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[其他资源] 分治算法 ——数学建模

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    [LV.2]偶尔看看I

    群组2011年第一期数学建模

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    群组数模讨论

    群组数学建模

    发表于 2011-9-3 13:36 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
        任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。
        分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
        分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
        如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n ,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
        分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
        1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
        2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
        3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
        4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
        上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。
        分治法的基本步骤
        分治法在每一层递归上都有三个步骤:
        分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
        解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
        合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
        它的一般的算法设计模式如下:
        Divide-and-Conquer(P)
        1. if |P|≤n0
        2. then return(ADHOC(P))
        3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
        4. for i←1 to k
        5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
        6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
        7. return(T)
        其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
        分治法的复杂性分析
        一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
               
        通过迭代法求得方程的解:
             
        递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n<mi+1时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。



    求最大值和最小值的分治算法
        实践题目:
        给定一个顺序表,编写一个求出其最大值和最小值的分治算法。
        分析:
        由于顺序表的结构没有给出,作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义,数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果,如果大小为 2则一次比较即可得出结果,于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了,只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治,否则求解子问题的解并更新全局解以下是代码。
        */
        /*** 编译环境TC ***/
        #include <stdio.h>
        #include <stdlib.h>
        #include <limits.h>
        #define M 40
        /* 分治法获取最优解 */
        void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){
        /* 参数:
        * s 当前分治段的开始下标
        * e  当前分治段的结束下标
        * meter 表的地址
        * max 存储当前搜索到的最大值
        * min 存储当前搜索到的最小值
        */
        int i;
        if(e-s <= 1){ /* 获取局部解,并更新全局解 */
        if(meter[s] > meter[e]){
        if(meter[s] > *max)
        *max = meter[s];
        if(meter[e] < *min)
        *min = meter[e];
        }
        else{
        if(meter[e] > *max)
        *max = meter[s];
        if(meter[s] < *min)
        *min = meter[s];
        }
        return ;
        }
        i = s + (e-s)/2; /* 不是子问题继续分治,这里使用了二分,也可以是其它 */
        PartionGet(s,i,meter,max,min);
        PartionGet(i+1,e,meter,max,min);
        }
        int main(){
        int i,meter[M];
        int max = INT_MIN;   /* 用最小值初始化 */
        int min = INT_MAX;   /* 用最大值初始化 */
        printf("The array's element as followed:\n\n");
        randomize();    /* 初始化随机数发生器 */
        for(i = 0; i < M; i ++){  /* 随机数据填充数组 */
        meter[i] = rand()%10000;
        if(!((i+1)%10))   /* 输出表的随机数据 */
        printf("%-6d\n",meter[i]);
        else
        printf("%-6d",meter[i]);
        }
        PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值 */
        printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);
        system("pause");
        return 0;
        }
    zan

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    内容很不错啊,但是分治算法是一种单独的算法,还是很多算法的思想是分治算法?
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    sursky        

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    其实递归这个玩意不是啥好主意,试试斐波那契数列,递归30次就行了,卡死你~
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    [LV.7]常住居民III

    sursky 发表于 2011-11-10 18:48
    其实递归这个玩意不是啥好主意,试试斐波那契数列,递归30次就行了,卡死你~

    这个斐波那契数列增长太快!写个高精度再递归应该不会卡吧!!!
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    dyun        

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    yezia        

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