哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
# d" l, h& t/ s1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
; E4 f; i; k+ s1 F2 f% ]将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
8 y6 l8 \" q5 m$ g% }, X已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
# @7 I/ G) h( Q( U& O2 X以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
4 @- B) l0 x3 ?. Y6 L将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
6 S1 n' d) J( x即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
5 |! A/ f( Q6 U$ K3 H" I+ N同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
3 v7 h# c4 j+ P) J& C3 ^7 V即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
" b7 _4 f# \8 N* a 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
# ?* B* K2 P7 A5 l8 _由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
% [" `2 H6 @. n- Q( Y设2n"=0、2、4、6、8……∞。
0 I& I! V; s  M" Q即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
0 r! ^! z* h0 b) n- P  R( Z! K根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
3 N+ U: v/ f0 J( d用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
4 S. \8 ]: w8 N$ i" OPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
. Z2 N+ s; c% S$ t其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
- @4 L0 M& ~9 h% Q6 R5 V, a这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
9 |" h6 Z) E) q) H* i- l即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
# y+ O3 b$ a  C9 g7 }3 ~$ ~例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
  i7 [, R7 @4 g& l" m4 I" i2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
7 V+ J' n% A3 s  G8 H8 |5 m" g直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
, T! Z! l4 V' f/ G即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
$ c7 @' \3 u+ R# O  V0 o在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
& C; `) }  X/ ?' m% i. W代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
- B! E1 z. b, i, n$ ^即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
# U) a0 s1 h2 {8 J# H% C% P4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
5 X3 j4 L3 ]9 e1 r由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
! w. Z7 E) K% T/ ~9 r二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
+ y# B0 M6 l$ w+ a6 e: I* `& O7 U同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
. f4 o5 y0 I1 Q+ v4 Z在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
( Y& h3 \. d( ?3 d" v* m（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
4 \. y0 }6 z" k5 ]6 K1 |& K% N5 Z即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3 O4 b6 v  I6 N* V5 V. B3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
5 h( v' S% w' z; T. o% q" x设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
. t8 Q2 v+ L$ r2 M! b( A9 Q/ `即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
/ q/ w1 w- k  ~例  
% d3 N: t5 ?7 q: d1 }: [; Yn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
7 |4 q( v% q# D  m; G2 f2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
/ }+ l) M9 W& V2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
' R2 f! r7 m# h. |+ nM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
4 n& V5 y- n. b) G3 fPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
1 Z; S  o, W! [! b/ w( t5 h
- I2 ^7 r  e' ]1 E( ?1 Z由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
* k' E3 H0 ^5 E# v& \8 P因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
5 @6 O! Q' x& q( h$ E3 k# Q5 q+ B则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
7 ?5 a' n2 v& n/ z' nM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
. v; E/ _* p! {- F! b已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
8 x7 m! y8 B3 m/ A2 Q( [6 DPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
- p4 H' F+ ?  Y( pPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
6 p7 C# A6 s9 I! F6 y% B+ N: |: P三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
  E; H9 ~/ l  ?, l" ^1 h% @设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
$ U0 P3 c5 O; o* k; B3 L6 P8 o若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
3 F* d4 `% d; I! ~4 ]或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
( V+ w# ^6 s$ i) R& x7 vPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
; T5 P% O7 t6 g8 M5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
4 K5 [  a) k# d" {9 m0 B8 I/ z代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
" s; E; b# G) m+ ?" y8 E代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
+ @# S" Z: k/ i& P% a4 v0 _设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
2 W2 y$ y$ J! a) D4 D$ d) J若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
8 H5 }4 u/ c8 B" z: H" bn为偶数2n=0,4,8,12……
$ Z+ L, D$ n. n6 M9 t7 C2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
$ {; z# O6 C" D  V  N5 j. M2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
6 p4 S' L4 s* Q# b2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
9 W! ~, @' m# T  D. I将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
7 j8 R- h9 i# u, a1 C' R四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
" f4 W! e1 W, d. A! {4 E又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
' I* _- g: Y. w. d  NPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
& W1 U. h2 o6 n! |7 D) D或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
, R- E% m- Y; O（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
" C# I5 ^' ]2 A" z$ x                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
3 U/ R" y5 M3 t得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
$ G5 m) x+ P& J9 Z  `: A     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
6 y+ p# U5 g6 M2 }: [! z     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
2 E0 X& j! q$ [8 I  E    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
2 N' {$ q6 \" S! r    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
" T0 z; G+ e0 j$ v2 j$ y0 s4 L    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
9 n& D% F& s4 T# APn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
  n% n  b6 A, f3 L即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
& F/ {  W$ H3 @9 J8 K: {3 s9 O存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
; U, d5 b& V5 {6 U9 r由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
& G- j* j4 o9 G3 u8 x                                             =0+3+10+3=3+13
& m9 Q9 e- T4 o8 M2 G' F                                             =0+3+14+3=3+17
: W4 I/ [* z3 U5 Z) o                                             =0+3+16+3=3+19
. i+ g5 u! f0 |1 W5 \9 Z                                             =0+3+20+3=3+23
6 u! h) {( w5 ^& S2 Z/ o0 f8 @8 W第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
2 k9 e# y- t# n$ j% J/ S; y' @即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
% Y+ s* Y8 k6 ]6 i# m: r3 `这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
! e" \3 G; @; h" b1 _1 Z3 O      =2+3+10+3=5+13
0 L1 o, J3 S( R8 F  s      =2+3+16+3=5+19
& J3 O: R% z6 G$ ~: I4 ~/ {0 ]      =2+3+20+3=5+23
4 G4 {1 E. \+ A, \第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
! l4 K# B1 n/ `  {: ?            =4+3+28+3=7+31
- w8 m( N& u+ ?- F5 l( T& s            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
7 j* r; \% E8 I# g, ?0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
9 Z; M& `6 _8 U7 T% @$ r0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
) \! o/ V7 C7 O. h" g                                           =28+3+64+3=31+67
8 u6 _$ b$ G  \3 o" b+ h6 X                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
2 S6 U( U: f0 Z- D% u7 }& \# `                                   =28+3+94+3=31+97
, J( ]* v; e- h0 G                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
& k+ b+ P+ L+ z0 V: m3 d2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
5 T+ T1 |! W0 _3 C( g& z3 ~                                                   =3,4,5……
0 R: t! |& W1 N4 W% B) ~3 _9 r即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
" {2 P4 u* c8 X. M- z) v( U2，质数表示式的证明
3 i% q+ J' i0 ^3 X9 ](1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
5 G; q( }# o& k3 I" Y' B& }得Pn=2n’+3  
0 A+ B9 F4 f" q) l1 y" y) I      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
6 l9 O) y! d" ]" N0 c  V又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
$ a% t3 U5 W4 |! v( [Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
4 {) _1 R( i+ L$ m  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
) ^) W% M0 v! r+ e  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
0 e" u9 X, _; T( Y4 a; r& {  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
7 a3 X  B  f: @6 c" Y: e  k  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
3 ]$ f" U+ U. ^8 ~/ R+ @  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
: v' _! N* Y% F6 S4 }1 L（2）方程组
+ W3 ?9 C6 m/ n. l9 x3 OPn=2n’+3   ……（1）
" a% T" J7 \* ]* a8 u; l. j# u1 pPn’=2n-2n’+3……（2）
6 f, ]+ h$ ~) [2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
0 {% a5 E" ~, a% N9 _0 y" U! E7 f②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
7 J, P. a6 d; t即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
4 g" v. t; F! b  J$ P已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
  A/ Y0 K1 t+ A   
; M; Z2 @3 T3 Z6 c& J6 W/ f1 M2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
" ]8 ~) Z7 M. @2 S% OPn=2n’+3
9 F* p7 k. Z6 N& ]! O6 P; DPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
  m( i4 T% ^- \0 b, T' L9 j3 @+ l即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
! B) [3 S5 w5 d7 P. D! V  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
: F6 ^! @6 u* p5 P# r由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
4 }9 Q9 r% ?! j# n) }- K" t设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
, H) n; M8 `0 H+ g      4        4        0         2        2       5        5           10
# C+ w: O9 d( r! l, [, [( V  Z      6        4        2         2        4       5        7           12
& k) u9 p& O) ?# e      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
, }1 }) |3 z* C/ }0 H: D; r      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
0 n& G. I$ R- z. O$ G      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
9 Y* f% w7 h& L8 P     20        20      0         10      10        13        13         26
0 q* t+ A' o/ b& A$ X  e; S     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
( r' d9 G# U5 l, ~     122       32      90        16      106       19        109        128
6 Y7 I* @  @5 m6 w$ V     122       56      66        28      94        31        97         128        
+ e! v0 C5 S4 F' W6 h; v     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
4 Z9 a/ O0 p: s1 ]7 K* x1 s8 r1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
9 \5 A2 q7 I4 c* {' f$ Q# }2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
* m1 ]. G, O. Z3 y8 g ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
' t& f3 a  X! j" `3 ?' E9 |③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
7 m$ N: e5 ]) R6 Y9 V ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
$ N" c" ^+ d6 E& I# |" F ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
! _% R  n: |3 I注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
, L% [6 \1 a7 G3 v" l5 \3 T6 K; j* b公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
$ o  p/ I- e' r9 X如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
7 L. K. R& b+ U- Z0 t2 F又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
7 \( D8 [7 C, v$ b# F& g; p$ i 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
4 [0 M2 E( y( k  k5 b# q注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
7 r; i1 |" O3 a$ y( k5 `0 J下面来证明定理一：
% W+ u9 L% ~! I5 H  F已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
' m4 b& r) c# a: M; K: q; h% `; J则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
, {! G  V$ y- a+ C2 B. p5 V即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
( E$ O! ^/ U4 {; U4 c  C2 h由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
$ q5 e. p7 z. q9 q4 o& rM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
7 Z5 P5 @2 @  R由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
( d; r+ N, q7 Q/ E! _4 U" }即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
8 L; K( o$ H: Y5 z$ I" J' U7 |pn        3        3        5        5        59        61

, w6 P  O5 O9 n0 E; B( Q4 ZPn’        3        5        5        7        67        67
& @) u$ q2 @. B  Z5 I5 R" {2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
: i% r) n: {- V# {" ^$ b2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
/ F# F" P% F, i5 OM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
1 M6 h! m7 {: \, i2 f2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
$ G! J: I5 S! W/ l2 s' N9 p8 s& zPn’        3        5        5        7        67        67
- k$ d+ y4 a4 z6 R
7 X) e1 o7 g% l. S& y注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
: I; f! f) e1 c$ v, T/ q% d例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
$ d1 ~9 x6 A5 Q, s# m0 @6 k                                          3+5=1+2+3+2=4+4
$ j" k& Z" `2 R( K# M                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
5 @5 w4 M& s0 H$ y7+7=5+2+5+2=4+10
; i$ c2 N) X8 |/ o$ `: J59+67=57+2+65+2=4+122
2 t7 |- v; \  M! q7 i0 n. ~61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
: H: O7 z* [! u6 {8 h+ o  q' Q当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
" x1 S+ T, Z  {* Q2 Q1 v. Q1 {  [1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
$ v/ h5 k" I8 sM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
) G' I& g8 w9 C- m, l- w =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
1 Y. d3 s/ D7 U# S4 a =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
1 A8 L) C. d% n9 v: B+ u5 Z$ b再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
! L  H1 ^/ E4 q6 k) J即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
' \7 K2 _+ Y. n) q        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
# H( Z- ]  ^( ?5 G5 `籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府



9 @; b% s+ [' t) Z3 f  _

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
, H( M- u6 Z' Y" K* Z4 P) _2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
3 Y: s5 `. I( U. P& t( P2n’’ 保证2n’+3为奇质数
, U5 @7 i" H( Z4 a, N9 J: f2 p! g即Pn=2n’+3
1 L% A8 `( j. ^! D: p* G$ @是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
: P8 c3 v# d- R) W" _但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
9 t! H* }& X" O5 d使2n’+3=Pn
' t+ V7 S% t% R1 `5 H8 ?' _成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
% X! m8 S1 ^% w% |; n又因为Pn’=Pn+2n’’’
' |, r3 F! v% y" K% B即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
, h; N/ r: x% ^8 `/ A) h# OPn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
) q5 `+ O9 k8 i. r- `9 p2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
. d7 f7 M. n- q3 |又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
  O) R* U2 l, v# I8 u4 bPn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
" a0 H% \/ ~! q; z' g! g# p  V即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
+ C) Y- o8 j" @