哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
: G$ _6 C9 i) a1 X. ?3 f3 m5 ]将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
0 O* ?( g* A  I% s, R, O已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
$ W: R3 }* |0 ^/ q4 m# e' w以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
, X0 \4 z# f' \# r& D. W! ~$ g将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
; n2 ], @. Y+ T! N# j: `) k! Z即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
% v, E1 _5 e& C2 L% A* P（2）式为奇质数表示式
7 `  R& e, m, u4 ]% O  i0 J! T由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
- l( u: U! A4 e  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
2 {4 S. \* X! I; O均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
) K0 H; x" h: f6 J; B6 W  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
) q, F/ h( k6 G即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
# A+ [4 j* B$ U! m根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
# \4 C6 g. P# [6 d% i2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2 [8 s. t6 I3 F; k0 _2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
! F' I0 T& l+ ]6 P3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
5 G& {, N' V0 r7 J% |直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
1 K0 M& O+ a, U即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
  j' W* D( {- u/ J5 q: J在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
: z/ l5 c  M" H: W1 M% o又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
) D* G- r- K7 k8 R6 K即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
' f4 S! I" n# z, Y6 c$ N1 X, T7 t从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
( h( o. u! g. R- `% s由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
- @- s! D# H; R1 @* k: R& Z. g. U% |) F4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% H- \5 \/ L- L$ f2 F同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
* u# X8 N; K; r+ c, l* p7 J在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
8 W3 D$ v5 p7 u4 g（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
- ^& a: F$ S; }% ^; i# r2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
( n8 o) u, E$ i0 p+ I6 t7 Y0 A设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
! F# {: a' B& s7 _9 g: V" D- Q6 i$ s5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
% y- y" p  A! B! Y1 {6 |# A' z. D4 x即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
5 ?4 Z/ o& o; I, ~$ _; @7 x例  
+ M% A  V3 R+ e& h) V! fn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
' `8 U7 c1 r& i! Z8 i: Q7 ~3 A2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
- A" B/ Z+ t/ H7 A% _7 m5 s2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
; T/ E$ i. @$ m0 PM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
  T( e6 s+ G" o/ R% X; l/ m' c$ e# fPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
- M2 z" x6 J; G% }; y3 [* t. zPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
' x: d$ @! h7 O3 p  G1 t' P又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
: u: j4 h9 D6 H3 J因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
" z* m& t& O* o# }5 j# B$ ]$ y则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
' N1 P) a5 u0 k8 t' a然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
. \9 Z, |0 C7 ~4 K三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
  V, S) \. Y2 b  l' {若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
; v+ S& K' V$ l4 b, H+ i代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
. j& U+ b' d2 V, H9 `. a（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
) \+ X, b1 T( `3 a9 r7 {9 }' BPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
4 r3 s: b0 ~! B9 g. f, D代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
+ Q) z# _. F/ w' F当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
3 h2 A5 b, }- U$ b# k, [: H设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
/ f3 g) ~6 M, j9 W5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
# }8 G! i( n# @6 k# i在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
, ?( T" Z7 B: _0 \2 D5 N% f! ~设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
$ ^2 N# N5 Y9 q% `4 g; Q( i得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
* K6 h2 s5 ~5 D% ~- J2 l! o1 ^n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
0 J+ ~. {" y! ~n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
0 Q% Q8 O/ }. P; k' T' @. q2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
5 s( a+ Q6 p. \" \1 P: r设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
  ]# D1 \- e3 {! k) u（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
6 p1 `2 s# W8 `; n又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
% t+ N$ k9 l% @* L8 n) Z由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
# J" h% h+ ~' i( [2 i) }                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
' B  W' _) |: u. j- K- t/ w1 N) s: v     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
0 v5 z& ~) e) f, z: d7 A' m     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
2 g3 P4 O% g& M6 l& s    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
! }. K5 O5 T5 Q, yPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
* A" I$ V1 ]  u3 e: m      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
' c8 l) _' w2 @1 Q2 O& j9 X7 l0 B 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
: i% h$ f8 J; P7 K即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
3 }6 Y4 P5 i# u2 ^4 e" U' |由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
3 s, q- o9 \3 H0 T5 A9 }五、质数表示式的证明
0 D  s% u* b, c' v$ B( r1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
" k( [  d# q/ g& |/ x: g; g& J在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
( Q$ V2 R) q' h第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
# T( B5 G; [& x                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
0 E5 o  Y! j7 J                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
. y# o5 \! Z4 \, w2 E                                             =0+3+16+3=3+19
7 Y/ v( Q; `8 s2 `9 J% @                                             =0+3+20+3=3+23
, L7 k* a9 P4 l9 Z+ |, [# @第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
" H& |# ~6 g7 C* p8 D. c      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
- \, N1 `: z9 u) b7 x第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
" ?3 Y+ z2 `2 K8 C  Q            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
6 d4 Z" ]/ I" N3 r. P! g# @0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
) G- J3 y9 w& b5 B2 t% K它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
( `# \9 {' S) y' V8 ^5 v                                           = 34+3+58+3=37+61
& p4 m/ |- X* H; N2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
9 g+ k' Q4 R: \7 A, k! b% j                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
# P8 K8 g- Q! z* s5 q/ P! }                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
7 Q0 p, L; Q- L& O' ~1 t9 t! G得Pn=2n’+3  
8 x+ k5 \: W% p! s      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
7 f) H) d( {; L9 `; ~/ `2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
: J3 y. H+ J0 |& H' y7 \8 K# N  `Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
) k1 u6 ]9 n3 b: p" v2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
) u+ @5 v( a: L5 b' ?2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
9 }7 m( v# ?- U8 @3 D# f  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
5 ?6 n( W+ M8 H6 D! v/ I  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
0 y! |; ?" Y/ O" H! X7 m/ L0 e  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
2 }5 x% K3 y( O- k1 ]  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
& p, I' M$ f; ]& R9 p7 F  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
) D" k1 _. b6 y3 j9 z1 ~Pn’=2n-2n’+3……（2）
, k. X7 [/ L* w  ]$ e5 U2 H2n=4n’+2n’’’ ……（3）
1 W/ i; Q: B) M# y) b: s①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
- c- h' H( M& i6 s) K! j设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
# f) D7 C( ?% [1 j/ e7 u确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
; r# W; H# c. F! [6 s" K③证明方程组成立
$ q3 b. K! y8 H4 u- i/ k即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
6 m) K& {% y. D4 J" F9 ?! Z已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
! m7 I6 V  e, l( K& S5 ~4 S又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
/ i* s/ a8 ]  Z" Z' ?3 j2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
, J+ M5 s. x) P, ]4 k5 x1 G" L- H 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
# U1 L# _$ r0 U% M  j) C即Pn=2n’+3成立
" e/ F, f7 R: A, w, |9 MPn’=2n’+3+2n’’’
8 C5 P: U/ e: N3 `6 U# ^  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
, \1 o2 f& g# ]5 C已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
/ D( `# X. L0 F* {5 j即Pn’=2n’’+3 也成立
) Q* c( j/ _/ ~( j) [- U. ~3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
. ?+ b8 s8 m$ R0 z9 R( i     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
. ?" w* m: `+ ~4 R$ B& u. ?      6        4        2         2        4       5        7           12
% `0 ~! J' {, \9 }0 X* ~; I& J) h      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
: _" r' j$ o- D* N      12       8        4         4        8       7        11          18
6 V) |/ e) W$ r7 `( d# N& \      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
: q+ W3 B  f+ u5 n$ T     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
1 m3 `; Y9 J$ C% v0 k: x- S     122       32      90        16      106       19        109        128
2 o1 N& X5 B# I; C& I( s     122       56      66        28      94        31        97         128        
+ U$ x2 |, s7 z8 B4 L     122       116      6        58      64        61        67         128
+ {9 @' C$ S$ |6 @ 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
' F; D6 P0 ?# J2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
2 `* F' \8 B2 T+ d即奇质数之间的共同规律
- A  h7 d% Z. ?$ L8 S* D6 O* S+ P2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
8 O8 t+ ]' v. Q" ^  N. S6 [鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
2 J) n- j! j" G0 O0 K注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
, f) |4 e" i  ?; m* m, I公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
' Y, \3 I! ]# q8 R如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
- ^8 w2 U% b( \: H5 F这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
* H- A- ^8 L6 E０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
  s2 w3 S: T: W; S' k' B! j. Q) u则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
- h! U# I; S/ b& S7 HPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
2 S7 b. d1 P* N$ @8 A+ v# I6 }即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
' {/ p) {3 G( K% Y  L& W6 W; N由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
& ~' u' t. B  L' ~由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
, ]0 N: d* P3 y) B5 x; @" e3 x例
pn        3        3        5        5        59        61

) g* j! v; y5 vPn’        3        5        5        7        67        67
4 ^" f6 Y& \7 L) c" L2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
" T) z/ X  q! v8 W- r* }4 T由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
" Z' e; v; T0 ?) |0 aPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
& {& E; T+ i* X* W! b2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
- H- a3 L% }% FPn’        3        5        5        7        67        67

) i) j$ W, R1 V2 e  s- }注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
- Q2 F4 ~* R8 V/ E0 u式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
4 }$ T. \6 d- E* ^2 `6 I例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
8 b: r' F9 a, J8 d                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
* P7 d6 g6 o. f3 Y, M7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
; j' ]0 S0 Q7 e' c; f+ R3 T1 M61+67=59+2+65+2=4+124
, r! j2 i$ `, C/ z…………………………
2 \$ B3 m# H" O1 M  `, B在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
% a0 }2 r& H- `$ o/ G1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
% r: p$ g  E# ^1 O+ ]8 P- g: L  e3 }若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
: @+ b, Q; Y) ~( L8 vM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
% j% C) n+ \& y% G6 q        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
0 ^6 G, T: F3 @+ Z) \; F邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
7 Y1 X% j; H2 Y* T籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
8 B3 J! w6 j7 x0 `
9 W8 ]$ ^0 |; S( a6 u) T' f
2 T* @) h1 h7 F' A! C, b  [