哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
" f& k+ p, W; Z2 o7 V$ b4 r" ]! J1、质数表示式的由来
" @* m  X7 D* _( \' M. c' O已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
8 {. |! \6 h  J1 e7 v0 _它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
6 `8 |0 U  W6 w$ b0 Q, y. Q: |" S' @同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
4 a- l1 |4 @+ B5 r/ y由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
( t+ d- j3 I4 K即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
, m0 O/ F* h' ?* P. t4 o6 j& j（2）式为奇质数表示式
' {# C9 C  y2 J由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
5 n0 ]" m* j6 K. {" k& H9 t 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
9 A/ K5 z, N+ ~, P$ o( m% F  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
( W/ }! _$ W  h( p* D由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
' i/ r& D* T* D  e9 Z0 M均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
. u3 r, L% ?) B3 x2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
1 g7 Q8 ?+ ~: r5 U9 U( O0 H  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
' w$ K, ^& d$ M9 [* @2 y设2n"=0、2、4、6、8……∞。
) F9 ?$ K. A- r( b9 d- D即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
8 c2 E2 q& v1 f0 {( G6 l用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
- u/ a6 N% A  z                    
& N+ ~* J. X1 O3 H$ Z3 |; a9 g; O其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
: L" l8 F: X% U) w, [9 t# M% M例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
# {/ H1 X# X1 g5 L4 P* l7 A: O2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
0 I% Z' |# B9 }! L/ x- ]: d: }3 n+ A7 O2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 H0 W, o, J: y+ e2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
/ f% y" w' e' K7 M7 o( H代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
% {; {. r  Y9 r7 L& R! r又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
* u! Z/ V- q3 m6 n  h或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
: v9 ~' K! Y# F4 k0 |+ W! f6 t& w: L( m从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
  e. Q- L$ u6 R由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
* T+ |* h0 L/ g4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
5 G8 A% O0 ^; C( }0 F由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

( G  K" d/ v# y5 W% d; u! d4 R得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
% F( X* Y8 S5 O4 i1 q若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
  s) D" \2 B! G6 |. g& o& L（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
% [' d3 @: H# j9 T) m( p+ D4 z3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
) u- _0 z: L+ `9 \5 I0 D4 x  q即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
$ D4 k# V+ @+ O" M2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2 l. s2 ^6 b1 P7 h9 H( ~% H2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
1 p* n' \( {/ h2 ^M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
+ C0 ?+ r# f% n4 t) @5 wPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
7 z! S( ?# ~, ]" V% ?7 v
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
( I6 M7 K) x; r. T4 C& W又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
5 r  G5 s2 `+ }: |) {! v则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
/ m) ^' r1 T& [8 M4 e1 {根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
4 h. P/ A* O7 {1 p( Z1 I已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
9 f0 e  a" q1 j) T/ t% q8 {Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
& I8 i" \0 L! I+ D3 d
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
5 P! |+ S2 b& ]+ r1 c1 m/ Q三，也可以这样证明
. x5 y* B( i2 }( B* Y1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
& F# Q. ?5 ?6 D3 s1 M: i若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
: L- I9 d% d) t  Z" ]5 i* j8 LPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
  u3 n; \. v- u6 ]% M) H% l" a9 s代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
, R# v# o- `( s3 C+ o; |代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
& ]4 j+ P" t- E- _( w* P2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
6 _' o& ~5 C: Q. G5 z即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
) W; b; `. |2 s3 B% x9 x# l) I在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
) @' o' _6 s5 W- `+ m$ S代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
: |# ~: _$ ^9 \设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
/ I6 t/ W; b* J: U' T: I9 F  X9 u同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2 Q$ Q! s7 e7 e9 e6 v4 Y* `4 o2n’=0,2,4,6……偶数集
% C2 t! \0 c" C2 ]2 w' Fn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
5 q+ x/ ?  c$ }/ v2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
9 E2 X/ n* m- H3 Z0 O将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
# d/ |2 h) q) FPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
5 h$ Q" i$ {. n& F4 C设  Pn=2  或        Pn=3
& f. o! t1 x7 E5 i 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
' J1 `9 _* K9 c/ C, ^% z（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
6 X6 S. `; z! ?- B/ Q) L- [/ ?Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
/ ]/ r( Q# _; l4 V8 F9 e3 N; w或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
2 u6 O! q" u. O  T" Z由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
' [: O, o+ Q8 g: C得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
8 T$ y2 L! q) {! t& v     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
" k- R& w/ P1 b  O8 X     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
/ T, Y3 ^, v8 t! S     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
, l* e2 ]# s/ A+ a  c* o    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
" M% I% z0 v9 F; F* P4 t# {' F    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
0 ]* ]: Q! K  ]6 H1 b) g, k* M2 s9 Z0 w    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
: n% a$ Y" n4 ~/ _- y2 w$ X    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
+ g+ a! N+ V- C5 r6 v9 c7 H2 A即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
6 ]1 q& q' X6 {6 G: |. T& z存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
+ g& F9 t# M% i4 x在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
3 ]) z0 e) y8 i- i                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
5 M( N4 I! ]4 _  P% V5 A                                             =0+3+20+3=3+23
" o% D, ?7 _9 K9 w) B" R( T第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
; w$ m8 p" K# o4 Y* E* B即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
( v( V2 J6 k# i# ?( J" |8 ]$ n; p. OPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
' j/ _, ~# _" u- b$ u) H      =2+3+10+3=5+13
7 l5 t% Z' S" X7 M      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
4 |& E6 a* d: n第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
: q0 I6 J2 g7 o& ?8 @  s8 u1 z            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
; G+ Z1 z' H% r- B) _5 g0 \又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
; S* _) a  G* G* C0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
# k$ @+ S  x! r% M9 P, X                                           =28+3+64+3=31+67
) Y; X' z' Q' F7 t( U5 [                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
) f- o# [- {- U7 P                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
( J% e0 h3 ^3 \- i2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
" a: K/ B4 `  m' X  V                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
5 N. }0 H% t. g) k( T) Y/ B即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
: x4 x0 K6 x1 |. N0 A8 J得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
1 X) T( _5 h/ Q1 y+ {2 C3 ?2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
7 t+ u5 |" _  i8 h: [& g* n0 t2 ^/ WPn’=2n-2n’+3……（2）
5 D8 d3 o. H/ {. m6 m& l' }2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
' s/ V9 B; B+ n5 Y* Z! a1 ?: O/ Q0 Y2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
! K& l9 B+ K( G/ Z& g  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
1 ^/ R* p/ ]+ ~& d3 r/ x  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
: |6 N' n3 O8 b) v" J8 w  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
! j1 L0 O' K' c. E2 K9 E（2）方程组
1 Z; h6 Y% o2 ]' U8 p* \9 ~% jPn=2n’+3   ……（1）
" n  T- G- F& [# Q1 H- gPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
2 r6 v! _0 F9 x& J6 v①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
7 q7 }' |& F: |  c. O5 I" C2 f设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
4 Z9 c- I  [% E# d0 @确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
- [# F$ S) [# p3 X" `即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
# x+ o- s9 N! o# L6 U又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
# W& c+ e. G' D7 R9 ^' i% k; K   
, W' U/ W6 X6 Y5 P' ]2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
$ t  ]) w' v0 x! WPn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
4 c6 ?- r; g) b& o, y$ y5 z 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
# A3 `/ `8 K2 M  d# Q. V. ~1 s即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
. o. s* ?# X! n3 w  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
2 K$ `6 P( G2 Z- U/ @4 Y' `3 用数字来检验质数表示式的成立
6 T2 O- e3 {" ]' u; Q已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
5 I/ q4 u3 f+ @+ x5 v: H! w- |设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
# s5 M! _. e3 T  P5 V9 a# k     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
6 r& ~% W$ ?( H- w# U      12       8        4         4        8       7        11          18
+ t2 P% l( ]0 A4 Y! R. a: X, G' L      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
% Y' A$ V9 T  q6 q+ |$ p     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
& c4 [0 g- P" S8 _: o     92        56      36        28      64        31        67         98
" A! P/ W$ m  c$ q0 J5 f, }     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
/ ~) W6 C! o3 ~/ R9 K  H0 K  D( _2 f     122       56      66        28      94        31        97         128        
5 s! u" L5 J) K0 H3 q* ?- M     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
" J5 c$ x# R* P* u' |# |) V2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
% Y( f7 J' ?- Y5 `(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
5 [1 D2 c0 F2 c3 y8 T" S) ^* _(3)，它们的分布是不规则的
6 u; s# ]% O/ |/ B% N由上述三个特征得到三个定理（见注2）
& `* ^, F% s0 d3 j7 S  l+ K3 l* J即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
% f( r& |- b0 C ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
9 y) [: ~7 v: |* v! W ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
/ N2 o2 A6 [: O9 }# X3 p ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
, ?% V  H) E  x" W6 M% X3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
8 t& o" \, z: o" B鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
* s2 Y0 e2 B2 v, ^$ o& F5 I公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
/ r4 `/ Q" P3 @) p0 Y6 i这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
( p2 U  \/ ?9 L7 r) T０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
( r' ]1 w7 t. z* A& ^8 p5 _因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
! q# b& Y6 N  K# d   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
$ z( P  z3 w" {" s% c4 s注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
9 G( Z6 p, L9 U$ {下面来证明定理一：
( j4 D% ^4 S+ w. k已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
: `* p9 l5 P- J# rPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
% J$ n# h8 M* u! D6 e1 x9 g3 R) L7 y4 |5 J即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
! E! J/ Q3 X3 t由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
" N3 X) }% j0 V0 P) j. Epn        3        3        5        5        59        61

2 @' S; B2 u. u8 ^8 U3 d# p* c8 Q4 JPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
* r2 }% B6 E3 Q/ KM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
( b3 j/ k1 o) c8 m由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
# O7 u- \' k! r1 \即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
' Z2 K4 W( f; ePn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
2 S: ~5 `# c# vM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
% x2 t0 t: k4 l2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
) q8 o2 {9 u! o# K" q- S" ]$ N1 cPn        3        3        5        5        59        61
: i4 \& e, U0 w! \% V! c$ V- B8 o; GPn’        3        5        5        7        67        67

- [9 ?- W% x) A3 N8 f0 J注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
3 N& K1 Q8 S8 T" ]& a若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
9 `; F/ }: b& A% p% W7 l                                          3+5=1+2+3+2=4+4
7 W2 d3 L: Q+ F( b" p: V                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
$ G7 R! g' h6 V7+7=5+2+5+2=4+10
- O) ~; \5 ^9 F# X1 n59+67=57+2+65+2=4+122
9 p" ~0 s& }$ Q# V5 B61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
! J+ h2 p# ~6 }+ E当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
, [! u. B- x; N) m! K1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
3 T0 P! _" l1 W6 C7 ^, E若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
$ N6 M" F1 a2 N$ P$ wM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
" w: _7 E. W/ W% E; V: ?* E, k4 o5 O1 x =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
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