哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
5 v$ N3 z. s$ X5 G/ M    一、质数表示式
. a4 O3 h" w+ e8 y5 w- ~7 j! q1、质数表示式的由来
. c0 x+ R# g" |6 h; M7 e已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
( v, c- E" W7 j8 V, p+ t( M$ w它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
1 C: U6 X! E3 r6 E, R- _已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
% q" |* s" F) V! `7 _  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
7 [  b  I% J% U1 ~$ k1 I2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
  h8 Q0 v6 f/ o; a* a% c' F2 j设2n"=0、2、4、6、8……∞。
+ ?# D) X! ]$ u8 X即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
2 K( o& d% o) [$ @用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
  f0 A  z  I; b, J+ z) J+ Q! PPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
6 }# P$ C2 q7 F# u$ ~+ U4 r" `% K                    
. D( m2 Q% {$ v3 ]/ S其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
* P7 T. h! P( c9 C即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
; |8 n% H# ~$ A4 d/ ^3 D2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
8 I( Z( H. _" `) d6 M# Z2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
  e# m  m5 }1 \6 `- [) C2 Q代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
) A8 n" C6 L, Y1 J& e2 Z在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
: t& S( `* `) [# r* Y- e代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
1 Z8 k7 Q; q0 c' L( ?  m, Y6 u由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
% Z3 J( F4 p* Y0 ^" x& M3 H4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
$ p) j& v5 F2 r* C1 n2 t由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
! X5 {: ^1 k& v6 v2 n; y! x1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
+ }+ Y0 p- U5 }/ C/ ^0 C- }! w若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

7 a* ^' ?4 a1 o得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
8 H4 H# A8 x( H" p若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
; k7 i2 j" m, s  S& m. U同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
6 }) n. y, ^& Z0 ]' ^. X在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
( a$ J9 R" n9 I2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
8 F' \8 L5 d, v+ v7 l, P4 t3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
0 m0 j7 m2 i1 }! Z# }1 i8 i设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
3 P6 G* W5 {$ t* t# ^8 [% c( Y5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
2 A+ C* c/ n3 O0 f8 m# N5 M即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
  c8 R( w; B+ u+ _8 Y4 t5 P  jn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
% V; u% h7 G$ b6 j6 n! ?6 c2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
" Q+ T7 l4 o( N, N+ Y5 k2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
! Y( s* z2 w" C8 c- Y, ?+ v) q3 BPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
/ r* Y! U+ Z) Q. [& qPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

- c# i0 Z+ u7 K: r由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
2 \3 r# S" A. A又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
6 a/ j$ b) c4 l则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
. o8 @2 v8 ]+ C$ ?. l4 }% lM=11111111111111111+3=11111111111111114
. ^1 h+ {) M# t$ g: f0 S根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
5 w( y1 O) O! i8 w8 i5 c已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
5 ~+ d; V8 n! p) o5 d* Y' FPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

/ V$ u' H7 A4 ^       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
: N0 b; r' ?5 e4 v- s1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
9 Y4 i9 V. X6 f- D  w6 N" ]0 g' `, v或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
$ f( G7 |- f+ ~" G) M2 YPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
' V. `6 w0 B- t3 L1 s: I代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
* e. }& ~" x; m# f5 J4 j或Pn*+Pn*+1=6+2n
4 k/ s: r3 [* ~' q3 g2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
& N* U% @8 F6 l; _: h2 {即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
# J7 ~5 J: ?% ^! t7 v代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
6 p5 k+ X/ F# M7 v( _# j) V得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
' c8 c: [: w7 F8 B8 C若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
8 c$ _4 m! |3 y4 {; i即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
1 {7 I% `1 U' ^% Q2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2 p$ l! X$ H0 u, Z3 I; S2 I% I2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
) a5 Z; X" y$ Q( m$ H  s5 x1 g2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
, I5 m0 A9 A4 |3 v( r. Z1 a将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
/ Q; b3 v% t8 `% z  A/ jPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
* D7 c% V' @2 \, Z1 }& I) H( w 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
% k9 y% K' k- N! S, K又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
  I6 `' Z1 v4 Y) B; F（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
' g9 {- H0 H( F+ u% D     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
3 Z+ r4 O0 U1 E" O( [     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
1 e0 z' q* T0 b( m' ~    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
4 _5 C. m" ]" ]4 u/ ~- N    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
! L6 k9 J# Z8 i0 S3 |! O/ [, ^  V    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
* r4 x% i" l' ~: j% d      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
$ O1 U& I5 e! z. {) Y" j! N: H2 k" h  q（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
2 h, J, I8 c+ a& g0 v& E8 a 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
2 ^4 n; N2 [/ z! @6 _. w存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
$ b2 D  ?: W" s8 j) h5 v由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
5 y0 T* M/ i" g1 W* N6 O) l6 [8 V- Y1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
* Z- k' [2 m6 z9 p- `( r) K7 e                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
2 i3 N' k6 I! ?' N* C0 @                                             =0+3+10+3=3+13
! k# }' K8 a: O8 ^# y) {) `                                             =0+3+14+3=3+17
: Q) o' {5 G( B0 R                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
( S5 t! g2 p) v$ G2 w: I- O- QPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
2 Q& q8 C$ H" ?7 K0 [2 {5 X4 O5 k; E, _      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
8 P& n+ `3 l5 y1 g' k      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
6 X+ {) T( b+ l0 m- j            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
5 v" Y, q/ q/ Q6 \( R5 k. H! w0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
# X5 e( C+ \! K! S它们的偶数公由数分别为24，31对。
8 B+ K" l% Z4 g/ Y2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
; D: p# F# T; g4 y4 P2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
7 Q% l# a- |# i0 R& i, Z                                   =28+3+94+3=31+97
: f) L( S- }- e; y                                   =58+3+64+3=61+67
$ ~8 _7 E  e1 Y& U综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
3 [7 z: t7 I( m: Y5 ]0 }! M% Q即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
. q: v0 [( n0 N5 ]) `1 N& E(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
3 \, k. D; F) R" A' k+ q. }+ C得Pn=2n’+3  
: Y' U6 Y+ W2 N/ N      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
8 L# @: ~+ v: Y4 o$ {, C! C! U% F又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
. b+ X1 G' \" [2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
" s& Q; L, O2 x: M3 `8 I, [Pn=2n’+3   ……（1）
: Y5 t! w  b) y" T" q! F$ s! U  IPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
0 f8 W/ ^# v' y! p上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
+ O( \% Q4 V8 O' }. d6 t% b( L  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
) s/ i* H; O& X( f! `  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
! N- y7 `: I1 s9 l（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
5 @; q: M4 e2 _& O8 U$ z8 a3 LPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
8 j& G1 \1 a+ F2 u( L①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
1 I( K8 ]8 r0 ^( E% P. b; x③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
6 Q* [  j) i  B" o已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
) v$ g+ P2 t/ u) ?7 V又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
% q7 z$ N8 s" R   
1 c9 q* W3 T' U3 V5 K+ y9 P. C" B2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
7 P9 }% J0 a# o, C9 ?+ g$ X得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
) c7 J' }8 b" D" x$ o即Pn=2n’+3成立
/ g& h3 V4 [, r; |, x! CPn’=2n’+3+2n’’’
3 Y, x$ ~- D( I2 z6 t  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
. C4 c- Z* \: ~6 Z已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
- ]/ \0 W) q/ A则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
) A7 ^0 l/ }! ~% X/ C, m2 y8 p即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
6 v0 {4 L7 F0 L3 X1 o4 o, R, y. j      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
! V  [) Q4 ?. o/ P& |' |      14       8        6         4        10      7        13          20
% s9 i% {/ I* C& x& ]5 u7 p4 N      16       16       0         8        8       11       11          22
6 v: d  Z; |5 N     18        16      2         8       10        11        13         20
8 E2 J' f0 K* H" O1 K" q     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
. b7 I3 C+ ~# Z! l6 c2 R4 y0 ~     92        56      36        28      64        31        67         98
3 Y! P2 h. p4 J/ u9 _/ A, y     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
& v" F) j/ `* Q  x3 g, m     122       56      66        28      94        31        97         128        
* R7 }$ V- r% w) ?: C0 U. S     122       116      6        58      64        61        67         128
) N( `* k0 I5 f4 X' G 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
$ {# p( A0 }1 x2 [% M0 _2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
, v. Y" a$ U" \! m6 }(3)，它们的分布是不规则的
, m9 B- C8 j7 h8 Z4 P5 `. R: Q# v由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
0 A& U$ }- Y3 ]; y$ Q& G: B2，以上证明涉及到五个问题
5 W) `$ y+ v  H; P/ R- C, H ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
0 u$ e. Q* i) X  g3 S ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
; ?0 ]7 K/ D8 y: y% S5 [; i5 ]# a" X ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
. D, y; \* p! E2 `3 Y% Q7 O/ o3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
0 i8 f9 G  R' k3 B$ A8 g7 t) D注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
( r) u9 E4 i* F% t) c公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
0 H3 u4 L( I1 W; |( N2 I3 z& C& A如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
  J" s+ A- C/ a9 Z+ w这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
6 @$ V9 q' P! A又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
8 @/ A: p. F- H  C; P０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
4 Y. z- [/ Y; l. p- ~! `( Q- l3 S 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
. u+ u: S( _( t) H. _   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
+ H+ Q# p. D9 k+ X6 ?Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
4 n( L1 C+ P  b  K2 [由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
6 D  U( L2 o: _  P1 ~5 {1 ^M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
1 Q, q3 ~, G$ V; p由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
' c; v) j9 g# n* I则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
% f, }4 K3 J! d. C即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
5 H$ D2 p- i8 c: G- n( m& T5 j得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
+ U, B6 S  Y! q. l# ^- }% H' hpn        3        3        5        5        59        61

( i* a: ^, D7 l( t5 l: T0 c9 qPn’        3        5        5        7        67        67
& q  o5 B4 q* [; L" z" Z# j/ A, r2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2 N. P4 j2 R% x0 e# Z( K$ T2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2 \# ?8 m2 E+ M* w由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
" f* Y7 s" E& ]即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
2 ^7 m* I- x7 |0 a# y) `. GM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
6 f8 |2 h* `( S- [( t2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
- K, X" Q9 y1 n$ Q1 y# J) y2n’        0        2        0        2        8        6
6 c6 Q% d5 a5 d( S( U3 Z2 k: {" on’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
/ ~- Y/ }- Q% e% y+ ?若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
8 _8 U4 A  ^: X7 q式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
+ c* O  K: C) c9 |% I; Q% x例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
# J% \( P/ \8 S' S                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
4 [$ E1 H( E+ e8 \5+7=3+2+5+2=4+8
  N" [$ U4 ~  w% K" \8 X7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
" q1 ?% D0 {# H& O7 `在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
9 G7 l+ J' M: f1 P9 A5 B4 C1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
6 o$ _3 y0 X; p: JM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
" z6 Y7 D+ b0 v# H% L/ L# l0 p =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
! B& z; e4 A/ H        2011-8-6
  a0 c& [) B1 ?1 ^" ]通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
* O' J3 g$ a7 s  [邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
6 A* b! b. L) a3 s" r籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！
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