高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
3 s; p) A2 X0 u, F' }& i摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
# I, S# C( Q# k# S1 I) T& z        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
5 K  C8 S4 ^4 @        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
       
+ Z: H% j; w% B: M       
/ R% u$ h% K4 ~7 R8 e       
       
0 B8 l& i  X% l- O4 X       

       
) T$ p' q1 T9 ^, a3 O) ]8 x6 a+ E       
$ R, Z$ L5 O, y1 R3 U4 X        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
0 x$ }. A5 H7 t. k0 S6 u       
       
+ p" j2 @4 q% l8 g: }       
3 C# `% X. N6 P& m+ a  @1 `: x
问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
- A, `" t* i5 k6 H3 {: J! I问题分析
0 @* Y' d2 E- {; P5 z) @+ Y) \        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
& s, Y5 |( G  [$ p; `; `高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
; |. |8 P; y# Q0 i6 T9 [: {：某一年高校招生人数；
  ?6 B9 N, U9 g8 O) }：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
% ^! f* _! p7 J# O" s5.1 模型Ⅰ的建立及求解
% x) v+ y/ @8 S    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
& l( k( f4 i% G" j5 u& t8 i' n9 b        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
0 n) ~6 @  ^+ A3 y9 \        （图1）
5 @& z! k" |, S+ x' k: ?7 a         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
4 E7 z4 c% Y, w        （图3）
* H7 V3 H0 B- _5 n; d# x7 L3 C5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
; ?9 q1 `7 @5 Z) q& M( y4 M4 n        ；
) X' A2 y6 E0 i. _, G. X1 N4 V        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
. u* E9 M/ l3 e( Q% B    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
3 w4 S( x( N( X7 I) _某年份的中学招生人数如下图所示：
  q) a: E$ A# r* I( d6 Z（图4）
" E1 Q# B5 _  ]建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
5 ?5 o, e: e$ S% k8 o（图5）
模型Ⅱ的求解
1 }9 H* r# R$ w7 Z对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
: k+ v7 Z5 D, \+ j7 `: L& c对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
% `" o7 L6 _% S4 [将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
& ]" o. R8 j+ Z* `$ J  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
' ]4 P6 J. V# a( R4 }4 s) r5.3.1 模型Ⅲ的建立
2 t( ?; X# b* j. `% d' x% J  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
. K. }6 D; k$ U  b3 Y+ R（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
% K& ?+ }+ c7 a: }   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
2 S# V) r( b# h  P5 ]        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
  A, |4 x* n9 v对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
* I6 B/ M, p* m, t8 B8 v利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
; E- B. N9 X. M( g& T" A9 y        将，带入得。
2 @6 B2 p+ D+ ^4 {) o- T4 ?# T模型的评价与比较
  u" O% _: x' [) \: G  L% ~+ _        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
) K: H6 @' t- ?5 u6 L7 s+ |        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
' h. Q/ T# `7 y7 B; v* J1 ~        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
, B5 f3 S: w' o# |# ~参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
' Y" D2 f& p4 b- m9 q! k2 C吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
0 B/ M) u* D2 T  O$ }# Z附录
+ B8 b, W$ R7 T/ j3 I8 `$ e8 \! U8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
. p2 c4 @% W# j$ Py=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
3 D" D8 o; `# h+ v* Q% p1 uplot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
3 j% r( T; c0 O7 ^7 q5 qans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
7 V+ H; L3 M" ?. Na=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
: U+ h) j( [% t2 B1 B2 V105.22 3.0211 112.21;
0 j+ [7 `2 P1 P! @% y9 i! S116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
9 K2 N0 @$ c. U  T8 |" N! c& S115.14 3.5023 125.52;
, {0 z: f" ?! @7 X5 j5 w% A115.3 3.6067 125.17;
$ d2 l, \! Z! k( n5 `4 R" g115.58 5.7878 123.3;
) q5 d0 ~1 R( o  _3 `$ e115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
5 ~) p5 I/ B4 C7 z: Q7 Q141.95 5.6950 154.67;
  b; b8 k& f0 ~& y! k! x3 S159.91 6.2994 167.06;
. \! {+ ~/ ~( D. p- h164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
7 R- w% ?% \! `: M3 h  v: u! s188.59 18.3553 201.28;
# w4 ^9 C5 m4 s' p6 e$ ~0 {205.62 21.8719 222.2;
( r1 }& u/ ]: B# y4 |222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
];
  |8 d& k4 K( jx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
( M3 o' L" @3 P+ r. a; A* r/ _[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
1 ]+ g4 G( `; D" {, g
7 _9 ~5 u- w5 c2 h: k- f- z! W8.3 模型Ⅲ程序
3 i* F0 Z' c) P4 ^4 X  t4 T4 gt1=1999:2009;
1 G) O2 y( C: a2 W% Y0 px1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
- k, w# f3 t; u: W3 }) Mplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
% m+ H# S6 l5 t, }1 x7 }7 ?; N. k2 u
3 ~, v2 f* u; w( y9 S$ i6 f0 nt1=1991:2006;
, O6 b5 `) C+ o1 a2 e  B2 @x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
3 ?% m! N1 s% y( Y: `* Qplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
5 k0 T3 O% I9 V$ }7 c% O; M

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