高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
/ j! \# |/ E/ Y摘要
7 |/ _0 V9 ?7 v! j" Q        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
' `7 t. r: j% I        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
5 t$ C  w8 G9 d! V       
1 [6 I; z; s- l1 p& T8 Y& R       
       
5 `& [! l5 [, _7 Z       
       
+ P/ V3 f) s+ X9 m; S
       
       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
" Q; A8 ~5 j+ H+ x# ~: Y& p+ k       
       
4 D- w. I! l% |! c       
+ o' Q' M- D  Q  Y" z& u4 u5 l6 f7 W
问题重述
0 a/ p1 d# L- e8 _" i0 I    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
" i) @* w3 [0 F+ v问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
, N1 p! C1 T' f( v# g7 x$ J        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
! V4 l8 W4 p: x1 W( f, G定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
7 A& r5 H+ |$ i4 C$ v! O$ {：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
5 x+ [! N( \' s：某一年高校招生人数；
  e8 w% I! A- V$ D/ c# b; C3 n：某一年中学招生人数；
  S4 H$ S+ @/ L0 ^9 \3 N: O：某一年的中学毕业人数。
# T% {5 N6 j8 X模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
8 ?3 g( _7 f& \    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
9 K: c7 i$ v. H$ `$ S3 V; ^5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
& s1 R6 S8 v5 i% s+ f        （图1）
$ I0 q2 F# g5 G# F- }: R( X3 Z+ R         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
( p# K1 |% p- x        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
9 e  B! ~( X  e5 g% p/ r% G( j        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
  j. R+ Q0 ^' N( k4 ~8 H/ b        拟合所得函数为：
' C. L( j) X: z3 k5 q/ w4 T9 q        ；
# Q/ ?. U: b7 S' N) j9 V1 |( q1 {        带入，得到：。
4 N- n! E9 J1 k/ E" p$ _5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
" C! W4 h' E# M' V( ?& K7 e$ z1 C5.2.1 模型Ⅱ的建立
: j4 i  o+ o3 `  T) M提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
/ Y" I6 B7 S3 y+ u某年份的中学招生人数如下图所示：
! f6 \8 d6 `6 U（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
1 v' U: T7 U5 M/ ]模型Ⅱ的求解
$ o) \$ O# {1 x; y) y* P对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
8 D. g7 X' Y7 _5 g! v5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
8 l7 f" J! x# O某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
9 n1 z4 R7 U1 m8 s8 M0 T   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5 T1 ^. V( ?7 e5.3.2 模型Ⅲ的求解
4 M' t* Q8 v' v) M对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
# L( q3 a6 z8 o+ x3 S对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
  z6 [2 @- e; N* E- T3 _) \+ C% ^; k利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
& u; p; e& N9 R2 `# M' |        将，带入得。
8 d4 a9 c/ j: L, O% ~; g模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
8 x6 ?. I- R$ |        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
' I8 ^. t) P* q! }  ]: x3 [7 _参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
5 a( H7 L. `9 H1 M: G附录
8.1 模型Ⅰ程序
- O. f/ B2 J9 R1 x/ y+ Qx=1994:2009;
) m2 l, l! ]" b/ L1 v6 Ry=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
* t7 m5 X; @* M/ e/ ]plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
9 l$ V% \7 `8 |A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
" @$ F) J+ P# a  e- B4 _7 V
8.2 模型Ⅱ程序
0 w2 j4 U$ i  s' N. Ct1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
0 Y" y5 ^$ {' c; \, Z4 t. wplot(t1,x1,'*')
; o2 l# ?8 w; v1 T# o: _/ ^0 Ra=polyfit(t1,x1,2)
: k  P8 B& D# p6 p
" s) l* F( _; ax1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
1 _% h$ D1 e" ]4 w# L6 K105.22 3.0211 112.21;
$ Q. L: h: E3 P, {- K116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
7 o% u( P% q- W115.88  5.7918  125.6;
& ?1 L! L; {$ _; I+ }) _9 N116.82 5.5036 129.17;
/ M- r! @6 d, S# a2 P118.14 5.5611 132.87;
+ E/ o6 }* t; {( }- \122.97 5.6544 139.14;
6 n  W& ~6 a% e3 S141.95 5.6950 154.67;
' E0 S$ U3 V$ R8 |0 D  l  C2 T159.91 6.2994 167.06;
+ Q, R+ Z+ i, d6 A164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
" ~( i, a8 c1 K' M- Q213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
( [; w! O2 i8 I7 D196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
3 W) H1 ]' u2 X9 K# }* H& ~158.65 50.1082 164.6;
];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
6 S- b& ^2 K9 b2 }
8 Y" K2 z3 F$ F/ }% o8.3 模型Ⅲ程序
! [% W7 g* B! C& ^7 L7 j: ]$ Vt1=1999:2009;
8 d0 {4 x" e. v( g5 E4 K7 h5 hx1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)

3 i8 s) f$ _2 ]/ \  j( Ut1=1991:2006;
' N' o! U6 X4 o; u$ Fx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
5 E3 Y$ G9 z+ v) n% e+ V( X) P, ha=polyfit(t1,x1,2)
7 C3 n9 L, d9 T9 F. b

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数学教学对策的思考

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