哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
2 t3 \/ R# m8 [/ H( T- c4 l    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
% d3 \) t( t; x/ v2 `; s4 @4 ^  C已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
0 `# g1 d0 _8 {它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
! Y8 |: k( W( s8 F4 [将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
) s/ l  A) ]2 U4 g/ X* M" e以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
' Y5 x; ?5 ^4 _; K8 U/ f$ b则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
  H! F6 A+ k' D+ e  n同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
' e# S& O1 g* O由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
! E1 L: x! ]0 l4 `/ D& C" p  w1 Q由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
9 W- B) R% u6 \7 Y# Y8 }  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
  U7 A) Y1 E( y2 I设2n"=0、2、4、6、8……∞。
2 h3 A8 f7 W3 n4 P, M- E. s即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
* c& [- x7 D4 V% t6 X9 q用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
# s, o5 o5 e( S" P其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
, W* l2 o7 d9 R+ m; Y/ J/ w即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
6 C7 O* q$ w; I! X9 j例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
/ J9 \, v* [# M( N2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
4 z- {, Y: F$ H# v# e1 @2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
3 K! ?3 P7 V  g  \0 l在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
& l: D8 ^, b0 g; f: K即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
# v2 d# q1 h7 y1 j由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
$ G# x6 z- l# ^1 R由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
- F) ^1 u( T4 @! _（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
* I  e+ n8 G. r9 {' G) u3 P5 F若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
- @7 G3 I1 r6 A5 u8 X" Y同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
6 Y% |& ?) a( a( Z( X( t  B在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
' S: a" g% l+ ?7 ~2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
& r6 W5 C% _, @: t9 _7 `: q设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
+ W( y5 }% }. x; U7 F' r+ o即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
6 l8 F0 N: ~# q例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
9 g  ]; ]$ `: t1 H2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
# K+ M. ^0 W& U0 c/ e% X+ jPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
% p, ^$ W9 i5 F1 B* tPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

, `4 z/ x2 ]+ v) k由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
' f( ~& [* o2 j6 ^则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
4 T; V9 x  d1 F5 q(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
. k1 ~6 g5 f9 M/ `) i% t已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

9 C% Z) r  J) K2 K3 t, K; o2 H. |       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
8 ~0 @  `0 k/ c三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
' O) `$ H# t# u& _. ^: J设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
7 F, L8 W. \7 T9 M若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
6 a/ b8 O3 J3 k: F% c若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
- K, |+ r% e8 b% w% `代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
. ~7 e! B# u) p* s或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
! e( ], {. d- A( t) I5 G/ l2 e3 c代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
" E7 v$ W3 a, M# F: Y或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
& H6 J5 s) p6 b/ m$ t; X当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
' J( F) t( ~/ v# Y0 P  X* ]代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
3 f- A. o1 ?2 `" e$ ^) a- N2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
* L0 h# U# |. _6 c即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
" n) e' {4 @# b( m0 C( O& \在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
" P' m) b9 Z2 l设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
+ ]; [: d9 ]; S1 O" t# f2 J& J2 Q4 ?若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
+ ^! c/ v8 A( e6 X/ K* N得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
( ?/ a+ {/ l& t. ]/ ~0 ^  E. R) G同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
4 r2 L* @) T2 \: Z! R* Q即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
- `5 X& F9 l$ D% }9 m1 n8 e8 t( cn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
, A( Y+ J$ K. K- @" N8 q; ]# w将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
6 h5 S* A7 a  `" `$ g( _/ {Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
" }2 }0 D% d, C4 e设  Pn=2  或        Pn=3
; k1 n% D. v+ o$ {$ e: \ 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
5 G: r  a) T( h. }0 Q3 y9 M& O四，奇质数定理三的证明
2 [7 `+ y8 T0 u9 x（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
  \  `2 t6 T3 g0 Q5 _又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
. o* |3 ^- E4 m+ s" y, T- L: |& N或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
2 r' B- J% ~; I# f7 S, F+ ^得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
0 y9 H/ D! J5 I: e1 ~8 b    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
, A) A$ H0 _) V, J5 [    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
9 x  Z" N" B8 }      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
$ U* a( b* E3 K" b- E  ^1 B* o& D（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
7 u4 ^8 x7 ~, N$ ?即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
0 y% q3 f# N$ o( u五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
& S* m; h! L3 L在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
  {) U- U$ a: T8 y第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
+ T2 a: o& C7 e, e1 g( r$ d. c1 V8 ?                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
7 G  T; _* I( ?# o1 T* n                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
4 K/ Y' b+ v- e5 U$ U                                             =0+3+14+3=3+17
# o$ g7 h8 x+ o3 }' `2 S! X% G                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
& }3 D4 e0 z* r- u  G, b即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
" c# _4 q; X0 ]. e这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
( b9 c% ]8 W+ }5 R8 hPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
0 T0 ^6 L. c3 v+ J  ]% c      =2+3+20+3=5+23
  s9 a& F! d/ Q) m/ t第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
3 v. E7 Z- m( L            =4+3+28+3=7+31
" _8 B: C+ T& `# c. w# A            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
' u; R; w) Q0 U8 o4 x0 W$ C0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
3 `; u6 {/ }: ^+ d9 Y: G9 |! m7 M它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
) a& {* C6 L7 \* p7 d# T                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
& k* w4 z. X+ L( s$ n8 e$ u0 t. l2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
6 d! G: A3 M6 G2 g( }                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
2 P" [* j+ k  L( a8 O2 P                                                   =n+3
3 m" R# M' N, ~5 ?# ^/ V                                                   =3,4,5……
4 P% f2 C# w  i( Q即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
& N( U3 I; |$ S9 v2，质数表示式的证明
) f* p0 n, y, _1 E) _4 \(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
' L" T; R! L( @( V  H& M: U又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
% }2 A; s1 u5 n" W2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
4 }  u4 Y: q2 [! \Pn=2n’+3   ……（1）
7 k: j3 Z5 d* y, k  p( k; vPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
* f# o2 x1 H6 T/ c4 S+ e上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
* q1 p& I5 M2 m2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
3 Y3 }$ ~+ c- }: a, L/ l  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
# c1 n5 Y' ]' Q" O' F% V  [Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
2 `, w2 U. l5 g% q6 l* n①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
( a: a/ |) N8 }1 E1 c9 f2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
' k) }2 N5 H( b5 D% c; s设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
: U/ i8 X! _6 Y3 p( G* y2 V已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
: u' U2 U% n+ u" ]又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
# g3 u6 S! b8 F% m- h6 K7 y- w% H/ N4 v得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
/ `: M( V4 i, h. z& B4 Q2 CPn=2n’+3
& a/ `# ^& m( s' R% w2 tPn’=2n’+3+2n’’’
" A* V8 }% i$ t7 S) ^ 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
% x) f$ B5 o' Z6 \即Pn=2n’+3成立
7 v5 x  i0 I: Y% fPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
: x2 S: M2 F) I3 D  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
8 U4 J) c) Z4 f2 H即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
0 D6 L( v, `( n" Q% m; m由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
4 w* j, @8 x7 I4 o+ M4 J! S即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
& u: ]! r0 h* D; ]换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
6 f" D6 U. U0 W  E! `已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
0 J2 s2 M6 o' Z4 ~* n设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
& C8 c$ ~8 U: t/ u/ F      4        4        0         2        2       5        5           10
% ^. M) k3 a) V" p0 `% \! I) }5 [) g5 A      6        4        2         2        4       5        7           12
5 {: ~3 P- c0 p9 g" p6 \$ _      8        8        0         4        4       7        7           14
% D5 ?, U7 A( s( a+ ]) ]      10       4        6         2        8       5        11          16
4 ~1 U5 G- }( ]: N* \9 u- n      12       8        4         4        8       7        11          18
. ]; U- s0 ^* r; d2 r7 g; K! r6 N. t      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
2 j7 v  P* D* A0 b6 c; Q' Q     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
# [4 D9 j3 B8 d$ v4 X0 Y" f& C& ?     92        32      60        16      76        19        79         98
. k( B; r5 F3 c; G: f. n     92        56      36        28      64        31        67         98
% m8 X. ?. R: b     92        68      24        34      58        37        61         98
4 C4 r+ J2 Y3 P     122       32      90        16      106       19        109        128
+ y1 o) n4 U2 b3 ]9 a: Y     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
: P; n3 c. M9 r: a% `7 }2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
* ~+ {& Z) W8 M5 d) D六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
4 Y$ c/ G- z" d: Z5 r0 U$ ^1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
( C2 z$ S( n( }. @3 \7 J(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
" b2 M+ P$ [- P5 H. I" _由上述三个特征得到三个定理（见注2）
% j0 v- S+ d9 S2 j即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
" l5 w* N) a. l ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
$ X2 @! z+ A& L: \% Z0 ^% [ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
) p3 R: \3 B# w1 A; Q) L2 t③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
% X% r6 c! t. r ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
' e, p+ O# v5 ^, {- t2 q- m" l, l3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
0 g% }+ g1 z7 k鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
  C  y8 c9 w  Z" M! N" w注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
3 W8 {- C, G+ W- ~. T% M# h公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
+ T* f& X/ y& T) C+ l; B如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
0 W% c( G; S1 I5 i- B' {* S又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
, M* w1 r8 d+ ^: ]. U# x因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
7 U- T) Z3 Y7 o- j7 X; V2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
! |" e2 f. O- D( B! {下面来证明定理一：
" |* V/ a# h% l* [1 D已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
: F1 C. E( A% `$ f1 X: \( H3 x由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
7 n8 y2 R% C+ U( Z/ e7 e4 dM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
9 {8 B, i. P$ _4 Q则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
( b# R6 v8 O8 Spn        3        3        5        5        59        61
! p" H8 E6 H0 S8 Y, B
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
' Z+ k. Y! F* m; N- g由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
4 Z  C# l" @; I7 q3 |" yPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
6 c. `- V  O# T" t# x) M$ u! MM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
: y$ x" \: u" |- D! {7 E) v# u+ K2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
! b4 K  }1 b' f3 nPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

' B: c# g' c, m0 E0 c注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
5 U0 E* h$ \! M: I式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
0 N6 x8 ]& V. O例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
- C: C  e0 O1 W3 l                                          3+3=1+2+1+2=4+2
: e" Q) w; a. o3 i& e2 ?                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
' r0 ^1 M8 ^( n8 G( H- S7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
+ Q8 V$ |% U1 i# z61+67=59+2+65+2=4+124
3 s( j0 Y# W8 H* ]…………………………
: M$ V* `( t0 A* V  T在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
  R& I0 |, l3 P1 F, d若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
/ _5 N; F4 S% {) W: |M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
# ?+ v5 w6 T) e$ Y7 |, F =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
  D6 E$ C0 ]" D# P6 n        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
1 O# f9 c) T+ w邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
/ o$ C9 _( z4 h籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

1395094431

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蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
; Z! x% h: a! y( Y9 }即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
0 I/ y9 s6 K" X: o  c* B1 }但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
# s  S  G; q- R7 S$ l  V% ?. ~2n’’
8 t- Z9 G: t2 @5 u& Z使2n’+3=Pn
- ~. j( H/ s$ J# J成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
又因为Pn’=Pn+2n’’’
3 B7 ]! l- e7 G% A; Y. ~, |, \即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
1 p# j/ _/ l: c$ G; X+ p得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
* h* v/ _. V# c# p) q7 Z) Q) _7 D+ f2 M2n=4n’+2n’’’
* j- [. {8 b% z. _8 {2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
: r3 A# ^" y0 Q4 l1 v' a6 D5 r又已知 2n=2n’+2n’’
. I' [. `- `1 m代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
' m# K. |$ w5 B+ C7 O即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
8 k( I  x) O2 q$ O- A