高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
5 j; c  ~: r# G摘要
5 l0 a9 v' m% `: G: j        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
: X. e! G0 n2 Z        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
1 s; j& F! l8 d$ j3 ~) |7 @$ m1 q       
       
  }0 D) H* ~# H) e" b7 a( C       
       
- H# \5 B6 r0 P) `# g* a       
, p8 c7 Q: d) O0 }  B0 k1 b) H       

       
       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
1 D$ }- o7 z8 C+ }7 Q  m* f       
' b, k0 W9 h( q       
       
" N* v: H2 V# H
问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
+ B( N0 l  L6 C4 h+ |( S0 P: B        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
' s- b% }, q0 w模型的假设
, J% y5 v. a: Q1 ]$ Q4 F: l表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
" i' _7 T; v$ p定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
$ q4 h: `1 d* q. T) k- V：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
; z, `+ U/ g' O- L4 n8 H5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
& q1 ~& m- K5 L5 G5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
9 F; D+ z  d% a6 j        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
1 `+ ]' \, l7 _: I7 R        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
! B$ D6 e% q9 ~: C/ n        对该数据进行二次多项式拟合：
: B; Y* B6 V5 R- O5 s( c8 O        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
        ；
5 s+ e$ ~( M/ Q$ O# r        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5 j4 Q6 k& W% L/ X8 A4 o# n. t! s5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
3 U% `6 t. P! ^$ S8 W) B+ E2 T某年份的中学招生人数如下图所示：
9 K$ l4 @6 z6 [9 U（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
; n6 ~' z9 G7 @# c. l对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
) d: @2 T1 L( `" N1 B2 g将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
. c6 j' {8 O: b- d0 f某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
6 x; b2 Q% m% b   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
) n1 z2 s, ?, x  ?3 _2 o/ |1 m1 R" T对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
% }  V+ t- r# t模型的评价与比较
, R# l$ P$ i# X8 u0 L2 ~        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
0 T; |7 b  \6 O1 |: n# t参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
: _7 L0 j- Z* v( t/ X6 _% X附录
8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
% u& J; u, N6 ?& wy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
5 D& Y, W/ C: Y* WA=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
; O6 @6 z4 t8 y' p; h" I. kA*[2013^2 2013 1]'
- x1 d0 a" G. q, Y5 rans =103.0261
9 r/ F" Q) K2 c) }# M! n. s3 O' U
8.2 模型Ⅱ程序
, G$ M& i& {% q7 ?- Ut1=1991:2006;
, o2 U+ S  }5 ^* k5 `3 D7 ux1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
) e6 C. N" G  q/ t; ^a=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
1 w  E( F5 t, G8 ?$ i) C. E96.87 3.2745 119.41;
105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
' m' _# @( ^: c: t! J, |120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
) @: p2 l- z, y( S+ [115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
: G" ^" T1 U- P115.88  5.7918  125.6;
: b" w3 F+ s/ y" Y8 E116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
' S  Q) P7 C0 a2 H/ Y  u9 H122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
1 \0 n9 k6 O9 e3 @$ H; e& _# c164.88 8.2410 169.69;
* E! V- c7 D4 h* |/ Q  }8 Y167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
5 B9 @+ `8 \( V: S. c9 `222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
6 v8 F7 h* L& V6 O/ p207.29 40.0573 201.65;
* V. t# Z; G! v8 E8 ?" W196.7 44.5034 192.94;
( S- ~7 @# M5 H- }7 T" o/ R191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
" `2 \7 X3 T  h- A8 o158.65 50.1082 164.6;
) ]9 J4 N! k- ]];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
3 g8 @2 a- d" L/ K% z' b2 O[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
4 |& Y- P" ?) ^/ I% m
8.3 模型Ⅲ程序
4 `" R# {- l. r6 I. \+ j2 ^/ V# mt1=1999:2009;
7 Z" ?6 u8 U( _x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
3 `0 q5 I/ `2 u# c- wa=polyfit(t1,x1,1)
7 _$ }. g$ {; D; j% z& m* m
& c& \. A( J* R; I. b: Vt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
  R$ E1 _, v% f3 ], T! Ja=polyfit(t1,x1,2)

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数学教学对策的思考

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我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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