求证一个几何题目

whlysu

! @6 V7 c7 S1 j: |
已知：如图
      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
; c6 n: I) S4 _3 {, @      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
      3）⊙N是过点F、G、I的圆
4 `1 X! b1 \, i) b- ]* I, h! i. C      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
求证：HD=⊙M半径
) \: F; D: J( W4 a' d% {# C
- N. A. K3 r# J' ?) ~) ]' L

whlysu

有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
% y/ H4 l5 n1 x# S8 N自己顶

zhenglingming

zhenglingming

四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

whlysu

2 c  G" S& `1 c8 T3 k

zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
. j  h" [4 f3 G' |6 _2 d四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

1 ^5 f3 g0 B# B' g# {! ~
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
* k1 O8 U# N$ a0 b( k  [现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
) D8 \7 D3 [- m求证明过程！！！

whlysu

怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！

yinbaoli

希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
- j6 K$ z0 ?6 c& G5 ]在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
7 B7 ?$ o7 W/ S& w设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
# y- t* J+ c" H- \- i0 n3 Y3 @D坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
, r' p' ?6 Z8 `4 ~根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
' K) L- c6 l5 O/ O, @( m（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
由F、G、I三点确定的圆的方程为
|x^2+y^2                x                              y                          1       |
$ w0 ]1 g0 n' S+ [. D* G|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
- M8 H: Q: |; R6 t# I|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
6 L" B0 F  s4 J1 m5 [  L6 X
; s3 I7 T" `; p7 r& [& v把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
5 Y0 M, j* i; C. C: x, D希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
- X" _5 x; C# e在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...

# G: R% G& K6 ]) N你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
不过给了我点思路。。。。
我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解

yinbaoli

whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
5 T4 ~: g  n* x6 o7 r% l你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
不过给了我点思路。。。。
我试试以A点建立极坐 ...

嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

$ X  L* R& ?; R; v4 U/ \2 C如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。