哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
. i5 q9 r! D5 r! B7 {, Q已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
: ~2 R+ @( Z% y- F+ V7 m. q7 q它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
2 G6 P' d* A! d! f! T; p8 }将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
6 z2 L9 o# ?# c; F& z& Z. J则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
1 ]% w* x& w" s3 }% ]9 X即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
5 S" s- G% r! V. r/ y（2）式为奇质数表示式
' ^# Q$ b) S6 t1 c2 d1 z9 l由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
6 i9 P* p1 p& h& W1 J  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
. ]/ I7 i# w! n9 |3 h+ g; g: X  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
, N6 t, m8 D2 ?设2n"=0、2、4、6、8……∞。
5 j6 f* [; _# u( N* z6 _9 r即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
2 Y5 W, ~1 O9 r, C根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
  |: t7 y8 @) X" B$ V2 _3 HPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
5 B' P1 `; d0 H+ Q9 |其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
6 o- C9 W) e, B/ X) k2 d即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
) O4 G* b9 Y8 N  H" |/ `2 q2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
& t/ K" Z4 S8 W% }) b, k2 `2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
' J) \: j, F+ S8 V: o3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
, n% r1 o6 ~) Z7 i* v  @0 f直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
1 i7 {* A$ ]4 J6 T+ Y即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
- P/ }% y0 U) s* Q在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
6 M3 v/ a* I7 `在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
" R6 j: `' ]( Z( j9 y代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
- L& C" J4 |! r$ F, W( \即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
4 Q0 g. M* @- ^: x! Q" I/ h从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
6 |* ^9 W7 |0 z0 T* g4 u+ k) B2 q% ?5 E4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
2 v& `" u$ r+ w由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
0 a9 l6 F6 T. N  y（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
6 P7 z9 H6 ]. }8 z, B* h  b若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
% y. D8 D4 l( C% I" h) t（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
; O% Y$ Z& Y6 a- F即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
5 Q- v7 o3 R  X8 r( E/ j* ]设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
( n. q8 L, ~) M% V即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
' X) B+ R& g  Q, M0 `# L例  
, ^4 s+ e0 e4 Zn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
# v4 ?5 ^5 t6 M$ n& @8 B2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
/ X: V: L0 v; g9 [2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
5 Y* I8 s1 ^5 U! o1 n8 J6 x: q2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
: _( `4 r$ M- S: j! X6 t6 TM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
) p2 n1 `  f$ T5 LPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
, a4 u0 z( L3 IPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
+ S( A5 J& g! W) ^. u
* }& ~+ N+ g4 z由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
8 O, m- C4 [1 @5 x则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
& |) P+ B( N- R, [9 a& K$ I(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
9 S( ?7 o: `6 [- o0 s( b+ [! m) k1 e根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
$ p) k6 U, l/ s. o* ^! q然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
/ \: L% t5 Z& J8 J( D( w  {Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
  p6 X! ^% b  P1 B0 ^! p3 zPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
: N  v* p5 S! o! M
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
- ^, u4 m& y# f6 L! ?& r设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
1 z9 a1 M- ?5 F8 X/ V若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
# H* D4 W5 [( ]或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
! e; g1 t4 j3 \$ P1 P' n( FPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
1 s, t* S: [' x代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
3 m: X  `6 i# ~8 Y" K设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
* k$ l/ Y: s% a/ e- J5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
( R) E2 x3 N6 Y! S& `% G2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
% n2 [5 |. O+ z$ B8 l' v9 \! M代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
3 ~1 W4 c! F" |) i  f* a+ d  d$ z. a3 k若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
  B3 Z6 V; L% Y7 M同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
/ B" l' l+ b6 U# F即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
6 L7 X# M. W" ~$ o3 s4 l9 e2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
, N3 T( _" o9 b5 i2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
# K6 ]+ x- x$ c4 J2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
" ^% f2 W, {! g4 L. f/ a) n- M9 U将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
# n% W7 i2 [0 VPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
8 j: Q5 ^' r, H' Q3 U" m4 l 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
$ S3 a1 T8 N. Z6 J# t( K' x四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
  |; M4 S9 Q& w9 e5 L: N0 J又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
: B3 c0 g) x# s' F, |+ ~Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
* H' d' J0 F2 t* Z" Q3 ?/ q2 vPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
: @$ Z; D4 ~  G/ @) c9 K4 |! `或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
7 S1 D4 l+ f6 v) F9 Z得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
( s9 W' b" ]" W, U: a; V" Z     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
1 J4 K! g; [& t* k# `: ]- `     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
% p; h& ^3 N' R    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
& J" k) g, T, o) Q    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
+ H* ^0 M+ Z: {+ n, [& o& r1 GPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
4 {7 t2 F5 X) A6 S/ j6 T1 T& v      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
  f6 @* ?( K  B& d 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
5 A8 G" y+ H; H! K  F: @( L4 q- U+ _6 s即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
  Q" }7 \# ]' R7 c! i% X存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
" [) q$ {) ?: Z& R3 [" v1 ^; c由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
" E$ K7 A! A0 g- Z1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
1 ?, K4 ^4 V/ D/ z, C在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
% G8 ?# P" Q6 p                                             =0+3+4+3=3+7
; B+ n6 g2 q1 L2 v                                             =0+3+8+3=3+11
# }8 E( j) Q  f9 ?  A                                             =0+3+10+3=3+13
. K- U. S, y5 h5 ?                                             =0+3+14+3=3+17
$ S8 {4 x4 v( }+ x* Y6 o                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
8 F4 a5 Y& S: L) \- a5 G即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
( I( T7 h. U) `, }. m这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
: E, D* J# G$ b  P6 w+ n& S      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
' F' E# |0 }( |; w* P% ]6 c第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
+ i# g/ i) V/ U6 ~            =4+3+50+3=7+53
  `0 ]  N  G) c6 E+ R- s又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
4 @; p$ r& k, [0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
* `" y8 h) W+ J6 [( u0 `, V0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
! h6 n- g5 r6 i: P它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
7 G: ?0 Y5 p* K7 E5 G: B                                           = 34+3+58+3=37+61
8 o8 U* g* O' @* y/ b, p2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
0 A6 `! Z. K1 t! @                                   =28+3+94+3=31+97
; R( _% t7 v$ K, y                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2 [6 X8 O2 F0 C/ l# r2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
/ g! i( T6 t2 Q                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
  l! @! r7 [3 w1 F* z                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
9 m: D% D" [! F& w! G7 _. H1 ^(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
3 A+ b( n1 }: V$ g0 m# B设N=2    2n’=2n  代入上式
$ d- R9 Z# Q( W得Pn=2n’+3  
) k! Q; t7 ?( y6 F$ P: w      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
" }7 W/ n* o% ]8 e5 T( F6 [) E又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
1 r6 o! W8 F' S7 t2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
! Q: }( o$ j! _4 [2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
& k( X* i% i$ G) _$ o  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
$ U( M: G/ m% M' a8 E  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
+ x0 c/ n6 {, q% m9 `  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
" f: e1 c% J4 C1 |2 I  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
+ e# S+ v& H# s# c+ O（2）方程组
, S# P) v! g, ]/ I$ TPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
1 R5 A& H2 C4 K9 [' ^1 t2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
1 @* ]0 S; x! V! }+ ~& g2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
5 o8 n* k# |' A! v" }②解方程的步骤
( Y4 g6 Y4 T9 k$ h0 T( m设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
5 T. I% \/ F! t( e确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
0 t/ ]( `* ?4 y' M又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
& ~" x. [& X; d( p* x  UPn=2n’+3
8 K* W  e1 H- s9 ^Pn’=2n’+3+2n’’’
7 j3 Q  V3 m4 n, Q1 k( a+ u 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
4 B- n9 x1 }4 Y5 h+ K$ {1 o2 L  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
6 |( y  g! n3 E; v* z; Y即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
; i2 @1 \2 x  e+ N# L2 k6 o. X# r已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
, b1 |: i  u  U% N3 T设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
7 c+ H$ g1 B1 _7 l& O+ }     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
& F( [% p% l* O+ E5 b4 Y! ]      14       8        6         4        10      7        13          20
3 r9 l0 g: y/ r  |2 r      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
' E) x) P8 Z% n3 G4 Q     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
6 m& Q. B/ Y) {+ K. l# k3 X* _4 m     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
: R3 F' z  {* X& O/ t( g2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
. A" I; _& B, g六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
6 c  ~2 V+ Y6 J4 w( q; J" n1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
+ m6 F9 q& R6 F8 _( B( f0 N(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
2 E) C, s" e: j& W8 W* j8 K: J即奇质数之间的共同规律
. l6 ^9 |7 H6 e/ Q4 e2，以上证明涉及到五个问题
, M: i; R/ e) h, I# z$ V% c" }- @ ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
  v9 u5 T4 K6 l3 q ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
. ]7 J: |& q  G& I, ^8 g. U③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
& m9 q! y4 k9 a) A4 B ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
& T) z- \+ {" A6 \; ?- p3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
; R+ t4 h) o* C: E0 v鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
! A% O1 D: P1 I+ ]注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
( z. i# |9 V. F* o; Q因为因素与理由意思相近或相似
7 U# a) I8 @, H: Z; h. O' O- t  R& v公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
3 R+ O8 r: t1 A1 h如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
1 e+ |& G3 ?# s) U. a 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
8 R, l8 P: }6 n* `* E; P2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
6 ~" o4 k; ]7 i: E9 l注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
: o7 x" h8 N$ ~4 ?已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
4 r  M2 r3 i1 S8 a则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
0 ]1 z: x' P( t. `) K6 E# |由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
+ o; }( a% g/ _# [* u) @1 ZM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
/ A8 T& H  s( f! ~$ l得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
$ L& k* Q8 o. C1 ~7 P2 f$ }例
( K7 j% `( z! T$ ppn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
0 r7 O" L! B1 B2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
/ {2 P9 |3 u3 m由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
$ r, x& A7 W# A4 P8 K  s% c2 c; APn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

7 U& f1 V3 ?0 D# O' u注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
& A% i% K. r2 S2 L                                          3+3=1+2+1+2=4+2
: N6 z' l. F- u4 C' s7 I                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
7 R  y7 o$ n; k; N/ S5+7=3+2+5+2=4+8
( f8 n( K% A/ i7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
2 R3 {. [. K; Z8 L) F…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
. j  A; {9 {3 w+ x" U% ~当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
, d4 i9 P' C/ o/ Q- C: M& w若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
2 S" H' x/ w, i6 r( M2 A4 x* tM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
3 t/ _8 ^, ~5 a =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
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8 H; }- h& i2 I9 k5 M  B邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
$ ?5 t7 E6 e0 f7 k( a- _籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


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