)=12；当a1=5，a2=1时，gui(A4)×gui(A4′)= 〒(5-1)（7-5+1）= 〒(4×3)=12；当a1=6，a2=1时，gui(A5)×gui(A5′)= 〒(6-1)（7-6+1）= 〒(5×2)=10；当a1=7，a2=1时，gui(A6)
×gui(A6′)= 〒(7-1)（7-7+1）= 〒(6×1)=6。诡积〔gui(A1)×gui(A1′)= gui(A6)×gui(A6′)〕＜〔gui(A2)
×gui(A2′)= gui(A5)×gui(A5′)〕＜〔gui(A3)×gui(A3′)= gui(A4)×gui(A4′)〕，诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1′)︳=︳〒(2-1)-（7-2+1）︳=︳1-6︳=5；C2=︳gui(A2) -gui(A2′)︳=︳〒(3-1)-（7-3+1）︳=︳2-5︳=3；C3=︳gui(A3) -gui(A3′)︳=︳〒(4-1)-（7-4+1）︳=︳3-4︳=1；C4=︳gui(A4) -gui(A4′)︳=︳〒(5-1)-（7-5+1）=4-3=1；C5=︳gui(A5) -gui(A5′)︳=︳〒(6-1)-（7-6+1）︳=︳5-2︳=3；C6=︳gui(A6) -gui(A6′)︳=︳〒（7-1)-（7-7+1）︳=︳6-1︳=5。有（C1= C6）>（C2= C5）>（C3= C4）。从中可知，在取整数点时，诡积若有偶数对，当a2取值确定，a1取值最小和最大的两对得数最小的诡积张势和诡差最小，a1取值居中的另两对得数最大的诡积张势和诡差最大。当a1=3，a2=2时，gui(A1)×gui(A1′)= 〒(3-2)（7-3+2）= 〒(1×6)=6；当a1=4，a2=2时，gui(A2)×gui(A2′)= 〒(4-2)（7-4+2）= 〒(2×5)=10；当a1=5，a2=2时，gui(A3)×gui(A3′)= 〒(5-2)（7-5+2）= 〒(3×4)=12；当a1=6，a2=2时，gui(A4)×gui(A4′)= 〒(6-2)（7-6+2）= 〒(4×3)=12；当a1=7，a2=2时，gui(A5)×gui(A5′)= 〒(7-2)（7-7+2）= 〒(5×2)=10。诡积〔gui(A1)
×gui(A1′)＜gui(A2)×gui(A2′) 〕=〔 gui(A5)×gui(A5′)＜gui(A3)×gui(A3′) 〕= gui(A4)×gui(A4′)。从上可知，诡差会有C1 >（C2= C5）>（C3= C4）。即在取整数点时，诡积若有一个不成偶，当a2取值确定，不成偶的这一个诡积张势和诡差最小；而a1取值居中的一对得数最大的诡积张势和诡差最大。证毕。
      推论7  计算诡差时，容许出现负值。但要比较张势（诡积）大小时，诡差需取绝对值。
& e1 {. ?  K- r: F0 u      定理11  设a1<a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(a2-a1) = 〒(n- a2
, r( {  C& Q3 E  @; J6 K* |+ a1)，周期为n=7，其中A=﹛A1，A2，A3，A4，A5，A6﹜，A′=﹛A1′，A2′，A3′，A4′，A5′，A6′﹜。若诡积gui(A1)×gui(A1′)＜gui(A2)×gui(A2′)，有诡差C1>C2；若诡积gui(A2)×gui(A2′) >gui(A3)×gui(A3′)，有诡差C2<C3…。
, A, h8 E+ f9 x' Y; p+ d5 U* M      证  若a1<a2，当a1=1，a2=2时，gui(A1)×gui(A1′)= 〒(1-2)（7-2+1）=〒（-1)×6=6；当a1=1，a2=3时，gui(A2)×gui(A2′)= 〒(1-3)（7-3+1）= 〒(-2)×5=10；当a1=1，a2=4时，gui(A3)×gui(A3′)= 〒(1-4)（7-4+1）= 〒(-3)×4=12；当a1=1，a2=5时，gui(A4)×gui(A4′)= 〒(1-5)（7-5+1）= 〒(-4)×3=12；当a1=1，a2=6时，gui(A5)×gui(A5′)= 〒(1-6)（7-6+1）= 〒(-5)×2=10；当a1=1，a2=7时，gui(A6)
$ C! P; ^! c3 C1 B' @×gui(A6′)= 〒(1-7)（7-7+1）= 〒(-6)×1=6。因诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1′)︳=︳〒(1-2)-（7-2+1）︳=︳1-6︳=5；C2=︳gui(A2) -gui(A2′)︳=︳〒(1-3)-（7-3+1）︳=︳2-5︳=3；C3=︳gui(A3) -gui(A3′)︳=︳〒(1-4)-（7-4+1）︳=︳3-4︳=1；C4=︳gui(A4) -gui(A4′)︳=︳〒(1-5)-（7-5+1）=︳4-3︳=1；C5=︳gui(A5) -gui(A5′)︳=︳〒(1-6)-（7-6+1）︳=︳5-2︳=3；C6=︳gui(A6) -gui(A6′)︳=︳〒（1-7)-（7-7+1）︳=︳6-1︳=5。有诡差（C1= C6）>（C2= C5）>（C3= C4）。得a1取值确定，诡积有偶数对，a2取值最小和最大时，张势最大，诡差也最大；而a2取值居中时，张势最小，诡差也最小。当a1=2，a2=3时，gui(A1)
×gui(A1′)= 〒(2-3)（7-3+2）= 〒(-1)×6=6；当a1=2，a2=4时，gui(A2)×gui(A2′)= 〒(2-4)（7-4+2）= 〒(-2)×5=10；当a1=2，a2=5时，gui(A3)×gui(A3′)= 〒(2-5)（7-5+2）= 〒(-3)×4=12；当a1=2，a2=6时，gui(A4)×gui(A4′)= 〒(2-6)（7-6+2）= 〒(-4)×3=12；当a1=2，a2=7时，gui(A5)×gui(A5′)= 〒(2-7)（7-7+2）= 〒(-5)×2=10。若诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1′)︳=︳〒(2-3)-（7-3+2）︳=︳1-6︳=5；C2=︳gui(A2) -gui(A2′)︳=︳〒(2-4)-（7-4+2）︳=︳2-5︳=3；C3=︳gui(A3) -gui(A3′)︳=︳〒(2-5)-（7-5+2）︳=︳3-4︳=1；C4=︳gui(A4) -gui(A4′)︳=︳〒(2-6)-（7-6+2）=︳4-3︳=1；C5=︳gui(A5) -gui(A5′)︳=︳〒(2-7)-（7-7+2）︳=︳5-2︳=3。有C1>（C2= C5）>（C3= C4）。从中可知，在取整数点时，诡积若有一个不成偶，当a1取值确定时，不成偶的这一个诡积张势和诡差最小；而a2取值居中的一对得数最大的诡积张势和诡差最大。当周期n≥3时的任何一种情况，证法都类同。证毕。
0 q) {/ e0 }8 t, a/ W" K, F" ?      命题5  两诡数相除所得的商，表示诡数的收势，商越大，表示收势越小，诡差也越小。
! S# ^1 \5 r% n, b      定理12   设a1<a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(a2-a1) = 〒(n- a2+ a1)，周期为n=9，其中A=﹛A1，A2，A3﹜，A′=﹛A1′，A2′，A3′﹜，有诡商（收势）gui(A1)÷gui(A1′) <gui(A2)÷gui(A2′) <gui(A3)÷gui(A3′)，诡差C1>C2>C3。
      证  当a1=1，a2=2时，gui(A1)÷gui(A1′)= 〒〔(1-2)÷（9-2+1）〕=〒〔（-1)÷8〕=1/8，这时a2
- a1=1；当a1=2，a2=4时，gui(A2)÷gui(A2′)= 〒〔(2-4)÷（9-4+2）〕= 〒〔(-2)÷7〕=2/7，这时a2
5 G" G/ V1 j9 J$ R- a1=2；当a1=3，a2=7时，gui(A3)÷gui(A3′)= 〒〔(3-7)÷（9-7+3）〕= 〒〔(-4)÷5〕=4/5，这时a2
8 z. ?* f0 Y; @- a1=4。得诡商gui(A1)÷gui(A1′) < gui(A2)÷gui(A2′) <gui(A3)÷gui(A3′)，因诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1′)︳=︳〒(1-2)- 〒（9-2+1）︳=︳1-8︳=7；C2=︳gui(A2) -gui(A2′)︳=︳〒(2-4)- 〒（9-4+2）︳=︳2-7︳=5；C3=︳gui(A3) -gui(A3′)︳=︳〒(3-7)- 〒（9-7+3）︳=︳4-5︳=1。有C1>C2>C3。得证。
3 r+ k. l7 }; _1 {9 {2 h      推论8   收势（诡商）象张势一样是诡差的一种表现形式，它要取绝对值。
      定理13   设a1>a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(a2-a1) = 〒(n- a1+ a2)，周期为n=11，其中A=﹛A1，A2，A3﹜，A′=﹛A1′，A2′，A3′﹜，有诡商gui(A1)÷gui(A1′) <gui(A2)÷gui(A2′) <gui(A3)
÷gui(A3′)，诡差C1>C2>C3。
      证  当a1=2，a2=1时，gui(A1)÷gui(A1′)= 〒〔(2-1)÷（11-2+1）〕=〒（1÷10〕=1/10，这时a2
5 A% u+ k  r; x% P7 ~8 q$ `- a1=1；当a1=5，a2=3时，gui(A2)÷gui(A2′)= 〒〔(5-3)÷（11-5+3）〕=〒(2÷9)=2/9，这时a2- a1=2；当a1=9，a2=4时，gui(A3)÷gui(A3′)=〒〔(9-4)÷（11-9+4）〕=〒(5÷6)=5/6，这时a2- a1=5。得诡商gui(A1)÷gui(A1′) < gui(A2)÷gui(A2′) <gui(A3)÷gui(A3′)，因诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1′)︳=︳〒(2-1)- 〒（11-2+1）︳=︳1-10︳=9；C2=︳gui(A2) -gui(A2′)︳=︳〒(5-3)- 〒（11-5+3）︳=︳2-9︳=7；C3=︳gui(A3) -gui(A3′)︳=︳〒(9-4)- 〒（11-9+4）︳=︳5-6︳=1。有C1>C2>C3。证毕。
/ O( q: t) ^2 j4 ?( |( f- X+ G      推论9  诡数和实数可混合运算。
# [! j) I. Y/ k      定理14   设诡数的两个点为a1=3，a2=6，它们的周期为n=7，另有实数b1=5，b2=18，求实数的积与诡数的商之和。
/ R- M9 B2 |- ^2 Z      证  首先先算出a1和a2这两个点的诡数之商，因a1<a2，有gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(n-a2+a1)，得gui(A)=〒(3-6）=〒(-3)=3，gui(A′)=〒(7-6+3) =〒(4)=4；它们的商为gui(A)÷gui(A′)=3÷4=3/4；而实数b1和b2的积为b1×b2=5×18=90，因此求上述诡数和实数的和列式得gui(A)÷gui(A′)+ b1×b2=3÷4+5×18=90（3/4）。此式所得的解表示，诡数的另一周期在经过90个点后出现。证毕。
      定理15   设诡数有S个周期，形成诡差至少要有S≥2个周期，求S≥3个以上周期的两个模和诡差的周期数S′，必然有S′=S-2。
2 q8 f# C# v  e6 v      定理16  a1是n1周期的一个点，a2是n1周期的另一个点，周期序列S=﹛1，2，3，…n…﹜，S′=S-2，求相隔S≥3个周期的两个诡数模a1到a2′，和a2′再到新周期的a1而形成的诡差。
; J( D& z) _5 }* K' y# h      证  当a1>a2时，gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(n- a1 +a2)；当a1<a2时，gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A′)=〒(n-a2+a1)，那么有gui(A)=〒(a1-a2)=〒〔 (a1-a2)+ (a1-a2) S〕=〒〔(a1-a2)+ (a1-a2) (S-2)
〕，gui(A′)=〒(n-a1+a2′)〒(n- a1 +a2) S′=〒(n- a1 +a2) (S-2)，和gui(A′)=〒(n- a2′+a1) =〒(n-a2+a1) S′=〒(n- a2+a1) (S-2)。证毕。
      命题6  多周期有规律的诡数运算与双周期的诡数运算相同，其中只增加周期数和周期模的乘积。
      定理17  设a1>a2，a1为S1=1周期的一个点，a2为S2=n周期的一个点，n∈N,N={ n1，n2，n3，…nn﹜，有gui(A)〒(a2 -a 1)，gui(A′)=〒(n- a1 +a2)+ (S-2)n和gui(A′)=〒(n×N-a1 +a2)。
1 e6 Z. q# B9 e9 C' ^+ y      证  若a1>a2，a1=5为S1=1周期的一个点，a2=2，a2′=2，为S2=6周期的一个点，n=9，S′= S-2=6-2，那么a1到a2的诡数gui(A)=〒(a2 -a 1)=〒(2-5)=3，gui(A′)=〒〔(n- a1 +a2)+ (S-2)n〕=〒〔(9-5+2)+（6-2）9〕=〒(6+36)=42。也令S′= S-1=6-1=5，即计算多周期的模时，先减去一个周期，得gui(A)=〒(n×5- a1 +a2)=〒(9×5-5+2) =〒(45-3)=42。两者相同。证毕。
( g: F2 P2 R4 C. \      定理18   当a1>a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总会有一些gui(A′)=〒(a2 -a 1)=〒(n- a2)的解。
      证  设周期n=7，当a1=6，a2=3时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(6-3)=3，gui(A′)=〒(n-a2) =〒(7-3)=4。当a1=5，a2=2时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(5-3)=2，gui(A′)=〒(n-a2) =〒(7-2)=5。n= gui(A)+ gui(A′)=3+4=2+5=7。得证。
      定理19   当a1>a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总还会有非gui(A′)=〒(a2 -a 1) =〒(n- a2)的解。
      证  设周期n=7，当a1=4，a2=3时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(4-3)=1，gui(A′)=〒(n-a2) =〒(7-3)=4。n= gui(A)+ gui(A′)=1+4=5≠7。得证。
      定理20   当a1<a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总会有gui(A′)
=〒(a2 -a 1) =〒(n- a1)的解。
      证  设周期n=7，当a1=3．5，a2=7时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(3．5-7)=〒(-3．5)=3．5，gui(A′)=〒(n-a1) =〒(7-3．5)= 3．5。n= gui(A)+ gui(A′)=3．5+3．5=7，这是一个非整数解。证毕。
8 ~; @5 u# \0 ]4 a5 U( y      定理21   当a1<a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总会有非gui(A′)
: O3 ?" E8 D  K4 ^5 A  N=〒(a2 -a 1) =〒(n- a1)的解。
      证  设周期n=7，当a1=2，a2=5时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(2-5)=〒(-3)=3，gui(A′)=〒(n-a1) =〒(7-2) =〒(5)= 5。n= gui(A)+ gui(A′)=3+5=8≠7，这是一个非整数解。证毕。
8 d8 b2 T3 e1 ]9 ?      推论10  多周期非规律的诡数运算与双周期诡数的运算相同，但要增加各周期具体模相加的和。
      定理22  从周期n=3开始的奇数周期，若a1<a2，a2 -a 1，n∈N,N={ 3，4，5，…∞﹜，〒(n-a2)所得的连续解，成以1开始的自然数集M={ 1，2，3，…∞﹜。
' H" g" h' Q* k4 Y      证  当n=3，a1+a2=3时，a1<a2，a2 -a 1=1，有a2 =2，a1=1，若〒(n-a2)，则有〒(3-2)=1；当n=5，a1+a2=5时，a1<a2，a2 -a 1=1，有a2 =3，a1=2，若〒(n-a2)，则有〒(5-3)=2；当n=7，a1+a2=7时，a1<a2，a2 -a 1=1，有a2 =4，a1=3，若〒(n-a2)，则有〒(7-4)=3…；当n=m，a1+a2=m,a2=u时，a1<a2，a2 -a 1=1，若〒(n-a2)，则有〒〔u- (u-1)〕=1。证毕。
) @7 d+ y! S& a, Y/ c4 S$ D      其他类似的规律很多，证略。
, ~! e2 g. B8 d7 ?7 Z; y* \9 Z      推论11  数包括实数、复数和诡数。
      推论12   诡数也许可以和复数互相转化。
4 ?& p; F: z$ }0 U& E3 }3 ^# I) x      引理 设有三次方程x3=px+q，它的根总可以表示为x=3√u+3√v，其中u和v是方程组

9 [& M# P7 y7 }* mu+v=p

- E$ H# }2 [- ]/ U- Quv=(p/3)3（注：后边这“3”是表示立方）

4 I, ~# M" v# o. C3 [: [的解。求三次方程x3=9x+28的根，得两组解：u =27，v =1和u=1，v =27，利用关系式x=3√u+3√v得x=4，即数是原方程的根。但是，存在一些三次方程，使上列方程组无实数解，如方程x3=15x+4，有实数根x=4，这容易把4代替进行验证。如果对该方程写出上列方程组，那么该方程组是没有实数解。但三次方程却显然有实数根，如果遇到√121之类被称为诡辩量的负数开平方时就舍弃这种量，可能会把三次方程的实根一并被舍弃，因此出现无解的情况，我们应该认定它可能是复数与实数的转化机制和过程我们还不了解，而上边的两个三次方程表明它们互相之间可以转化。既然复数与实数可以互相转化，实数和诡数又能互相转化，那就表明复数和诡数也可能可以互相转化。




; A& V( V! ~0 {4 v- A3 y1 y* m

yangzh4645

建议你把语文学好了再发。
许多定理的叙述和证明都不严谨
! C* P7 H4 Z6 i" L6 Y# V如果缺乏严谨的表述，无论你发现什么都不会为人们所承认

高阳皇

其实我一直觉得楼主的品味不错！呵呵！
数学中国社区 不走平凡路

徐智敏

努力提高语文表达能力！呵呵……

徐智敏

感谢本论文获得了推荐！

徐智敏

回复 yangzh4645 的帖子
. o+ u' q( L; Y9 t; K; @$ X0 d
数学论文要用数学语言写，而不是用科普形式写，对比中国数学学会专刊发的论文，我的文字叙述还稍微多了点，只是为了让多些人能容易读懂，才不得已而为之，呵呵……

徐智敏

转引：莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。当年，莱布尼兹发表微积分的论文时，总共只有六页纸，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。

徐智敏

转引：莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。当年，莱布尼兹发表微积分的论文时，总共只有六页纸，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。

徐智敏

说明一下：在上边的论文中，gui(A)和gui(A&acute;)这两个表示符号里，gui(A)没有错误，gui(A&acute;)却是发出来后自动改变成的符号，原文gui(A&acute;)变成了现在难以理解的东西，其他符号也多少有一些改变，增加了阅读的困难。下边再发一次，希望情况会好一些。

徐智敏

诡  数
' ~% M2 o, {9 _0 v  {! ]3 }# N0 Q副题：一种以周期性和模长为特征的新数学形式的探讨
作者：徐智敏
% b# P( l' [) [, u) X! Y7 q摘要
        本文提出并完整建立了一种以周期性和模长为特征的新数学形式的概念，称之为诡数，取它两模量因先后次序不同而形成的表面相等，实质不相等，显得结果诡异之意。
        诡数与实数有互逆的关系，同时诡数与复数也可能有互逆的关系。诡数还有特殊的座标系表现形式。
- r: G% H6 G% [  x! W1 \( I/ R相关术语与记号
9 _+ D3 H" P% |/ b9 O5 D相关术语：诡数是一种未为人们所认识和研究的数学现象，它可以对一些实例进行数**算，或提供一种数学工具。如摘要所述，它系取它两模量因先后次序不同而形成的表面相等，实质不相等，显得结果诡异之意。
记号：在这里我们先设置和采用一些在诡数运算中会用上的记号。“gui”是表示诡数的符号，“gui(A)”和gui(A&acute;)是诡数，“〒”表示单一诡数运算内所得的值都为绝对值，但诡数减诡数所得出的诡差值，容许出现负数，它表示相减的两诡数方向和位置不同。“|  |”、“→”和“|→|”则分别是现有数学界通用的表示区间、向量和向量长度（模）的符号。
论文内容——主要定义和一般性定理

       定义1  诡数是以周期性为特征的一种数学形式，并且每个周期取整数时是以1起，以n止的数学形式，n∈N,N={1,2,3,…n}。
       定义2  诡数是以计算模（绝对值）为特征的一种数学形式，它所得的诡数解不能出现负数。若有gui(A)=|→a1a2|=|a2-a1|=〒(a2-a1)，a1>a2，则有a2- a1<0，但在诡数中gui(A) =〒(a2-a1)>0。
/ w3 a: O+ Z, J1 f- l' q' y- ?       命题1  诡数表面是等式，其实它没有相等的情况，一旦出现相等的情况，那么它的结果就不再叫诡数，而只能叫实数。
# [: R6 `% m3 C1 Z0 {. F5 M4 Z        定理1  设座标系中有点a1、a2形成的模|→a1a2|和|→a2a1|，在实数范畴内|→a1a2|=|→a2a1|。但在诡数范畴内|→a1a2|≠|→a2a1|，因为它们被周期截分了，a1、a2点的先后顺序因分别落在不同的周期上，而使模值出现了异常的变化，出现新的解（图略）。这从先后次序不同的月份和星期的变化周期上可看出来。若有|→a1a2|=A，则|→a2a1|≠A。在这里引入诡数符号表示诡数与实数的差异性，并便于它们的运算，则gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(a2-a1)，得gui(A) ≠gui(A&acute;)。
        证  gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(a2-a1)。设a1>a2，其中gui(A)在同一个周期内，gui(A&acute;)在两个周期之间，因而有a1-a2 ≤a1，a2-a1=n-a1+a2≥a1。例如取n=7，a1=4，a2=2，有a1-a2=4-2=2<a1，a1&acute;=7，a2&acute;=6，有a1-a2=1<a1；a2-a1=n-a1+a2=7-4+2=5>a1，a2&acute;-a1&acute;=n-a1&acute;+a2&acute;=7-7+6=6>a1&acute;。其中n=n1=n2=n3…nn…，即n∈N,得gui(A) ≤a1，gui(A&acute;) ≥a1，其中gui(A)= gui(A&acute;)= a1，为诡数转化为实数的情况，诡数有gui(A) ≠gui(A&acute;)。得证。
        再设a1<a2，其中其中gui(A)在同一个周期内，gui(A&acute;)在两个周期之间，因而有a1-a2≤a2，a1-a2=n-a2+a1≥a2。举例略。其中n=n1=n2=n3…nn…，即n∈N,得gui(A) ≤a2，gui(A&acute;) ≥a2，其中gui(A)= gui(A&acute;)=a2，为诡数转化为实数的情况，诡数有gui(A) ≠gui(A&acute;)。得证。
- J1 j; H. R; r' {. _4 \        命题2  在诡数周期n的变化过程中，模|→a1a2|和模|→a2a1|的其中一段必定在一个周期内，另一段在两个周期之间。这是诡数出现和存在的必需条件。
        定理2  因每个周期的整数点由1起，以n止，当a1>a2时，gui(A)= |→a2a1|=|a1-a2|=〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=|→a1a2|=|a2-a1|=〒（n-a1+a2）；当a1<a2时，gui(A)= |→a1a2|=|a2-a1|=〒(a2 -a1)，gui(A&acute;)= |→a2a1|=|a1-a2|=〒（n- a2+ a1）。
- \# t: W0 B; g' E4 |' v3 O  e1 g3 k        证  当a1>a2时，若gui(A)=〒(a1-a2)，有gui(A&acute;)=〒〔n-(a1-a2)〕，即gui(A&acute;)= n-a1+a2；当a1<a2时，gui(A)=〒(a2-a1)，有gui(A&acute;)=n-(a2-a1)，即gui(A&acute;)=n-a2+a1，得证。
        推论1  诡数因模不相等而存在。模不相等引起诡差。诡差是诡数存在的必要条件。诡数必定存在一个诡差。
        定理3  从定理1和定理2可知，当gui(A)在同一个周期内，gui(A&acute;)在两个周期之间时，gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A&acute;)= 〒(a2-a1)=〒（n-a1+a2），或gui(A)= 〒(a2-a1)，gui(A&acute;) =〒(a1-a2)= 〒(n-a2+a1)。若a1>a2，有gui(A) ≤a1，gui(A&acute;) ≥a1，若a1<a2，gui(A) ≤a2，gui(A&acute;) ≥a2，gui(A&acute;)- gui(A)，或gui(A)- gui(A&acute;)所得的解
+ l9 ^4 M- Y0 u3 H7 W        Limf(x)=C,
        X→n
        即为诡差。
        推论2  诡数因是以周期性为特征的，其中出现的模会因起始方向不同而出现不同的值，所以它的座标系有别于实数座标系。
. y5 b- v# U+ F& O7 ?6 R        推论3  在诡数座标系中的X轴作延伸线段，当且仅当在诡数范畴内，永远存在一系列连续的周期n。
3 d) e% `1 ^% P" h, _/ b" t5 P4 E       
        定理4  设a1和a2在座标系的轴是周期性出现的两个点，它们所落的每一个周期都至少有n个点，并且n≥2时有正整数解。
        证  有任意正整数点a1和a2的模之和是n，gui(A)+gui(A&acute;)=〒(a1-a2)+〒(a2-a1)= n。当n≤2时，n=﹛a1，a2﹜=﹛0，1，2﹜，有零和最多两个正整数。若a1=2，则a2=0，只有一个点，周期不成立。若a1=1， a2=1，则只有唯一一个正整数解。若a1<1， a2<1，则没有正整数解，所以n≥2时有正整数解得证。
6 p) [& X" _/ ]$ `) n2 e! j        定理5  设诡数每一个周期有n个点，当n≤1时，没有整数诡数解。这由定理4可推知，证略。
* k/ d! {- b8 @) }        定义3  在相同数周期系中，每个周期的模都保持为n。若有周期系n∈N,N={ n1，n2，n3…nn﹜，则n1=n2=n3…nn= n。（图略）
        定义4  在相同数（有规律）周期系中，两诡数的模值之和总等于n。
" N0 Z. [3 o5 T' s4 N6 {        定理6  设有诡数gui(A)和gui(A&acute;)，它们的模值之和gui(A)+gui(A&acute;)= n。
        证  诡数每一周期总由两模值组成，若gui(A) = n- gui(A&acute;)，总有gui(A&acute;)= n- gui(A)，反之亦然，因而有gui(A)+gui(A&acute;)= n- gui(A)+ n- gui(A&acute;)，2n= 2gui(A)+2gui(A&acute;)即gui(A)+gui(A&acute;)= n，得证。
2 u4 x! q1 H4 R        定义5  在相同数周期系中，同一周期内若有gui(A)+gui(A&acute;)= n，两周期之间必然也有gui(A&acute;) + gui(A) = n。
        定理7  设相同数周期中有数值相同的连续周期，其两诡数分别定为gui(A)和gui(A&acute;)。
        证  若每个周期有n= gui(A)+gui(A&acute;)，跨周期总有n′= n- gui(A)+ n- gui(A&acute;)，或n′= n- gui(A&acute;)+ n- gui(A)（后式表示模值出现的顺序与前式不同）。令n′=n，即有n′= gui(A)+gui(A&acute;)，得证。
, c* @! s1 s. h" b1 E  p  \6 |        推论4 诡数可以转化为实数，实数也可以转化为诡数，它们互相可以是对方的逆运算。推论1  诡数因模不相等而存在。模不相等引起诡差。诡差是诡数存在的必要条件。诡数必定存在一个诡差。推论2  诡数因是以周期性为特征的，其中出现的模会因起始方向不同而出现不同的值，所以它的座标系有别于实数座标系。
7 f( w8 E! F8 Z: ~+ A( v3 v        推论3  在诡数座标系中的X轴作延伸线段，当且仅当在诡数范畴内，永远存在一系列连续的周期n。推论4 诡数可以转化为实数，实数也可以转化为诡数，它们互相可以是对方的逆运算。
        定理8  以n≥2的偶数为周期的任一区间诡数，在周期的半值和全周期值之间，都必定会使诡数的值转化为实数。
        证  设诡数一个区间周期的半值为n/2，则a1=n，a2= n/2。有gui(A) =〒(n/2)，gui(A&acute;)= 〒(a1-a2)= 〒(n- n/2)= 〒(n/2)，因此得gui(A) =  gui(A&acute;)，诡差消失。其逆变化是实数转化为诡数。证毕。
( y$ C/ n5 i  A6 V, b9 C. `8 L        定义6  在变化数（非规律）周期系中，各个周期的绝对值围绕n而变动，变动范围为n±n′，有∫f(x)dx=F(x)+ n′。我们用以计算日期的一年中不同月份的不同天数就是一个例子。（图略）
; }7 m( s- a9 d5 P1 a        定义7  在变化数（非规律）周期中，两诡数的模值之和存在不定值。若有gui(A)+gui(A&acute;)= n，n∈N,N={ n1，n2，n3…nn﹜，则可能有n1≠n2≠n3…≠nn≠n。
: x5 @0 E* j1 K* f  x        命题3  诡数中，特殊周期系的各个周期变化可不具规律性。
$ v( M9 ?  H% g        定理9  设任取四个周期n1，n2，n3，n4，其围绕n增减的n&acute;值分别定为n1&acute;=13，n2&acute;=25，n3&acute;=6，n4&acute;=17。有n1周期为n+13，n2周期为n+25，n3周期为n+6，n4周期为n+17，那么n1= n+13，n2= n+25，n3= n+6，n4= n+17，则n+13≠ n+25≠ n+6≠ n+17，得n1≠n2≠n3≠n4。
        推论5 由于诡差的存在，实数的加减法运算规则有时不能直接运用于诡数。
        推论6 实数的乘除法运算规则一般适用于诡数。
       
6 x1 B0 y( k, c2 _% Q+ y2 B        命题4 两诡数相乘所得的积，表示诡数的张势，积越小，表示张势越大，诡差也越大。其中张势与诡差内涵几近相同，但张势只取正值，诡差容许取负值。
        定理10  设a1>a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(a2-a1) = 〒(n- a1+ a2)，周期为n=7，其中A=﹛A1，A2，A3，A4，A5，A6﹜，A&acute;=﹛A1&acute;，A2&acute;，A3&acute;，A4&acute;，A5&acute;，A6&acute;﹜，若诡积gui(A1) ×gui(A1&acute;)＜gui(A2) ×gui(A2&acute;)，有诡差C1>C2；若诡积gui(A2) ×gui(A2&acute;)＜gui(A3) ×gui(A3&acute;)，有诡差C2>C3…。
/ T5 |! A& S! P, [% v6 P9 W        证  若a1>a2，当a1=2，a2=1时，gui(A1) ×gui(A1&acute;)= 〒(2-1)（7-2+1）= 〒(1×6)=6；当a1=3，a2=1时，gui(A2) ×gui(A2&acute;)= 〒(3-1)（7-3+1）= 〒(2×5)=10；当a1=4，a2=1时，gui(A3) ×gui(A3&acute;)= 〒(4-1)（7-4+1）= 〒(3×4)=12；当a1=5，a2=1时，gui(A4) ×gui(A4&acute;)= 〒(5-1)（7-5+1）= 〒(4×3)=12；当a1=6，a2=1时，gui(A5) ×gui(A5&acute;)= 〒(6-1)（7-6+1）= 〒(5×2)=10；当a1=7，a2=1时，gui(A6) ×gui(A6&acute;)= 〒(7-1)（7-7+1）= 〒(6×1)=6。诡积〔gui(A1) ×gui(A1&acute;)= gui(A6) ×gui(A6&acute;)〕＜〔gui(A2) ×gui(A2&acute;)= gui(A5) ×gui(A5&acute;)〕＜〔gui(A3) ×gui(A3&acute;)= gui(A4) ×gui(A4&acute;)〕，诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1&acute;)︳=︳〒(2-1)-（7-2+1）︳=︳1-6︳=5；C2=︳gui(A2) -gui(A2&acute;)︳=︳〒(3-1)-（7-3+1）︳=︳2-5︳=3；C3=︳gui(A3) -gui(A3&acute;)︳=︳〒(4-1)-（7-4+1）︳=︳3-4︳=1；C4=︳gui(A4) -gui(A4&acute;)︳=︳〒(5-1)-（7-5+1）=4-3=1；C5=︳gui(A5) -gui(A5&acute;)︳=︳〒(6-1)-（7-6+1）︳=︳5-2︳=3；C6=︳gui(A6) -gui(A6&acute;)︳=︳〒（7-1)-（7-7+1）︳=︳6-1︳=5。有（C1= C6）>（C2= C5）>（C3= C4）。从中可知，在取整数点时，诡积若有偶数对，当a2取值确定，a1取值最小和最大的两对得数最小的诡积张势和诡差最小，a1取值居中的另两对得数最大的诡积张势和诡差最大。当a1=3，a2=2时，gui(A1) ×gui(A1&acute;)= 〒(3-2)（7-3+2）= 〒(1×6)=6；当a1=4，a2=2时，gui(A2) ×gui(A2&acute;)= 〒(4-2)（7-4+2）= 〒(2×5)=10；当a1=5，a2=2时，gui(A3) ×gui(A3&acute;)= 〒(5-2)（7-5+2）= 〒(3×4)=12；当a1=6，a2=2时，gui(A4) ×gui(A4&acute;)= 〒(6-2)（7-6+2）= 〒(4×3)=12；当a1=7，a2=2时，gui(A5) ×gui(A5&acute;)= 〒(7-2)（7-7+2）= 〒(5×2)=10。诡积〔gui(A1) ×gui(A1&acute;)＜gui(A2) ×gui(A2&acute;) 〕=〔 gui(A5) ×gui(A5&acute;)＜gui(A3) ×gui(A3&acute;) 〕= gui(A4) ×gui(A4&acute;)。从上可知，诡差会有C1 >（C2= C5）>（C3= C4）。即在取整数点时，诡积若有一个不成偶，当a2取值确定，不成偶的这一个诡积张势和诡差最小；而a1取值居中的一对得数最大的诡积张势和诡差最大。证毕。
        推论7  计算诡差时，容许出现负值。但要比较张势（诡积）大小时，诡差需取绝对值。
9 O4 C" y! u% m9 Y/ I: @" v$ |        定理11  设a1<a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(a2-a1) = 〒(n- a2 + a1)，周期为n=7，其中A=﹛A1，A2，A3，A4，A5，A6﹜，A&acute;=﹛A1&acute;，A2&acute;，A3&acute;，A4&acute;，A5&acute;，A6&acute;﹜。若诡积gui(A1) ×gui(A1&acute;)＜gui(A2) ×gui(A2&acute;)，有诡差C1>C2；若诡积gui(A2) ×gui(A2&acute;) >gui(A3) ×gui(A3&acute;)，有诡差C2<C3…。
  H5 y4 I* F" s7 Z        证  若a1<a2，当a1=1，a2=2时，gui(A1) ×gui(A1&acute;)= 〒(1-2)（7-2+1）=〒（-1)×6=6；当a1=1，a2=3时，gui(A2) ×gui(A2&acute;)= 〒(1-3)（7-3+1）= 〒(-2)×5=10；当a1=1，a2=4时，gui(A3) ×gui(A3&acute;)= 〒(1-4)（7-4+1）= 〒(-3)×4=12；当a1=1，a2=5时，gui(A4) ×gui(A4&acute;)= 〒(1-5)（7-5+1）= 〒(-4)×3=12；当a1=1，a2=6时，gui(A5) ×gui(A5&acute;)= 〒(1-6)（7-6+1）= 〒(-5)×2=10；当a1=1，a2=7时，gui(A6) ×gui(A6&acute;)= 〒(1-7)（7-7+1）= 〒(-6)×1=6。因诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1&acute;)︳=︳〒(1-2)-（7-2+1）︳=︳1-6︳=5；C2=︳gui(A2) -gui(A2&acute;)︳=︳〒(1-3)-（7-3+1）︳=︳2-5︳=3；C3=︳gui(A3) -gui(A3&acute;)︳=︳〒(1-4)-（7-4+1）︳=︳3-4︳=1；C4=︳gui(A4) -gui(A4&acute;)︳=︳〒(1-5)-（7-5+1）=︳4-3︳=1；C5=︳gui(A5) -gui(A5&acute;)︳=︳〒(1-6)-（7-6+1）︳=︳5-2︳=3；C6=︳gui(A6) -gui(A6&acute;)︳=︳〒（1-7)-（7-7+1）︳=︳6-1︳=5。有诡差（C1= C6）>（C2= C5）>（C3= C4）。得a1取值确定，诡积有偶数对，a2取值最小和最大时，张势最大，诡差也最大；而a2取值居中时，张势最小，诡差也最小。当a1=2，a2=3时，gui(A1) ×gui(A1&acute;)= 〒(2-3)（7-3+2）= 〒(-1)×6=6；当a1=2，a2=4时，gui(A2) ×gui(A2&acute;)= 〒(2-4)（7-4+2）= 〒(-2)×5=10；当a1=2，a2=5时，gui(A3) ×gui(A3&acute;)= 〒(2-5)（7-5+2）= 〒(-3)×4=12；当a1=2，a2=6时，gui(A4) ×gui(A4&acute;)= 〒(2-6)（7-6+2）= 〒(-4)×3=12；当a1=2，a2=7时，gui(A5) ×gui(A5&acute;)= 〒(2-7)（7-7+2）= 〒(-5)×2=10。若诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1&acute;)︳=︳〒(2-3)-（7-3+2）︳=︳1-6︳=5；C2=︳gui(A2) -gui(A2&acute;)︳=︳〒(2-4)-（7-4+2）︳=︳2-5︳=3；C3=︳gui(A3) -gui(A3&acute;)︳=︳〒(2-5)-（7-5+2）︳=︳3-4︳=1；C4=︳gui(A4) -gui(A4&acute;)︳=︳〒(2-6)-（7-6+2）=︳4-3︳=1；C5=︳gui(A5) -gui(A5&acute;)︳=︳〒(2-7)-（7-7+2）︳=︳5-2︳=3。有C1>（C2= C5）>（C3= C4）。从中可知，在取整数点时，诡积若有一个不成偶，当a1取值确定时，不成偶的这一个诡积张势和诡差最小；而a2取值居中的一对得数最大的诡积张势和诡差最大。当周期n≥3时的任何一种情况，证法都类同。证毕。
        命题5 两诡数相除所得的商，表示诡数的收势，商越大，表示收势越小，诡差也越小。
  C2 E$ a/ l9 d! U3 e        定理12  设a1<a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(a2-a1) = 〒(n- a2 + a1)，周期为n=9，其中A=﹛A1，A2，A3﹜，A&acute;=﹛A1&acute;，A2&acute;，A3&acute;﹜，有诡商（收势）gui(A1) ÷gui(A1&acute;) <gui(A2) ÷gui(A2&acute;) <gui(A3) ÷gui(A3&acute;)，诡差C1>C2>C3。
        证  当a1=1，a2=2时，gui(A1) ÷gui(A1&acute;)= 〒〔(1-2)÷（9-2+1）〕=〒〔（-1) ÷8〕=1/8，这时a2 - a1=1；当a1=2，a2=4时，gui(A2) ÷gui(A2&acute;)= 〒〔(2-4) ÷（9-4+2）〕= 〒〔(-2) ÷7〕=2/7，这时a2 - a1=2；当a1=3，a2=7时，gui(A3) ÷ gui(A3&acute;)= 〒〔(3-7) ÷（9-7+3）〕= 〒〔(-4) ÷5〕=4/5，这时a2 - a1=4。得诡商gui(A1) ÷gui(A1&acute;) < gui(A2) ÷gui(A2&acute;) <gui(A3) ÷gui(A3&acute;)，因诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1&acute;)︳=︳〒(1-2)- 〒（9-2+1）︳=︳1-8︳=7；C2=︳gui(A2) -gui(A2&acute;)︳=︳〒(2-4)- 〒（9-4+2）︳=︳2-7︳=5；C3=︳gui(A3) -gui(A3&acute;)︳=︳〒(3-7)- 〒（9-7+3）︳=︳4-5︳=1。有C1>C2>C3。得证。
        推论8  收势（诡商）象张势一样是诡差的一种表现形式，它要取绝对值。
        定理13  设a1>a2，诡数gui(A)〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(a2-a1) = 〒(n- a1 + a2)，周期为n=11，其中A=﹛A1，A2，A3﹜，A&acute;=﹛A1&acute;，A2&acute;，A3&acute;﹜，有诡商gui(A1) ÷gui(A1&acute;) <gui(A2) ÷gui(A2&acute;) <gui(A3) ÷gui(A3&acute;)，诡差C1>C2>C3。
        证  当a1=2，a2=1时，gui(A1) ÷gui(A1&acute;)= 〒〔(2-1)÷（11-2+1）〕=〒（1÷10〕=1/10，这时a2 - a1=1；当a1=5，a2=3时，gui(A2) ÷gui(A2&acute;)= 〒〔(5-3) ÷（11-5+3）〕=〒(2÷9)=2/9，这时a2 - a1=2；当a1=9，a2=4时，gui(A3) ÷ gui(A3&acute;)=〒〔(9-4) ÷（11-9+4）〕=〒(5÷6)=5/6，这时a2 - a1=5。得诡商gui(A1)÷gui(A1&acute;) < gui(A2)÷gui(A2&acute;) <gui(A3)÷gui(A3&acute;)，因诡差C1=︳gui(A1) -gui(A1&acute;)︳=︳〒(2-1)- 〒（11-2+1）︳=︳1-10︳=9；C2=︳gui(A2) -gui(A2&acute;)︳=︳〒(5-3)- 〒（11-5+3）︳=︳2-9︳=7；C3=︳gui(A3) -gui(A3&acute;)︳=︳〒(9-4)- 〒（11-9+4）︳=︳5-6︳=1。有C1>C2>C3。证毕。
6 f1 V8 N6 [0 r( I1 ^: ^. r( M- M5 f        推论9  诡数和实数可混合运算。
4 A* \* `/ I; Z' |7 b8 Z        定理14  设诡数的两个点为a1=3，a2=6，它们的周期为n=7，另有实数b1=5，b2=18，求实数的积与诡数的商之和。
" w. q. u) z! z7 N/ i; N' R9 [        证  首先先算出a1和a2这两个点的诡数之商，因a1<a2，有gui(A)=〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(n-a2+a1)，得gui(A)=〒(3-6）=〒(-3)=3，gui(A&acute;)=〒(7-6+3) =〒(4)=4；它们的商为gui(A)÷gui(A&acute;)=3÷4=3/4；而实数b1和b2的积为b1×b2=5×18=90，因此求上述诡数和实数的和列式得gui(A)÷gui(A&acute;)+ b1×b2=3÷4+5×18=90（3/4）。此式所得的解表示，诡数的另一周期在经过90个点后出现。证毕。
( s# F0 |0 D( K( h        定理15  设诡数有S个周期，形成诡差至少要有S≥2个周期，求S≥3个以上周期的两个模和诡差的周期数S&acute;，必然有S&acute;=S-2。
        定理16  a1是n1周期的一个点，a2是n1周期的另一个点，周期序列S=﹛1，2，3，…n…﹜，S&acute;=S-2，求相隔S≥3个周期的两个诡数模a1到a2&acute;，和a2&acute;再到新周期的a1而形成的诡差。
$ _2 l2 M3 Y/ t& B, v- }        证  当a1>a2时，gui(A) =〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(n- a1 +a2)；当a1<a2时，gui(A) =〒(a1-a2)，gui(A&acute;)=〒(n-a2+a1)，那么有gui(A) =〒(a1-a2)=〒〔 (a1-a2)+ (a1-a2) S〕=〒〔(a1-a2)+ (a1-a2) (S-2) 〕，gui(A&acute;)=〒(n-a1+a2&acute;) 〒(n- a1 +a2) S&acute;=〒(n- a1 +a2) (S-2)，和gui(A&acute;)=〒(n- a2&acute;+a1) =〒(n-a2+a1) S&acute;=〒(n- a2+a1) (S-2)。证毕。
% [+ [$ i' s0 l; c' t        命题6 多周期有规律的诡数运算与双周期的诡数运算相同，其中只增加周期数和周期模的乘积。
7 j, A6 G3 ?" i; ~# [8 }        定理17  设a1>a2，a1为S1=1周期的一个点，a2为S2=n周期的一个点，n∈N,N={ n1，n2，n3，…nn﹜，有gui(A)〒(a2 -a 1)，gui(A&acute;)=〒(n- a1 +a2)+ (S-2)n和gui(A&acute;)=〒(n×N-a1 +a2)。
        证  若a1>a2，a1=5为S1=1周期的一个点，a2=2，a2&acute;=2，为S2=6周期的一个点，n=9，S&acute;= S-2=6-2，那么a1到a2的诡数gui(A)=〒(a2 -a 1)=〒(2-5)=3，gui(A&acute;)=〒〔(n- a1 +a2)+ (S-2)n〕=〒〔(9-5+2)+（6-2）9〕=〒(6+36)=42。也令S&acute;= S-1=6-1=5，即计算多周期的模时，先减去一个周期，得gui(A)=〒(n×5- a1 +a2)= 〒(9×5-5+2) =〒(45-3)=42。两者相同。证毕。
        定理18  当a1>a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总会有一些gui(A&acute;)=〒(a2 -a 1)=〒(n- a2)的解。
        证  设周期n=7，当a1=6，a2=3时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(6-3)=3，gui(A&acute;)=〒(n-a2) =〒(7-3)=4。当a1=5，a2=2时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(5-3)=2，gui(A&acute;)=〒(n-a2) =〒(7-2)=5。n= gui(A)+ gui(A&acute;)=3+4=2+5=7。得证。
        定理19  当a1>a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总还会有非gui(A&acute;)=〒(a2 -a 1) =〒(n- a2)的解。
7 m, s# I0 o* B. ^0 A        证  设周期n=7，当a1=4，a2=3时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(4-3)=1，gui(A&acute;)=〒(n-a2) =〒(7-3)=4。n= gui(A)+ gui(A&acute;)=1+4=5≠7。得证。
        定理20  当a1<a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总会有gui(A&acute;) =〒(a2 -a 1) =〒(n- a1)的解。
/ i' h# N7 l9 \& q7 C        证  设周期n=7，当a1=3．5，a2=7时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(3．5-7)=〒(-3．5)=3．5，gui(A&acute;)=〒(n-a1) =〒(7-3．5)= 3．5。n= gui(A)+ gui(A&acute;)=3．5+3．5=7，这是一个非整数解。证毕。
        定理21  当a1<a2时，在奇数周期中，gui(A)=〒(a1-a2)，每一个周期总会有非gui(A&acute;) =〒(a2 -a 1) =〒(n- a1)的解。
        证  设周期n=7，当a1=2，a2=5时，gui(A)=〒(a1-a2) =〒(2-5)=〒(-3)=3，gui(A&acute;)=〒(n-a1) =〒(7-2) =〒(5)= 5。n= gui(A)+ gui(A&acute;)=3+5=8≠7，这是一个非整数解。证毕。
; t! E7 J) t8 ]4 S5 s" f        推论10  多周期非规律的诡数运算与双周期诡数的运算相同，但要增加各周期具体模相加的和。
        定理22  从周期n=3开始的奇数周期，若a1<a2，a2 -a 1，n∈N,N={ 3，4，5，…∞﹜，〒(n-a2)所得的连续解，成以1开始的自然数集M={ 1，2，3，…∞﹜。
# U; _: K- C* Y! J9 T" s        证  当n=3，a1+a2=3时，a1<a2，a2 -a 1=1，有a2 =2，a1=1，若〒(n-a2)，则有〒(3-2)=1；当n=5，a1+a2=5时，a1<a2，a2 -a 1=1，有a2 =3，a1=2，若〒(n-a2)，则有〒(5-3)=2；当n=7，a1+a2=7时，a1<a2，a2 -a 1=1，有a2 =4，a1=3，若〒(n-a2)，则有〒(7-4)=3…；当n=m，a1+a2=m,a2=u时，a1<a2，a2 -a 1=1，若〒(n-a2)，则有〒〔u- (u-1)〕=1。证毕。
# C! T# p8 U3 `( m' r" y: G/ b. `        其他类似的规律很多，证略。
        推论11  数包括实数、复数和诡数。
        推论12  诡数也许可以和复数互相转化。
        引理  设有三次方程        x3=px+q，它的根总可以表示为x=3√u+3√v，其中u和v是方程组
/ S. \  ?3 L, C* o! p& @        u+v=p
! q1 G4 N* z) l+ Z+ L7 ]7 u' O        uv=(p/3)3
        的解。求三次方程x3=9x+28的根，得两组解：u =27，v =1和u=1，v =27，利用关系式x=3√u+3√v得x=4，即数是原方程的根。但是，存在一些三次方程，使上列方程组无实数解，如方程x3=15x+4，有实数根x=4，这容易把4代替进行验证。如果对该方程写出上列方程组，那么该方程组是没有实数解。但三次方程却显然有实数根，如果遇到√121之类被称为诡辩量的负数开平方时就舍弃这种量，可能会把三次方程的实根一并被舍弃，因此出现无解的情况，我们应该认定它可能是复数与实数的转化机制和过程我们还不了解，而上边的两个三次方程表明它们互相之间可以转化。既然复数与实数可以互相转化，实数和诡数又能互相转化，那就表明复数和诡数也可能可以互相转化。