典型同态映射的实例

lilianjie

- [% x& a  p/ A! S+ P. F8 X4 K' r$ b$ c
三．典型同态映射的实例
& f* Y& V8 W/ u: f. }  p5 J
) Z' d& V2 ~  V, i

--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
/ a. _. Z/ F  t/ E???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
2 o+ ]6 K  Q5 }- l$ X????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
! o! p$ f& p/ g???????????：R→R*,(x)= ex
- o0 ]6 N2 R' o6 P  c则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
, h% T" O2 S8 D% N4 I?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
* Y( T1 n& `- ^. k?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
4 }# J4 r" \" t0 z0 x
: Q0 @; a: O$ W- ?9 y* z: x, x! s 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
/ P" T% E. b" Z- R2 Q' w???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
2 ]+ f9 V. H) S; `% R( A  P

& B3 w6 p$ a( v* [9 F: Z
' G( F5 r% y. ~3 k 例11.23 设G为群,a∈G。令
8 q, k: M; y6 J) j) E7 D????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
, P# o7 V: F% V/ D则是G的自同构,称为G的内自同构。
# z1 v2 J1 d  r- D3 Y
& Q9 O3 D! o$ _! B6 S- U+ A/ Q? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。
( k5 F5 z: b) t
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
! g# E& {* A1 l& n??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
* ?0 B! @. W! X$ {, {2 u$ G! I
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
" o; T/ H! y1 K
   综合上述,是G的自同构。
2 j6 F3 ~3 u! F& x3 d$ _
( t8 Q' Y4 L! E- K??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
/ |8 o( r" R( v??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

. H7 E6 s0 H! @* Z! b: |5 G5 V% L2 t??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
# t9 K" L) }) X9 n0 c???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
& N2 B8 l! G9 c! S" ?在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
; d, p2 Y+ O) E
5 c+ a$ k8 [* H( E/ F3 v--------------------------

, n# u( a8 x- { 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
4 T& ~" E3 `0 {0 W
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
$ |# D0 }9 g4 ]( q
* j8 d& \! s! A. W3 Q0 ]! v??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
' `6 f6 M/ J3 v
1 w) w: C# X* c2 w' @# X' n  e??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

! k- `3 B* p8 \0 j" C??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
  q" ^! A. F( \1 m5 n1 Y1 v
??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
4 W( k6 n8 @1 q+ i* J" @
( u: }& b  U8 x( \9 c- `??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
8 P! \: b9 e' Z& x0 a. w# |
/ Z( ^1 y" K% I0 t% [, G根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
5 Q+ g: x0 [5 @1 Y% m
???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
; a  z2 b+ H% z9 E
  r- P/ ?  }) [0 e7 ^1 j" M成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
# q: ]) i: R2 R