高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
0 D3 _6 _2 v7 N摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
8 C1 G- ]1 T) R5 k/ ^        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
) O( P1 V' o4 _' H% I4 y8 g        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
, G) I/ e4 ?4 k; S  o* u- J5 y$ N: s       
5 m  h8 c! i9 }% Q0 L       
" `! H/ D. ~4 [+ m0 T; c       
       
       
" N6 G- F2 p; e6 M+ r6 @
6 H% z- z) U6 \) L       
       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
5 D& U1 A0 V3 W: K( y       
" l3 y, |, h0 C# d; Q* x9 o       
4 g+ _% C# _* q( y0 @- S2 S8 H$ W       
8 v$ |4 U" E* P+ i2 {6 ?
+ Y5 y8 v4 ]5 X- V问题重述
# X6 R% |- n0 v- r( ?1 E) m4 Y; B    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
' A2 `- k/ {8 I        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
2 Y4 J" I" ?" j; `模型的假设
0 c# M9 s1 I' p! v! R3 u表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
2 V% f$ i' ~) e! G+ E. {/ b  R4 R定义及符号说明
; o0 r5 h0 }4 D; ?0 N：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
7 t; H( r7 \9 @5 y6 X2 a# _：某一年高校招生人数；
" v1 H/ L# d1 `6 w+ [4 K5 y：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
1 ~  w2 m0 h' K  s+ j模型的建立及求解
5 b0 }' z5 G$ X0 K  R7 N4 J4 o  A5.1 模型Ⅰ的建立及求解
+ b+ q# D! L6 i1 [+ L, r    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
! |" R& k* I' v$ Q3 l2 |$ c        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
5 e7 [, d! a. K        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
  l2 F6 f$ x0 Y  h- q" A        对该数据进行二次多项式拟合：
  e  K+ Q) l' |        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
) K" l& ^  b2 @        ；
* x  r/ J1 R4 O& U, m7 W        带入，得到：。
& E+ e, P( C& i; z8 H' j+ O5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
# H5 q9 @0 }3 u3 Y* A* ~$ C! l建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
, a& b/ h, ~9 w: \- [9 `  i9 b（图5）
2 R4 s) }3 w) d模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
) g: |/ h3 V/ S对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
9 ^- T4 h( j0 P" W) j: c将带入上式，得到：。
4 ]  |- d$ A# K1 b2 V; d5.3 模型Ⅲ的建立及求解
. E. U2 I9 `" F/ A$ z2 P  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
3 z, ^. E5 W6 w9 z% F9 n5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
/ Q7 D2 u0 ^3 N& ~6 U% G（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
* ~# C! G- ^. D& y5.3.2 模型Ⅲ的求解
$ {: @" V# n4 T2 z- e对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
& s8 S# @1 G6 X, J# C# m, _+ r        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
0 u# f6 y* s( K- b8 L利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
; m  E% x' {) L& v3 _8 B7 b2 {+ G0 A        将，带入得。
1 p: w% a% w0 L" l模型的评价与比较
* d  x- M3 W: Q4 E# q# M+ `, Y9 L1 l        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
8 V  J; v, c" U        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
: R1 L# f/ j4 C        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
( P  s& A6 J. F+ c2 X1 ~) ?$ z附录
4 [# D4 ?% N  }$ C, Y0 A% ]8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
/ K5 ~6 ~) }) g5 V6 FA=polyfit(x,y,2);
) [% x. T8 @6 r* Az=polyval(A,x);
9 {; A4 E; o9 A7 }" \plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
$ i  s/ q( ~+ ]plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
* l6 D6 v8 n2 o96.87 3.2745 119.41;
105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
& f* F! y: R. v! w120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
+ E- i. `8 j: F1 w, O. ~' ^115.14 3.5023 125.52;
; F- a8 B8 i* M5 b, N115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
+ F, q0 z  A/ l# n3 u& w115.88  5.7918  125.6;
6 F& M* [! b: r' t$ _& x# b( w# P116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
5 T. r8 e1 Y$ E) |, {% W! e) @159.91 6.2994 167.06;
8 F* [) ?2 z$ K$ k) a. D: h164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
. o  c4 `8 s  K" ^6 [205.62 21.8719 222.2;
. k7 W3 y1 Y+ j! p+ r7 u# y222.82 27.3894 234.18;
9 i7 x/ `2 v* \# S/ e# p" w213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
8 i% I0 h# D6 {& X8 F& O[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
- w# q6 H% H/ l9 Y
8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
4 `! ?! q) `0 F8 I" z& s) N) Ya=polyfit(t1,x1,1)

! O7 S$ M' }% Jt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
1 x+ H3 E# x  n/ uplot(t1,x1,'*')
7 @+ D( [7 s8 ?4 n6 X% Ka=polyfit(t1,x1,2)

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数学教学对策的思考

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我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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