典型同态映射的实例

lilianjie

. z/ N7 r5 E3 O* X! k1 r' L/ x9 i0 [

三．典型同态映射的实例



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例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
% p( b( z+ I! T" R) E  U则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
; C7 B5 Y3 T. L7 k/ P???????????：R→R*,(x)= ex
/ S$ c+ f& ~- D1 m8 |$ O* q则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
. b; Y7 E9 ~, ]" ^+ X6 T6 Y
6 C; {* H3 ~  c?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
; I$ z* s+ m& t0 V* g) W- y?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
5 E/ q! H7 [6 p( x  ]3 k
0 Q7 ]; @1 }/ m% P' ^' }??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

0 A& k0 l, v# n# r% D) K

5 E3 m, U. z/ Z 例11.23 设G为群,a∈G。令
, b1 E  B$ \- J! C????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
* y6 D* B$ q; R6 [6 }. b则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
; z1 R3 ?% H  l; J??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

9 Y) b7 d4 i& D* \! o所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
% q4 J$ U/ b* f* ]& G??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
) N( k: v/ o" ]
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

/ x7 C$ `7 _7 h1 D1 W3 R* a   综合上述,是G的自同构。
' u' i+ k# M- Y' A6 G
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
" V0 Y* q! a8 R6 C& E这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
6 W+ k; P% q$ |( r# Y( H
1 U7 Q: g; ?9 y( b* u/ P+ n??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
7 p. M' `8 g2 X" _' ~???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
) M! ~! e8 p( k7 F+ Q6 R
4 q0 R: I  B- f# c--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
0 L6 ]9 ?# C; z) m  M" ~3 S
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
2 t) y7 }1 U( a' Y5 O& D4 G
+ I/ Z  K9 c* l7 N( [& [1 N??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

8 a. O( H8 }: M- _8 B??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

6 z. ?1 t2 J' k( x, e+ V??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

2 X1 ], n. r- B! X根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
$ V0 d6 e, ~' j  y
成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。