典型同态映射的实例

lilianjie

( z, P) L  Q  ~% }* ^6 v8 R, u" e$ j
! O' y: k$ n' v0 l" ^1 W# J0 ^2 W三．典型同态映射的实例
& |% y" u0 I0 _
' g6 b( z$ V/ b6 ^: \7 g$ J- y
! h* _3 o) W1 u7 ^# s, m1 T
" X# W2 e# U' U6 M- M/ W--------------------------------------------------------------------------------
. n1 }. w8 r- S+ v# }3 S
例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
7 c% \9 D5 ^# T??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
: ?0 W: r1 L; m则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
7 y# }: G0 _8 h- s& G
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
8 s0 b2 A6 }  W7 y+ J& ~9 r?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
8 S2 U) @2 z3 H$ b/ Z! n! R& f?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
. K0 T% d4 n7 w) v1 x
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

* {3 x; |0 t4 N) G) L, o1 W 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
6 C1 `8 x# M, z- h* E. F6 A+ u
- f% ]  V5 U, ~7 O# r% @
5 f) _+ B- l- g2 }2 P7 M( g
( _# }: d! H) ]* Y7 p6 Q3 b2 L9 g 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
0 R* U$ T& B- w/ N+ Z
7 I9 G# K, v- C$ A2 d. b! w? 证 x,y∈G有
6 \) R% f- k6 i8 G??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。
. ^3 d+ D( o% K9 D& X: X8 \1 v7 `
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

" q) Z" W. e, i6 J' M" i3 D   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
  l- _  @8 I# t  Z1 D% e: S- k
" a# {! e6 b4 d9 w; u   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
+ _+ S# [# m* d3 S; f2 p这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

* u$ L) z/ ]6 Y( p+ R4 z* n??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
$ P  o! `! }/ m5 y4 `) `5 H???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
* F. W$ s8 M& |" t???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
% C) s! U2 X! G7 W( m7 a在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

% V8 L: k$ L9 _* E0 A3 X--------------------------

" y* M8 L/ @0 c 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

$ Q, }2 D8 g2 Z8 w2 t; a( C  \7 p??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

+ F! J  b) t0 ^% M2 ~: X??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
1 ]9 n5 Y4 Z/ N2 e/ K
( I* x. |6 o5 D' x??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
" m) l8 m! f; q. ]- a; F; i
6 y0 Q) k% _  {0 f" }??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
4 v2 M9 U& U+ z; ^% B; R$ X
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
2 O2 I. W# _* f( P) T  V. Z% @% r
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
  d- q1 D5 U  q% m* D7 J6 f1 v
7 R8 E9 P% z+ O2 z9 u. r/ D???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。