典型同态映射的实例

lilianjie

* |  J4 S* _) U9 l

% {2 I- _/ z5 u8 @& a1 p' H三．典型同态映射的实例
9 u+ ^" ~: j% f& ~$ ^


5 y9 b; v1 o% g9 K( Z. }; A) ?--------------------------------------------------------------------------------
7 z0 p+ ]' F8 R; ~2 X. m
* z% k  ?4 i- t( i0 x 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
, P0 T' K  C  m0 l) S% {则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
% I/ A+ z% ^2 W) V????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
' j, x" I% ~# N  y2 o% Z则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

9 ]8 Y2 M/ w7 Q- J' _9 Z?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
: M0 x" J( m: _7 ?3 [- A- l?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

' g/ a3 q8 Z( k' {" t??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

; A5 m% O9 L  x+ _' k5 O, Z+ A 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
! e7 {+ ~5 Q7 U???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1


: o. Y1 ?  r& o2 N' [+ u! i3 |
0 G9 M% I* i/ C4 r$ Z 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
  {7 q- l& `. X; C& C, U: o& @则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
7 e( a3 X. o1 ?  K) ~??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
- g5 F/ |* }, O# }$ c
所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
3 i8 x- k) j" x+ a* l
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
4 {5 G, Q- R+ h7 A5 O" ]
   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
; X: e' V# V5 r! [& y% x??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
: k; _# J1 N! k7 H6 H3 S4 N这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

) T+ Q1 T  J+ S0 U% J5 ]+ R??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
& z) w! y5 n2 a???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
- w0 H' h- r. T- E$ ~! h
: N4 _" r  o3 a3 V--------------------------
8 p- ~: J1 p  L. V0 J; h" p4 M# r9 F
' k" |/ E5 F, f- ]0 F- A6 J3 R 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
( K. J! |; D; Q$ Z" W2 D: f3 M
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
9 E' G* o1 [6 ?9 H, E$ E! G% B7 X
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
3 B6 I0 w" y, n. ?( B+ d. I
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
) m# U/ r" _  h3 u0 U
* Q4 W! n- r9 B. I! V??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
& V( F0 c1 T2 G
! q" W! v. f3 F8 ]; A$ T??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

; `# Y7 f! e+ {# s" A' B??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

3 \" y3 @. p2 |" N9 o. W0 X" s6 S) g成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。